HEDEF PROGRAMLAMA

1. HEDEF PROGRAMLAMA

2. Hedef Programlama • Yaşadığımız dünyada kaynakların azlığı ve eldeki bilgilerin yetersizliği nedeniyle, her zaman karar vericilerin tercihlerini temsil eden, güvenilir matematiksel modelleri kurmak çoğu zaman olanaksızdır.

3. Hedef Programlama • Bazı şirket yönetimlerinin toplam kârın maksimumu veya toplam maliyetin minimumu gibi tek amaçtan ziyade çok farklı amaçlar üzerine odaklandığı durumlarda, çok ölçütlü (kriterli) karar verme yaklaşımı gerekir.

4. Hedef Programlama • Çok ölçütlü karar vermede kayda değer sayıda teknikler geliştirilmiş olup, bunlardan en ilgi çekenlerden birisi HEDEF PROGRAMLAMA’dır.

5. Hedef Programlama • Karar vericiler için bu tekniğin en önemli özelliği; her bir tercihe veya nitelendirmeye doyurucu bir hedef değerini atayabilmesidir. • Hedef programlama ile istenmeyen sapma değişkenleri fonksiyonu minimum kılınır.

6. Hedef Programlama • Her bir amaç için spesifik sayısal hedef sağlamak maksadıyla, her amacın fonksiyonu formüle edilir ve bu amaçları kaçırmadan, doğan toplam cezayı minimum kılan bir çözüm aranır. • Bu toplam ceza, amaç fonksiyonlarının her birinin hedeflerinden sapmalarının ağırlıklı toplamını ifade eder.

7. Hedeflerin Olanaklı Türleri 1. Tek taraflı hedefin altına düşülmek istenmediğinde (fakat üstüne çıkılmasının iyi olduğu) hedef için aşağı bir sınır değeri konur ve amaç fonksiyonu bu hedefin altına düşerse bir ceza takdir edilir.

8. Hedeflerin Olanaklı Türleri 2. Tek taraflı hedefin üstüne çıkmak istenmediğinde hedefin üst sınır değeri konur ve bu uygun amaç fonksiyonu hedefi aşarsa (sınırın altına düşmek iyi olmakta) bir ceza verilir.

9. Hedeflerin Olanaklı Türleri 3. Her iki tarafta da bir kayıp istenmediğinde spesifik bir hedef konulur ve uygun amaç fonksiyonu her iki yönde de (altında veya üstünde) konulan bu hedeften saparsa bir ceza verilir.

10. Hedef Programlama • İş dünyasında yöneticiler sıkça kararlarında tek ölçüt yerine çoklu ölçütler kullanır, bir bakıma birden fazla hedefin gerçekleşmesini isterler. • Tüm bu hedeflerin aynı anda gerçekleşmesi güçtür. Bu yüzden yönetim, problemdeki istek düzeyleri kümesini en iyi doyuran çözümü elde etmeye çalışır.

11. Hedef Programlama • Hedef programlama böyle bir doyuran çözümü bulmak için kullanılabilir. Dolayısı ile hedef programlama optimaliteden ziyade doyuma ulaşmayı sağlar.

12. Hedef Programlama • Karar verici öncelikle ilgi hedefleri ve bu hedefler için kabul edilen öncelikleri belirler. Genellikle hedefler sıralandırılır ve her öncelik düzeyindeki hedeflere öncelikli ağırlıklar verilir. • Bu öncelikli ağırlıklar, sayısal değer veya kodlar verilerek yapılır.

13. Hedef Programlama • Yüksek öncelikli hedefler daha düşük öncelikli hedeflerden önce doyurulur. • Hedef programlama, problem kısıtlayıcılarına bağlı olarak önceliklendirilen hedeflerden sapmaları minimum kılar.

14. Hedef Programlama • Geleneksel tek amaç fonksiyonlu doğrusal programlamanın karşılayamadığı kısıtlara ilişkin hedef sapmalarını, hedeflere ilişkin öncelikleri belirlediği gibi, amaç fonksiyonundaki değişkenlerin aynı ölçü biriminde olması koşulunu da aramamaktadır.

15. Hedef Programlama • Doğrusal hedef programlamada en önemli durum, tüm amaç fonksiyonları ve kısıtlayıcı fonksiyonlarının doğrusal fonksiyon olmasıdır. • Dolayısıyla doğrusal hedef programlama modelinin, klasik doğrusal programlama modeli gibi tekrar formüle edilmesi olanaklı olup, böyle bir modeli çözmek için de Simpleks Yöntem kullanılabilir.

16. Hedef Programlamanın Tanımı • Hedef programlama, çok amaçlı karar verme problemlerini çözmek için karar vericilere doyurucu bir çözüm kümesini sağlayan önemli bir teknik olduğu gibi, karar vericinin her bir nitelendirmesine de doyurucu bir hedef değerini atayabilmektedir.

17. Hedef Programlamanın Tanımı • Hedef programlama, verilen kısıtlayıcılar altında amaç ölçütünü doğrudan maksimum veya minimum kılmaktan ziyade hedeflerin kendi içindeki sapmaları minimum kılmaya odaklanan bir tekniktir.

18. Hedef Programlamanın Tanımı • Hedef programlama, hedefler ve onların istenilen düzeyleri arasındaki sapmaları minimum kılan bir tekniktir. • Hedef programlama, çok ölçütlü karar problemlerinin çözümü için uygulanan bir tekniktir.

19. Hedef Programlamanın Tanımı • Hedef programlama, çok alt hedefi olan çok hedefli problemler gibi çok alt hedefli tek bir hedefi amaçlayan karar problemlerinin çözümünde kullanılan doğrusal programlamanın genişletilmiş özel bir durumudur. Hedef programlamada, doğrusal programlamada olduğu gibi amaç fonksiyonunun boyutsal bir kısıtlaması yoktur.

20. Hedef Programlamanın Tarihsel Gelişimi • Hedef programlama, ilk önce 1950’lerin başında Charnes ve Cooper tarafından doğrusal programlamanın çok amaçlı ve esnek kısıtlamalı problemlerin çözümündeki yetersizliğini göz önüne alarak ortaya atılmıştır.

21. Hedef Programlamanın Tarihsel Gelişimi • Hedef programlama, daha sonra Ignizio, Lee, Tamiz, Romero ve diğerleri tarafından geliştirilmeye devam edilmiştir. • Ignizio 1970’lerin başında doğrusal hedef programlamaya dualite kavramını katmıştır.

22. Hedef Programlamanın Tarihsel Gelişimi • Matematiksel programlama türlerine göre; - Doğrusal Programlama - Tam Sayılı Programlama - Doğrusal Olmayan Hedef Programlama şeklinde sınıflandırılmaktadır. • Ayrıca çeşitli Bulanık Hedef Programlama Modelleri de literatürde yer almıştır.

23. Hedef Programlamanın Varsayımları • Alışılagelmiş doğrusal programlamanın; - Toplanabilirlik, - Bölünebilirlik, - Oransallık, - Belirlilik varsayımlarına, • Hedeflere ilişkin önceliklerin karar verici tarafından belirlenmesi varsayımı eklenebilir. • Ayrıca tüm değişkenlerin pozitif olma koşulunun da aranması gerekmektedir.

24. Hedef Programlamanın Bileşenleri • Hedef Programlamada; - Karar değişkenleri, - Sapma değişkenleri, - Sistem kısıtlayıcıları, - Amaç fonksiyonu bulunur.

25. Karar Değişkenleri • Doğrusal programlamada tanımlanan değişkenlerin aynısıdır. (Üretilecek ürün miktarı, yatırım yapılacak para miktarı, istihdam edilecek işçi sayısı, girdi miktarı vb.)

26. Sapma Değişkenleri • Hedeflerin üstünde veya altındaki miktarı gösteren değişkenlerdir. • Klasik hedef programlama modellerinde karar verici tarafından belirlenen hedef değerlerindeki istenmeyen sapmalar kabul edilebilen bir çözüme ulaşmak için minimum kılınır. • Her bir hedef için belirlenen istenmeyen değişkenler pozitif ve negatif sapma değişkenleri kullanılarak ölçülür ve onlar hedefin başarısını veya başarısızlığını gösterir.

27. Sapma Değişkenleri • Hedef programlamada sapma değişkenleri genellikle di ve disimgesiyle gösterilir. • Sapma değişkenleri negatif değerli olamazlar ve bir hedefin hem üstünde ve hem altında bir anda olunamayacağından, bunlardan birinin değeri de daima sıfır olur. - +

28. ÖRNEK • Yöneticinin aylık X model gömlek üretim hedefi en az 20500 olsun. Hedef programlama modelin çözümünde X modelin üretim miktarı 22000 ise; di = 22000 – 20500 = 1500 ve di = 0 ‘dır. • Aylık gömlek üretim miktarı 20000 ise; di = 20500 – 20000 = 500 ve di = 0’dır. • X modelin aylık üretim hedefi tam 20500 ise; Belirlenen hedef gerçekleştiğinden di = 0 ve di = 0 olacaktır. - + - + - +

29. Sapma Değişkenleri • Hedef kısıtlayıcılarına bağlı olarak sapma değişkenleri istenen veya istenmeyen değişken olarak da adlandırılır. • Hedef kısıtlayıcısı ≥ yönde ise di istenen değişken, di ise istenmeyen sapma değişkenidir. • Hedef kısıtlayıcısı ≤ yönde ise di istenen, di ise istenmeyen sapma değişkenidir. • Hedef kısıtlayıcısı = ise di ve di her ikisi de istenmeyen sapma değişkenleridir. + - - + - +

30. Sistem Kısıtlayıcıları • Teknolojik, yapısal veya sistem kısıtlayıcıları, probleme ilişkin geliştirilen hedef programlamada tam olarak sağlanması gereken ve hiçbir sapmaya izin verilmeyen kısıtlayıcılardır. Örneğin; 10 x1 + 20 x2 ≤ 4000 ise, karar değişkenleri x1 ve x2 nin çözüm değerleri kesinlikle bu eşitsizliği sağlamalıdır. • Sistem kısıtlayıcısı ancak zaman içinde veya problemin yeniden modellenmesi söz konusu olduğunda değişebilir.

31. Hedef Kısıtlayıcıları • Karar vericinin ulaşmayı istediği veya gerekli gördüğü hedefler, hedef programlamaya hedef kısıtlayıcıları ile aktarılır. • Bu kısıtlayıcılar sistem kısıtlayıcılara göre daha esnektir. • Ayrıca hedeflenen değere hedef kısıtlayıcısı ile ulaşılmaya çalışılır.

32. Amaç Fonksiyonu • Hedef programlamada amaç fonksiyonunun optimal değeri, sistem ve hedef kısıtlayıcılarının belirlediği çözüm alanı içinde aranır. • Sapma değişkenleri hem amaç fonksiyonunda, hem de hedef kısıtlayıcılarında bulunur. Bunun anlamı, hedeflerin en iyi şekilde sağlanması gerektiğidir. • Ayrıca, amaç fonksiyonundaki istenen erişim değerleri karar verici tarafından belirlenmelidir.

33. Örnek Problem (Örnek 5.2.1) • Bir şirket 3 model ayakkabı üretmektedir. Bu modellerin her birisi için gereken işgücü miktarı sırasıyla 2, 3 ve 2 saattir. Yine bunların üretimi için gerekli malzeme miktarları da sırasıyla 3, 2 ve 1 kg/çift olarak belirlenmiştir. Şirketin elinde aylık 6500 saat işgücü ile 8600 kg. malzeme bulunmaktadır. Şirket model-1 ayakkabı çiftinden 4 milyon TL, model-2 ayakkabı çiftinden 6 milyon TL ve model-3 ayakkabı çiftinden de 5 milyon TL kâr etmektedir. Yönetici aylık en az 15 milyar TL kârı ve model-2 ayakkabıdan da en az aylık 860 çift üretmeyi hedeflemektedir.

34. Çözüm (Örnek 5.2.1) • Problemin klasik doğrusal programlama modeli; Max z = 4 x1 + 6 x2 + 5 x3 Kısıtlayıcılar; 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 ≤ 6500 (Aylık elverişli işgücü miktarı) 3 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 8600 (Aylık gerekli malzeme miktarı) x1, x2, x3 ≥ 0

35. Çözüm (Örnek 5.2.1) • Bu problemin optimal çözümü; x1 = x2 = 0 x3 = 3250 Max z = 16250 milyon TL’dir. • Bu klasik doğrusal programlama modelinin çözüm değerleri yöneticinin istediği model-2 ayakkabısının üretim hedefini karşılamamaktadır. Dolayısıyla bu modelin yöneticinin hedeflerini içeren hedef programlamaya dönüştürülmesi gerekir.

36. Çözüm (Örnek 5.2.1) • İlk önce modele hedef kısıtlayıcılarının eklenmesi gerekir. • Yöneticinin iki hedefi vardır; - Aylık kârının en az 15 milyar TL olması, - Model-2’den en az 860 çift ayakkabı üretilmesi.

37. Çözüm (Örnek 5.2.1) • Belirlenen aylık 15 milyar TL’lik kâr hedefine ilişkin sapma değişkenleri d1 ve d1 dir. • d1 = Belirlenen aylık 15 milyar TL’lik kâr hedefini aşan miktar (TL olarak) d1 = Belirlenen aylık 15 milyar TL’lik kâr hedefinin altında kalan miktar (TL olarak) (Kâr hedefinin üzerine ve de altına düşmek aynı anda gerçekleşemeyeceği için, bu sapma değerlerinden en az birisi sıfır olacaktır.) • Aylık kâr hedefi kısıtlayıcısı; 4 x1 + 6 x2 +5 x3 – d1 + d1 = 15000 - + + - - +

38. Çözüm (Örnek 5.2.1) • Model-2 ayakkabıdan aylık en az 860 çift üretim hedefine ilişkin sapma değişkenleri d2 ve d2 dir. • d2 = Belirlenen aylık model-2 ayakkabı hedefini aşan miktar d2 = Belirlenen aylık model-2 ayakkabı hedefinin altında kalan miktar • Üretim hedefi kısıtlayıcısı; x2 – d2 + d2 = 860 - + + - - +

39. Çözüm (Örnek 5.2.1) • Hedef programlamada, sapma değişkenlerini içermeyen kısıtlayıcılar sistem kısıtlayıcılarıdır. • Bu problemde işgücü ve malzeme kısıtlayıcıları sistem kısıtlayıcılarıdır. • Karar verici, sistem kısıtlayıcıları için bir hedef koyar ise elbette bu kısıtlayıcılar da sapma değişkenlerini içerecektir.

40. Çözüm (Örnek 5.2.1) • Hedef amaç fonksiyonunu oluşturmak için istenen iki hedefin ele alınması gerekir. • İlk hedef için amaç fonksiyonu; (aylık en az 15 milyar TL kâr elde etmek) Min z = d1 (Burada d1 istenmeyen sapma değişkeni olduğu için amaç fonksiyonuna alınır ve bu değişkenin değeri enküçüklenmeye çalışılır.) • İkinci hedef; model-2’den aylık en az 860 çift üretmek • Buna göre bu iki hedefin oluşturduğu hedef programlamanın amaç fonksiyonu; Min z = d1 + d2 - - - -

41. Çözüm (Örnek 5.2.1) • Bu fonksiyonun iki sapma değişkeninden oluşan çok değişkenli bir fonksiyon olduğu görülmektedir. • Ayrıca sapma değişkenlerinin ölçü birimleri ilk hedef için TL, ikinci hedef için ise ayakkabı çiftinin sayısıdır. Bu nedenle, problem çözümünün sonucunda ulaşılan amaç fonksiyonunun toplam değerini yorumlarken ekonomik anlam aramak hatalı olacaktır. Bunun yerine amaç fonksiyonunu oluşturan bileşenlerin ayrı ayrı değerlendirilmesi gerekir. • İşte bu sakıncayı önlemek için bazı kaynaklarda değişkenler arasına virgül konularak amaç fonksiyonunun ifade edildiği görülebilmektedir. Yani örnekteki amaç fonksiyonu; Min z = ( d1 , d2 ) şeklinde de ifade edilebilir. - -

42. Çözüm (Örnek 5.2.1) • Örnekteki hedef programlama modelinin amaç fonksiyonu; Min z = d1 + d2 • Kısıtlayıcılar; 4 x1 + 6 x2 + 5 x3 – d1 + d1 = 15000 (aylık kâr hedefi) x2 – d2 + d1 = 860 (model-2 ayakkabısı aylık üretim hedefi) 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 ≤ 6500 (işgücü kısıtlayıcısı) 3 x1 + 2 x2 + x3 ≤ 8600 (malzeme kısıtlayıcısı) x1, x2, x3, d1 , d1 , d2 , d2 ≥ 0 - - - + - + - - + +

43. Örnek Problem (Örnek 5.2.2) • Bir işletmenin ürettiği A malı iki alt ürünün karışımından elde edilmektedir. Karışımı oluşturan alt ürün-1’in kâra katkısı 2 milyon TL, bir birim ikinci alt ürünün katkısı ise 4 milyon TL’dir. Alt ürünleri karışıma hazır hale getirebilmek için sırasıyla 3 saat ve 7 saat işgücü kullanmak gerekmektedir. A malı her iki alt üründen birer birim kullanılarak üretilmektedir. İşletmenin hedefleri ise; - En az 300 milyon TL kâr elde etmek - İşletmenin elinde 450 saatlik işgücü miktarı vardır. İşletme bu işgücü miktarını kullanmak istediğinden, işgücü fazlasını işten çıkarmayı düşünmediği gibi, fazla mesai de yaptırmak istememektedir. • Problemin hedef programlama modelini kurunuz.

44. Çözüm (Örnek 5.2.2) • Karar değişkenleri; x1 : Birinci alt üründen üretilecek miktar x2 : İkinci alt üründen üretilecek miktar • Sapma değişkenleri; d1 : Hedeflenen kârdaki başarısızlık miktarı d1 : Hedeflenen kârı aşan kâr (başarı) miktarı d2 : Üretimde kullanılmayan (atıl) işgücü miktarı d2 : Hedeflenen işgücü miktarını aşan (fazla mesai) işgücü istihdamı - + - +

45. Çözüm (Örnek 5.2.2) • Amaç fonksiyonu; Min z = d1 + ( d2 + d2 ) • Kısıtlayıcılar; 2 x1 + 4 x2 – d1 + d1 = 300 3 x1 + 7 x2 – d2 + d2 = 450 x1 – x2 = 0 x1, x2, d1 , d1 , d2 , d2 ≥ 0 - - + - + - + - - + +

46. Çözüm (Örnek 5.2.2) • Amaç fonksiyonundagörüldüğü üzere, kâr hedefinden başarısızlık istenmediğini gösteren d1 nin değeri enküçüklenmeye çalışılır. • İşgücünün hedefi ise 450 saat işgücünü kullanmaktır. Dolayısı ile buradaki amacımız hedeflerdeki her iki yönde olan sapmayı enküçüklemektir. Bu yüzden bu hedef kısıtlayıcısına ilişkin her iki sapma değişkeni de amaç fonksiyonunda yer almıştır. -

47. Çözüm (Örnek 5.2.2) • Ayrıca dikkat edilmesi gereken bir nokta, karar değişkenlerinin amaç fonksiyonunda yer almamasıdır. • Öte yandan sapma değişkenleri de sistem kısıtlayıcılarında yer almazlar. • Fakat sistem kısıtlayıcılarına ilişkin hedefler verilirse, bu durumda onlar hedef kısıtlayıcıları olacaklar ve bunlara ilişkin sapma değişkenleri de amaç fonksiyonunda yer alacaktır.

48. Hedef Programlama Türleri • Hedef programlama, geliştirilen amaç fonksiyon yapısına bağlı olarak şu şekilde sınıflandırılabilir; - Tek hedefli programlama - Eşit ağırlıklı çok hedefli programlama - Ağırlıklı çok hedefli programlama - Öncelikli çok hedefli programlama - Ağırlıklı – öncelikli çok hedefli programlama

49. Tek Hedefli Programlama • Ele alınan problemin tek hedefi olduğundan, karar vericinin istediği bu hedefe ulaşmaktır. • Tek hedefli problemler, modelin kurulması ve çözümü açısından ele alındığında en basit hedef programlama problemleridir.

50. Örnek Problem (Örnek 5.2.3) • Bir marangoz işletmesinde kapı ve pencere üretilmektedir. Bir kapı üretimi için 8 saat işgücü ve 4 saat makine kullanılmaktadır. Bir pencere üretimi için de 4 saat işgücü ve 6 saat makine kullanılmaktadır. Marangozun elindeki günlük işgücü kapasitesi 96 saat ve makine kapasitesi de 120 saattir. Marangozun bir kapı satışından elde ettiği kâr 15 milyon TL ve bir pencere satışından elde ettiği kâr da 13 milyon TL’dir. Marangozun tek hedefi günlük kârının en az 280 milyon TL olmasıdır.