Kvantitative metoder 2

1. Kvantitative metoder 2 Heteroskedasticitet 18. april 2007 KM2: F20

2. Dagens program • Efficient estimation under heteroskedasticitet (Wooldridge 8.4): • Sidste gang: Kendte vægte - Weighted Least Squares (WLS) • Eksempel: Overskud/omsætning (Obl. opg. 2) • Generalized Least Squares (GLS) • Ukendt form for heteroskedasticitet: Feasible Generalized Least Squares (FGLS) • Eksempel: Cigaretefterspørgsel. • Lineær sandsynlighedsmodel (Wooldridge 8.5). KM2: F20

3. Hvordan finder man en mere efficient estimator end OLS? Ved at konstruere en model med et fejlled som hvor den betingede varians er konstant: Forudsætter at h-funktionen er kendt! Eksempel: Overskud/omsætning (Obl. opgave 2) KM2: F20

4. Ukendt form af heteroskedasticitet (som skal estimeres): FGLS • I mange tilfælde er den eksakte form for heterosk. ukendt (dvs. h er ukendt) • …men h kan modelleres og efterfølgende estimeres • Ved at benytte kan man igen transformere den oprindelige model. • I den transformerede model benyttes så OLS. • Denne procedure kaldes Feasible (”ladsiggørlig”) GLS (FGLS) KM2: F20

5. FGLS • Der findes mange måder at modellere heteroskedasticitet. Her er gennemgået en version. • Antag at variansen er givet ved • Bemærk: Variansen er altid positiv • Variansen er proportional med • For at kunne korrigere er det nødvendigt at kende værdien af parametrene. KM2: F20

6. FGLS • Hvis variansen er givet ved (*) gælder der følgende: • Givet uafhængighed mellem x og v kan parametrene estimeres ved OLS i følgende regressionsmodel: hvor modellen opfylder MLR.1 – MLR.4, så OLS vil give middelrette estimatorer. Men: Fejlleddet observeres ikke. KM2: F20

7. FGLS • Når parametrene skal estimeres erstattes fejlledene med OLS residualerne i hjælpeligningen • Ud fra parameterestimaterne udregnes h • Regression på transformeret model kan så udføres med • Alternativt kan hjælperegressionen i (**) erstattes med KM2: F20

8. Hypotesetest med FGLS estimater • FGLS er konsistent og asymptotisk mere efficient end OLS • F- og t-test er asymptotisk hhv. F- og t-fordelte. • Når man laver F-test med FGLS (og med WLS) er det vigtigt at den restrikterede og den urestrikterede model er estimeret med de samme vægte • Proceduren for F-test med FGLS • Estimer den urestrikterede model med OLS • Udregn vægtene • Estimer den urestrikterede model med disse vægte • Estimer den restrikterede model med samme vægte • Udfør F-testet KM2: F20

9. FGLS • Procedure for FGLS KM2: F20

10. WLS/FGLS og OLS • Sammenligning af WLS/FGLS og OLS • OLS og WLS estimater kan være (meget) forskellige • Hvis OLS og WLS er statistisk signifikant forskellige, bør man være varsom med at fortolke resultaterne. Dette kan være tegn på misspecifikation af modellen (specielt at antagelse MLR.4 ikke er opfyldt). • Eksempel: Cigaretefterspørgsel. KM2: F20

11. Lineær sandsynlighedsmodel • I den lineære sandsynlighedsmodel er der heteroskedasticitet: • Det følger så hvordan h skal konstrueres nemlig som • Problem: Det kan forekomme at • Ad hoc korrektion: • Eller brug OLS og heterosk. robuste standardfejl. KM2: F20

12. Lineær sandsynlighedsmodel KM2: F20

13. NB’er • En efficient estimator tillægger hver observation/residual en vægt, der er omvendt proportional med variansen på fejlleddet. • Den optimale vægt til hver observation kan estimeres ud fra data: FGLS. • Parametrene er (igen) de samme som i den oprindelige model og skal fortolkes ud fra den. KM2: F20

14. Næste gang: • Ingen forelæsninger eller øvelser i næste uge (Tværfaglig semesteropgave) • Mandag den 30. april • Obligatorisk opgave 2 • Specifikation og dataproblemer: W9.1-9.2 • Funktionel form misspecifikation • Proxyvariabler KM2: F20