9. Duas Funções de duas Variáveis Aleatórias

1. 9. Duas Funções de duas Variáveis Aleatórias Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com f.d.p.conjunta Considere ainda duas funções e tal que se define duas variáveis aleatórias Como determinar a f.d.p. conjunta de Z e W, DZ é a região de xy tal que:

2. Exemplo 9.1: Suponha que X e Y são v.a. independentes uniformemente distribuídas no intervalo Define-se Determine Solução: Obviamente w e z variam no intervalo Então Deve-se considerar dois casos : e uma vez que pertencem a diferentes regiões, como mostra a figura.

3. Para na Fig. 9.2 (a), a região DZW é representada pela área tal que: e para tem-se: como obtém-se Então

4. As f.d.p. marginais de Z e W são dadas por: Se e são funções contínuas e diferenciáveis, então é possível desenvolver uma fórmula para obter a f.d.p. conjunta diretamente. Assim as equações para um dado ponto (z,w), pode ter n soluções representadas pelos pares: de modo que

5. (b) (a) Assim observando a figura a pode-se escrever Então Agora é preciso escrever fZW(z,w) em função de fZW(z,w)

6. Após varias manipulações matemática chega-se a Onde:

7. Exemplo 9.2: Suponha que X e Y são duas v.a.’s gaussianas, independentes, ambas com média zero e variância Define-se onde Determine Solução: Se é uma par de solução então é também solução, pois Substituindo y tem-se Então

8. Assim há dois conjunto de soluções Calculando o jacobiano Calculando o jacobiano

9. Substituindo determina-se fZW(z,w) que representa a f.d.p de uma v.a. de Rayleigh r.v com parâmetro As f.d.p. marginais de Z e W, são dadas por:

10. Que representa uma v.a. uniformemente distribuída no intervalo Observa-se ainda que assim Z e W são v.a.’s independentes. Resumo: Se X e Y são variáveis aleatórias gaussianas e independentes, com média zero e com variâncias iguais, então as variável aleatórias têm respectivamente, distribuições Rayleigh e uniforme. Se X e Y são variáveis aleatórias independentes então Z=g( X,Y ) e W=h( X,Y ) são ainda independentes.

11. Exemplo 9.3: Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuições exponenciais ambas com parâmetro . Define-se U = X + Y, V = X - Y. Encontre a f.d.p. conjunta e as marginais de U e V. Solução: Como u = x + y, v = x - y, implica que sempre e portanto, há somente um par de solução. assim:

12. Variáveis Auxiliares: Suponha que Z = g( X,Y ) onde X e Y são duas variáveis aleatórias. Neste caso pode-se determinar a f.d.p. da v.a. Z, usando uma variável auxiliar, definida por W = X ou W = Y. A f.d.p. Z pode ser obtida integrando-se . Exemplo 9.4: Suponha que Z = X + Y e seja W = Y tal que a Tem-se Se x e Y são independentes

13. Exemplo 9.5: Sejam  e  variáveis aleatórias independentes. Define-se Encontre a f.d.p. da v.a. Z. Solução: Usando a variável auxiliar W = Y, tem-se

14. Encontre a função densidade de Z. Solução: Podemos fazer uso da variável auxiliar W = Y neste caso. Temos então a solução única: e usando Fazendo as devidas substituições, obtemos (9-58) PILLAI

15. Agora para encontrar fZ(z) integra-se fZW(z,w) em relação a z fazendo então Como w varia de 0 a 1, u varia de que representa a f.d.p. de uma variável aleatória gaussiana com média zero e variância unitária.