Fifei 03 mechanika dynamika hmotn ho bodu a soustav y hmotn ch bod
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 32

FIFEI-03 Mechanika – dynamika hmotného bodu a soustav y hmotných bodů. PowerPoint PPT Presentation


  • 163 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

FIFEI-03 Mechanika – dynamika hmotného bodu a soustav y hmotných bodů. http://stein.upce.cz/ ms fei 14 . html http:// stein .upce.cz/ fei /fIfei_03.html. Doc. Milo š Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029. Hlavní body. Dynamika hmotného bodu Síla, hmotnost, hybnost, Newtonovy zákony

Download Presentation

FIFEI-03 Mechanika – dynamika hmotného bodu a soustav y hmotných bodů.

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Fifei 03 mechanika dynamika hmotn ho bodu a soustav y hmotn ch bod

FIFEI-03 Mechanika – dynamika hmotného bodu a soustavy hmotných bodů.

http://stein.upce.cz/msfei14.html

http://stein.upce.cz/fei/fIfei_03.html

Doc. Miloš Steinhart, UPCE 06 036, ext. 6029


Hlavn body

Hlavní body

  • Dynamika hmotného bodu

    • Síla, hmotnost, hybnost, Newtonovy zákony

    • Impuls síly, práce, kinetická energie, výkon síly

  • Blíže k realitě : soustava (systém) hmotných bodů a dokonale tuhé těleso

    • První impulsová věta

    • Moment hybnosti – základní zákony zachování

    • Dynamika rotačních pohybů

    • Druhá impulsová věta

    • Hmotný střed, moment setrvačnosti a Steinerova věta

    • Rozklad silového působení na translační a rotační u dokonale tuhého tělesa


Vod do dynamiky

Úvod do dynamiky

  • Mechanika by byla neúplná, kdyby se nezabývala, důvody proč se tělesa dávají do pohybu, zrychlují, zpomalují, zakřivuje se jejich dráha nebo co se děje při jejich srážce.

  • Pohybují-li se tělesa (s neměnící se hmotností) s nenulovýmzrychlením, musí na ně působitnenulová síla, obecně výslednice působících sil.

  • Ale k udrženírovnoměrnéhopřímočarého pohybu síly tedy třeba není .

  • Dojít k tomuto jednoduchému závěru bylo velice obtížné a zdlouhavé, protože síly, jako například tření, nemusí být patrné a mohou být i dalekodosahové.


Fifei 03 mechanika dynamika hmotn ho bodu a soustav y hmotn ch bod

Síla

  • Síla je příčinou proč jsou objekty v rovnováze, dávají se do pohybu, padají k zemi, brzdí nebo mění směr svého pohybu.

  • Jednotkou síly v soustavě SI je jeden newton:

  • Síla je vektorovou veličinou, výsledná síla je vektorovým součtem všech působících sil.

  • Síly mohou být způsobené přímým dotykem těles nebo dalekodosahové. Ty působí na dálku bez přímého kontaktu ovlivňujících se těles.


Hmotnost

Hmotnost

  • Intuitivně považujeme hmotnost za míru množstvílátky.

  • Jednotkou hmotnosti v soustavě SI je jeden kilogram.

  • Ukazuje se, že setrvačná hmotnost je velmi přesně rovna hmotnosti gravitační.

  • Dynamika ukazuje že přesněji je to mírasetrvačnosti tělesa.

  • Čím je těleso těžší, tím obtížněji lze změnit jeho pohybový stav.


Hybnost

Hybnost

  • Pohybovýstav hmotného bodu lze popsat vektorem hybnosti definovaným jako:

  • Význam hybnosti spočívá v tom, že se zachovává, když je výslednicesil působících na hmotný bod nulová. Pokud nulová není, mění se. Záleží na všech interakcích s jinými hmotnými body i se silovými poli.


Newtonovy z kony

Newtonovy zákony

  • Isaac Newton (1642-1727) geniálně shrnul poznatky klasické dynamiky do tří zákonů:

    • Zákonu setrvačnosti

    • Zákonu síly

    • Zákonu akceareakce

  • Upřesnění těchto zákonů bylo nutné až za hranicemi klasické mechaniky, při vysokýchrychlostech a v mikrosvětě .


Z kon setrva nosti

Zákon setrvačnosti

  • Nepůsobí-li na hmotný bod síla, pohybuje se rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu.

  • Přesněji: Je-li síla působící na hmotný bod nulová, je jeho hybnost konstantní.

    • Silou se zde a dále obecně rozumí výslednicevšech působících sil. Samozřejmě i reakčních!

    • V této formulaci jsou zahrnuty i speciální pohyby, kde se měníhmotnost, jako raketový.


Z kon s ly i

Zákon síly I

  • Síla působící na hmotný bod je rovnačasovézměně jeho hybnosti.

  • Za předpokladu, že hmotnost zůstává konstantní, platí formulace jednodušší :

  • Jednotkou síly je 1newton : N = kg m s-2


Z kon s ly ii

Zákon síly II

  • Předchozí vztahy jsou vektorové. Platí tedy i v příslušných složkách. Například:

    • Nenulová druhá složka síly je rovna změně druhé složky hybnosti v čase.

    • Je-li třetí složka síly nulová, je třetí složka hybnosti konstantní, atd.


Z kon akce a reakce

Zákon akce a reakce

  • Působí-li těleso 1 na těleso 2 silou ,

    působí i těleso 2na těleso 1 silou .

    • Obě síly jsou stejněvelké, ale opačněorientované: .

    • Každá působí na jiné těleso a proto se tyto síly spolu nedajíobecněsložit.

    • Složit se dají jen když je mezi tělesy tzv. vazba, Tedy jsou spojena. Potom je účineksilnulový.


Asov inek s ly impuls

Časový účinek síly - impuls

  • Působí-li konstantnísíla po jistou dobu, dostáváme integrací 2. Newtonova zákona :

    Změnahybnosti se rovnáimpulsu síly.

    • Je tedy důležité, jakdlouho síla působí.

    • Vztah opět platí samozřejmě i ve složkách.


Dr hov inek s ly pr ce i

Dráhový účinek síly– práce I

  • Pro jednoduchost předpokládejme konstantnísílu a hmotnost a pohyb jednímsměrem(po jedné přímce = ose x).

  • V důsledku působení síly se stav hmotného bodu změní (t1, x1, v1) -> (t2, x2, v2).

  • Z 2.NZ víme, že se jedná o rovnoměrně zrychlený pohyb a můžeme použít vztahu pro souřadnici v čase t, známého z kinematiky:


Dr hov inek s ly pr ce ii

Dráhový účinek síly - práce II

  • Pro konkrétní čas t2 tedy platí:

  • Vyjádříme a a čas (pomocí rychlosti) :

    • a = F/m

    • (t2 – t1) = (v2 – v1)/a = (v2 – v1)m/F

  • Poúpravě :


Dr hov inek s ly pr ce iii

Dráhový účinek síly– práce III

  • Tedy :A = F x = v22 m/2– v21 m/2 = Ek

  •  Aje práce, kterou vykoná síla F na drázex

  • mv2/2 = Ek je kinetická(pohybová) energie

  • Obě veličiny mají rozměr energie a v SI jednotku1joule : J = Nm= kg m2 s-2

  • Obecně se musí uvažovat průmětsílydosměrupohybu. Práce je tedy skalární součin :


Dr hov inek s ly i

*Dráhový účinek síly I

  • Uvažujme opět jednorozměrný případ působení konstantní síly na kompaktní hmotný bod. V obecnějším případě bychom ztotožnili osu x se směrem posunu a uvažovali pouze složku síly do tohoto směru.

  • Použili jsme:

  • Lze ukázat:


V kon p sob c s ly

Výkon působící síly

  • Často je důležité, za jakou dobu došlo k vykonání určité práce. To charakterizujeme výkonem, který chápeme jako rychlostkonánípráce a definujeme analogicky jako ‘klasickou’ rychlost :

    • Průměrný výkon :<P> = A/t

    • Okamžitý výkon : P = dA/dt

    • Jednotkou výkonu v SI je 1wattW = Js-1


Soustava hmotn ch bod i

Soustava hmotných bodů I

  • Dosud jsme se zabývali mechanikou hmotnéhobodu. Tato abstrakce se hodila pro pohodlnou definici základních veličin mechaniky, ale při splnění příslušných předpokladů ji lze použít i k řešení skutečných problémů.

  • Obecný sytém lze chápat jako soustavuhmotných bodů, které spolu jistým způsobem interagují.


Hmotn st ed i

Hmotný střed I

  • Celou soustavu lze reprezentovat těžištěm, přesněji hmotnýmstředem , ve kterém je soustředěna celá hmotnost soustavy

  • Definice těžiště platí i ve složkách, čehož se využívá, má-li problém méně dimenzí než 3:

    , ,


Hmotn st ed i i

*Hmotný střed II

  • Získáme ho integrací rovnice pro celkovou hybnost :


Hmotn st ed ii

Hmotný střed II

  • Hmotný střed:

    • Nezávisí na volbě souřadné soustavy. Ale její vhodná volba může značně usnadnit výpočet.

    • Je v průsečíku prvků symetrie. S ohledem na to volíme souřadnou soustavu.

    • U těles s rotační symetrií lze využít Pappovateorému : dráha těžiště x plocha = objem.

    • U těles, skládajících se ze součástek lze jako uvažovat těžiště těchto součástek a mi jejich hmotnosti.


Hmotn st ed iii

Hmotný střed III

  • Uvažujme nový počátek v těžišti

  • Potom :

  • Této rovnosti lze využít k důkazu důležitých vlastností těžiště : rotace systému kolem libovolné osy, procházející těžištěm a pohyb posuvný neboli translační tohoto těžiště v prostoru jsou pohyby na sobě nezávislé.


Prvn v ta impulsov i

První věta impulsová I

  • Na i-tý hmotný bod působí výslednice sil, kterou můžeme rozdělit na výslednici vnitřních sil, pocházejících z interakce s hmotnými body, které jsou součástí systému a výslednici sil vnějších. Podle 2. Nz.:


Prvn v ta impulsov ii

První věta impulsová II

  • Celkováhybnost systému je vektorovýsoučet všech hybností:

  • Potom platí:

    !


Prvn v ta impulsov iii

První věta impulsová III

  • Časová změnacelkovéhybnosti je rovna výslednici vnějších sil.

  • Jinými slovy celkovou hybnost mohou ovlivnitpouzevnější síly.

  • Je to významný důsledek platnosti zákona akce a reakce. Součet všech vnitřních sil přes celý systém je totiž roven nule :


Moment hybnosti z kladn z kony zachov n

Moment hybnosti – základní zákony zachování

  • Z dynamiky hmotného bodu je zřejmé, že je-li výslednice působících sil nulová, zachovává hmotný bod svoji hybnost a kinetickou energii.

  • Přímočarý pohyb je možné chápat jako okamžitou rotaci kolem počátku a definovat rotační pohybový stav hmotného bodu – moment hybnosti:

  • Tato veličina se zachovává. K zachování dochází i při působení nenulové síly, pokud je kolineární s průvodičem, například centrálnísíla při pohybu planet.


Skal rn sou in

Skalární součin

DefiniceI (ve složkách)

  • Definice II

Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru.

^


P klad na v po et t i t i

Příklad na výpočet těžiště I

  • Mějme čtyři koule o hmotnosti 1, 2, 3 a 4 kg, ležící na jedné přímce vždy 1 m od sebe. Kde je těžiště tohoto systému?

  • Leží-li koule na přímce je tato přímka osou symetrie, problém je jednorozměrný a je vhodné právě tuto přímku ztotožnit s jednou z os, například osou x. Poloha těžiště na volbě počátku samozřejmě nezávisí, ale je výhodné zvolit počátek ve středu jedné z koulí, např. první. Potom:

    Těžiště tedy leží ve středu třetí koule a můžete si vyzkoušet, že tam bude ležet i při jiné volbě počátku.


P klad na v po et t i t ii

Příklad na výpočet těžiště II

  • Mějme opět čtyři koule o hmotnosti 1, 2, 3 a 4 kg, ležící v rozích čtverce o straně 1 m. Kde je těžiště tohoto systému?

  • Problém má nyní rovinu symetrie a je tedy dvourozměrný. Osy zavedeme, aby na nich ležely dvě kolmé strany čtverce, čili jedna koule leží v počátku. Ať tedy koulemajínapř. souřadnice: 1:[0,0], 2:[1,0], 3:[0,1] a 4:[1,1]. Potom:

    Těžiště má souřadnice [0.6, 0.7]. Koule s příslušnou souřadnici nulovou jsme již ve výpočtu vůbec neuvažovali.


P klad na v po et t i t iii

Příklad na výpočet těžiště III

  • Mějme nyní koule o hmotnosti 1, 2, 3 a 4 kg v některých rozích krychle o straně 1 m. Kde je těžiště tohoto systému?

  • Nyní problém nemá symetrii a je třírozměrný. Stále je ale výhodné zavést speciálně souřadnou soustavu, takže např. souřadnice koulí jsou: 1:[0,0,0], 2:[1,0,0], 3:[0,1,0] a 4:[0,0,1]. Potom:

    Těžiště má souřadnice [0.2, 0.3, 0.4]. Koule s příslušnou souřadnici nulovou jsme již ve výpočtu vůbec neuvažovali

    A neopakujeme již ani definice složek těžiště.

^


P klad na v po et t i t iv

Příklad na výpočet těžiště IV

  • Kde leží těžiště půlkruhu, který vznikl rozpůlením kruhové desky o poloměru a?

  • Problém má jednak rovinu symetrie a je tedy dvourozměrný a dále dvojčetnou osu, procházející středem původní kruhové desky kolmo na řez. Tu ztotožníme s osou x a na ní hledáme těžiště. Osa y bude přímka řezu a počátek tedy původní střed.

  • Otočíme-li půlkruh kolem osy y o jednu otáčku, dostaneme kouli. Bude-li souřadnice těžiště xT, bude podle Pappova teorému platit:


P klad na v po et t i t v

Příklad na výpočet těžiště V

  • Poněkud složitější cestou řešení předchozího problému je integrace v polárních souřadnicích :

  • Integrací lze ale řešit problémy s podstatně slabšími požadavky na symetrii, než vyžaduje Pappův teorém.

^


  • Login