x 1 x 2 x i-1 x i

1. y y=f(x) x Задача о площади криволинейной трапеции B f(ξi) A ξ3 ξn ξ1 ξ2 ξi b a x1 x2 xi-1 xi Эта сумма выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, и приближенно заменяет криволинейную трапецию. Площадью криволинейной трапеции является

2. Определение определенного интеграла Пусть функция y=f(x) определена на [a, b]. 1). Разобьем [a, b] на n частей точками x1 < x2 < … < xk<…< xn-1. Множество T={a=x0, x1, x2, …, xn=b} называется разбиением на отрезке [a, b], каждый отрезок [xk-1, xk] называется элементарным,Dxk= xk–xk-1– их длина. 2) На каждом элементарном отрезке [xk-1, xk] выберем точку xkпроизвольно!!! (xk∈Dxk). 3) Вычислим f(xk) ∈ xk. 4) Составим произведениеf(xk) Dxk , . 5) Запишем интегральную сумму – интегральная сумма Римана 6) Перейдем к пределу так, что Определенным интегралом или интегралом Римана на отрезке [a, b] называется предел интегральной суммы при n→∞ (1)

3. Теорема 1. Необходимый признак интегрируемости Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке. Следствие: если функция не ограничена на отрезке [a, b], то она не интегрируема на [a, b]. Пример. Доказать, что функция Дирихле не интегрируема на отрезке [a, b]. Функция Дирихле

4. Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле (13 февраля1805, Дюрен,— 5 мая1859, Гёттинген) — немецкий математик, внес существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел В 1825 г. Дирихле вместе с А. Лежандром доказал теорему Ферма для частного случая n =5. В 1827 г. он по приглашению Александра фон Гумбольдта устраивается на должность приват-доцента университета Бреслау (Вроцлав). В 1829 г. перебирается в Берлин, где проработал непрерывно 26 лет, сначала как доцент, затем с 1831 г. как экстраординарный, а с 1839 г. как ординарный профессор Берлинского университета. • Основные работы • О сходимости тригонометрических рядов, служащих для представления произвольной функции в данных пределах, 1829 • Доказательство утверждения о том, что любая неограниченная арифметическая прогрессия с первым членом и шагом, являющимися целыми числами и не имеющих общего делителя, содержит бесконечное число простых чисел (теорема Дирихле), 1837

5. Основные свойства определенного интеграла. 1. 2. 3. 4. каково бы ни было расположение точек a,b,c. 5.

6. y x x 6. Если функция y=f(x)интегрируема и неотрицательна на [a, b] и a<b, то 7. Если две функции y=f(x)и y=g(x) интегрируемы на [a, b], a<b и f(x) ≤g(x) для любого x∈[a, b], то g(x) f(x) a b 8.

7. y f(x) y M m x x x a b x 9. Если функции y=f(x)непрерывна на [a, b], a<b и ∀x∈[a, b] выполняется m ≤f(x )≤ M , то 10. Теорема о среднем Пусть функция y=f(x) интегрируемана [a, b] и ∀x∈[a, b] выполняется m ≤f(x )≤ M , тогда f(x) f(c) c a b Геометрически: при некотором значении с ∈[a, b] f(с) =m. Площадь под кривой f( x ) ≥ 0– площадь криволинейной трапеции – равна площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной среднему значению функции на этом отрезке. f(с) = m – среднее значение функции.

8. y y=f(x) a b x Достаточные условия интегрируемости (классы интегрируемых функций) Теорема 2. Если функция y=f(x) определена и непрерывна на [a,b], то она интегрируема на [a,b]. Теорема 3. Если функция y=f(x) монотонна и ограничена на [a,b], то она интегрируема на [a,b]. Теорема 4. Если функция y=f(x) имеет конечное число точек разрыва первого рода на [a,b], то она интегрируема на [a,b].