Sudaryatno Sudirham
Download
1 / 51

Aritmatika Interval - PowerPoint PPT Presentation


  • 159 Views
  • Uploaded on

Sudaryatno Sudirham. Aritmatika Interval. Klik untuk melanjutkan. Kata Pengantar Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval. Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi - operasi interval. Cakupan Bahasan.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Aritmatika Interval' - angeni


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

Sudaryatno Sudirham

Aritmatika Interval

Klikuntukmelanjutkan


Kata Pengantar

Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval.

Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi interval.


CakupanBahasan

  • Pengertian-Pengertian Interval

  • Operasi-OperasiAritmatika Interval

  • Sifat-SifatAritmatika Interval



Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal, baik bilangan bulat maupun pecahan

Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup*)

Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya merupakan kumpulan bilangan

Contoh:

Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri (interval tertutup).

*) Lihat pula “Fungsi dan Grafik”


Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

menunjukkan kumpulan yang kita tinjau

menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk menentukan apakah x benar merupakan elemen dari S atau tidak

menunjukkan sembarang elemen dari S


C umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagaiontoh

R adalah kumpulan dari semua bilangan nyata


Secara umum, kumpulan bilangan nyata umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagaiX dalam interval antara a dan b dengan a < b dan amaupunb terletak antara dan +  kita tuliskan

Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasi-operasi interval

Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar mudah melakukan operasi interval.

Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan hanya dengan batas-batas interval.

Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan batas-batas intervalnya.


Suatu interval umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagaiX yang memiliki batas bawah (nilai minimum) xdan batas atas (nilai maksimum) kita tuliskan

)

0

interval X

batas bawah batas atas

(

x

kita gunakan tanda kurung [ ] untuk mengakomodasi batas-batas interval.

Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval pada garis sumbu nyata sebagai berikut


Degenerasi umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

Suatu interval mengalami degenerasi jika

dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami degenerasi disebut nondegenerate.

Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi) suatu bilangan nyata.


( umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

)

x

w(X)

0

Lebar Interval

Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata

Contoh:


umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai titik tengah

Titik Tengah

Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah

Contoh:

Radius

Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval

Contoh:

 radius interval X adalah w(X)/2 = (104)/2 = 3.


Jika umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagaidan

Urutan

Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y,

maka

jika dan hanya jika

(

(

x

X

Y

)

)

0

Kesamaan

Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama.

Kesamaan

Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama.

Contoh

X = {6, 10} dan Y = {13, 18}

X < Y.

Dalam contoh ini juga w(X) < w(Y)


Nilai Absolut umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari absolut batas-batasnya

Contoh

X = {8, 4}


Di sini umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

(

)

x

0

Y

X

(

)

Jarak

Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduanya

Contoh

X = {2,6}, Y = {8,18}


Simetri umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

Suatu interval X disebut simetris jika

Contoh: X = {5, 5}

X

(

)

x

0

Interval simetris mengandung elemen bernilai 0.

Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0.

Ia bukan degenerate interval.


Irisan umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita mengenal irisan interval.

Irisan antara interval X dan interval Yadalah

Contoh: X = {2, 9} dan Y = {6, 18}

X

Y

(

)

x

0

(

)

Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval

Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X.


Contoh: umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagaiX = [2, 9], Y = [6, 18]

X

Y

0

(

)

x

(

)

Gabungan

Gabungan antara interval X dan Y adalah

Jika irisan dari Xdan Y tidak kosong maka gabungan keduanya juga merupakan sebuah interval.

Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya gabungan itu akan terdiri dari dua interval yang berbeda.


jika dan hanya jika umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

Contoh: a). X = {5, 12} dan Y = {4, 16}

(

)

x

Y

0

X

)

(

x

0

(

)

X

Y

(

)

Inklusi

Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika

atau

b).X ={5, 2} dan Y = {7, 7}


Operasi-Operasi umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagaiAritmatika


Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu: umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebut interval positif.

Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebut interval negatif.

Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positif termasuk nol.

Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif, degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif, sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol.


Penjumlahan umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

dan

Pengurangan


Penjumlahan umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y didefinisikan sebagai

Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen masing-masing interval

Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas atas

Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan batas-batas interval saja.


Y umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

X

0

X+Y

tidak merupakan sebuah interval karena X < Y.

X dan Y adalah dua interval yang terpisah.

Jika dan , maka

)

(

(

)

(

)

x

Jumlah interval juga merupakan interval.

Penjumlahan berbeda dengan penggabungan. Penggabungan dua interval tidak selalu menghasilkan suatu interval.


( umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

)

z

X

Y

(

x

0

(

)

)

Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14}

X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20]

Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan.

Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan biasa.

Perbedaan penjumlahan dan gabungan

Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6]


Batas atas umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagaiXadalah

(

)

(

)

x

x

0

X

 X

Negatif Suatu Interval.Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai

yang dapat kita tuliskan

Batas bawah Xadalah x


( umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

)

(

)

x

x

0

(

)

(

)

X

 X

x

x

0

X

 X

Contoh: a). X = [2, 6] X = [6, 2]

b). X = [2, 6] X = [6, 2]


X umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

Y

0

(

XY

)

(

)

(

(

)

)

x

Pengurangan

Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X dengan negatif interval Y

Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12]

X Y = [2, 6]  [7, 12] = [2 12, 6  7] = [10, 1]

Dalam contoh ini X < Y dan hasil pengurangan X  Y merupakan interval negatif.


Perkalian umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

dan

Pembagian


Perkalian Interval umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai

yang dapat dituliskan

Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas masing-masing interval untuk menentukan batas bawah maupaun batas atas dari interval hasil kali.

Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada sumbu bilangan nyata


Pada interval umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagaiX selalu dipenuhi relasi

maka dengan memperhatikan posisi kita akan mengetahui posisi

jika maka

jika maka

Demikian juga pada interval Y

jika maka

jika maka


Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan perkalian interval, yaitu:

interval positif kali interval positif

interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya

interval negatif kali interval positif dan sebaliknya

interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya

interval negatif kali interval negatif

perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol


X kemungkinan perkalian interval, yaitu:

Y

(

)

1).

x

0

X

Y

(

)

2).

x

0

X

Y

(

)

3).

x

0

X

Y

(

)

x

0

4).

(

(

(

(

)

)

)

)

Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah:


X kemungkinan perkalian interval, yaitu:

Y

(

)

5).

x

Y

X

6).

Y

X

7).

(

)

(

)

Y

X

8).

Y

X

9).

)

)

(

(

)

(

(

)

0

0

0

0

0

(

)

(

(

)

)


X kemungkinan perkalian interval, yaitu:

Y

(

)

1).

x

0

Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum:

(

)

Contoh dan Penjelasan

Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas sedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah.

Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalian bilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil bilangan positif.


X kemungkinan perkalian interval, yaitu:

Y

(

)

2).

x

0

Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum:

(

)

Contoh dan Penjelasan

Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang lain (yang positif).

Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.


Nilai terbesar yang bisa dicapai kemungkinan perkalian interval, yaitu:

Nilai terkecil yang bisa dicapai

Formula umum:

X

Y

(

)

3).

x

0

(

)

Contoh dan Penjelasan

Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif.

Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif


4 kemungkinan perkalian interval, yaitu:).

Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum:

X

Y

(

)

x

0

(

)

Contoh dan Penjelasan

Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.

Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.


X kemungkinan perkalian interval, yaitu:

Y

5).

(

)

x

Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum:

0

(

)

Contoh dan Penjelasan

Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas.

Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah.


Y kemungkinan perkalian interval, yaitu:

X

6).

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Nilai terkecil yang bisa dicapai

Formula umum:

0

(

)

(

)

Contoh dan Penjelasan

Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif.

Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif


7). kemungkinan perkalian interval, yaitu:

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Y

Nilai terkecil yang bisa dicapai

X

Formula umum:

(

)

(

)

0

Contoh dan Penjelasan

Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang lain (yang positif).

Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.


Nilai terkecil yang bisa dicapai kemungkinan perkalian interval, yaitu:

Nilai terbesar yang bisa dicapai

Formula umum:

Y

X

8).

)

(

(

)

0

Contoh dan Penjelasan

Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.

Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.


Y kemungkinan perkalian interval, yaitu:

X

9).

)

)

(

(

0

Contoh dan Penjelasan

Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum

Akan bernilai positif sehingga tak mungkin menjadi

batas minimum

Akan bernilainegatifsehinggatakmungkinmenjadi

batasmaksimum


Kebalikan Interval kemungkinan perkalian interval, yaitu:

Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan dari X didefinisikan sebagai

Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka

Contoh: X = [2, 10]  1/X = [0.1, 0.5]

Jika ditinjau keadaan umum dimanainterval Xmengandung 0, kebalikan dari Xakan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain. Keadaan demikian ini belum akan kita lihat.


Pembagian Interval kemungkinan perkalian interval, yaitu:

Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara X dengan kebalikan Y.

Contoh:X = [4, 10], Y = [2, 10]

X/Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5]


Sifat-Sifat kemungkinan perkalian interval, yaitu:

Aritmatika Interval


Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasi-operasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan biasa yang sudah kita kenal.

Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilangan biasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika interval. Ternyata memang demikian.

Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang sangat menyolok.


Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikan sebagai

Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.


Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi: didefinisikan sebagai

[0, 0] dan [1, 1]

yang dituliskan sebagai 0 dan 1

Jadi X + 0 = 0 + X dan 1·X = X·1

Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalam aritmatika interval:

X  X  0 dan X / X 1 jika w(X) > 0


Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah: didefinisikan sebagai

X (Y + Z) = XY + XZ

  • Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut:

  • Jika Y dan Z adalah interval simetris;

  • Jika YZ > 0

Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku:

[0, 1] (1-1) = 0

tetapi

[0, 1]  [0, 1] = [1, 1]


Bahan didefinisikan sebagaiKuliah Terbuka

AritmatikaInterval

SudaryatnoSudirham


ad