Gazdaságstatisztika

Gazdaságstatisztika 10. előadás

Gazdaságstatisztika VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK Valószínűségszámítási alapok

Nyitó gondolatok • A valószínűség értelmezési nehézségei • Mekkora a valószínűsége, hogy egy szabályos kockával 6-ost dobunk? • Mekkora a valószínűsége, hogy holnap esni fog az eső? • Mi a valószínűség? • Relatív gyakorisági alapon? • Hitünk foka szerint? Gazdaságstatisztika

Determinisztikus és sztochasztikus jelenségek • Kezdeti, kiindulási feltételekből (peremfeltételekből) mennyire tudunk következtetni a vizsgált jelenség (esemény) végkimenetelére? • Két lehetőség • Ha a peremfeltételeket fel tudjuk tárni, és ismertek a jelenség lefolyásának szabályai is, és ezekből a jelenség végkimenetele nagy pontossággal megadható, akkor a jelenség determinisztikus. Más szavakkal, a peremfeltételek és a jelenség lefolyásának szabályai determinálják (egyértelműen meghatározzák) a jelenség kimenetelét. Pl. Ohm-törvénye. • A peremfeltételeket nem ismerjük, vagy nem akarjuk feltárni, továbbá nem ismerjük a jelenség lefolyásának pontos törvényszerűségeit, ezért a jelenség pontos kimenetele nem határozható meg. Ezek a sztocasztikus jelenségek. Pl. BUX index alakulása. Gazdaságstatisztika

Alapfogalmak • Tömegjelenség • Azonos körülmények között akárhányszor lejátszódhat • Véletlen jelenség • Kimenetelét a figyelembe vehető tényezők összessége nem határozza meg egyértelműen • Valószínűségszámítás • A véletlen tömegjelenségek törvényszerűségeinek feltárásával, leírásával foglalkozik • Véletlen kísérlet • Egy véletlen tömegjelenséget mesterségesen előidézünk, vagy spontán megfigyelünk • Elemi esemény • Egy véletlen kísérlet egy lehetséges kimenetele Gazdaságstatisztika

Alapfogalmak • Eseménytér • Az összes lehetséges elemi eseményből álló halmaz. Jele:  (jegyzetben H) • Esemény • A véletlen kísérlet lefolytatása után vagy bekövetkezik, vagy nem. Általában A, B, C, … jelöljük.  részhalmazai az események • Egy A részhalmaz (esemény) akkor következik be, ha olyan elemi esemény következik be, amely eleme A-nak • Biztos esemény • Maga  is egy esemény, egy olyan esemény, amely biztosan bekövetkezik • Lehetetlen esemény • Az üres halmazt – amely nem tartalmazza  egyetlen elemét sem – mint eseményt, lehetetlen eseménynek hívjuk és -val jelöljük. • Az A esemény maga után vonja B eseményt • Ha valahányszor, amikor A bekövetkezik, bekövetkezik B is. • Jelölése: A  B. Gazdaságstatisztika

Műveletek eseményekkel • Komplementer esemény • Az esemény az eseménytér mindazon elemeit tartalmazza, melyek az A eseményben nincsenek benne, de -hoz tartoznak. Az -t az A esemény komplementerének nevezzük. • Események összege (egyesítése) • Azt az eseményt, hogy az A és B esemény közülük legalább az egyik bekövetkezik, az A és B esemény összegének nevezzük, és A+B-vel (vagy AB-vel)jelöljük. • Az A+B esemény tehát akkor következik be, ha vagy A, vagy B, vagy mindkettő bekövetkezik. • Események szorzata (közös része) • Azt az eseményt, amely akkor következik be, ha az A és a B esemény is bekövetkezik, azaz a két esemény egyszerre következik be, az A és B események szorzatának nevezzük, és AB-vel (vagy AB-vel) jelöljük. • Előfordulhat, hogy a két esemény közös része az üres halmaz, ilyenkor a két esemény sosem következhet be egyszerre. Ekkor az A-t és B-t egymást kizáró (diszjunkt) eseményeknek nevezzük. Gazdaságstatisztika

Műveletek eseményekkel • Események különbsége • Azt az eseményt, ami akkor következik be, ha az A esemény bekövetkezik, de B nem, az A és B események különbségének nevezzük, s A-B-vel (vagy A\B-vel) jelöljük. • Teljes eseményrendszer • Egy kísérlettel kapcsolatos B1, B2, …, Bn események, melyek közül egyik sem lehetetlen esemény, teljes eseményrendszert alkotnak, ha egymást páronként kizáró események, s összegük a biztos esemény. Gazdaságstatisztika

Műveletek eseményekkel - Példa • A valószínűségi kísérlet legyen egy szabályos kockával történő dobás • Egy dobás kimenetele legyen a felső lapon látható pontszám • Ekkor az eseménytér: • : a felső lapon látható pontszámi, • Határozzuk meg a következő eseményeket (mint halmazokat) • B: páros számot dobunk • C: a dobott szám kisebb 3-nál • D: 1-et, 4-et, vagy 5-öt dobunk Gazdaságstatisztika

A valószínűség fogalma • Két megközelítés • Tapasztalati valószínűség • Matematikai valószínűség • Tapasztalati valószínűség • Véletlen kísérleteket végzünk (sokszor) és azt vizsgáljuk, hogy egy A esemény az eseték hány százalékában következik be. • A tapasztalati valószínűség az a számérték, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága ingadozik. Megfigyelés n-szer Az A esemény gyakorisága Az A esemény relatív gyakorisága Gazdaságstatisztika

A valószínűség fogalma • Valószínűségi mező • Az hármas • : Eseménytér, azaz az összes lehetséges elemi esemény halmaza • : Események szigma algebrája, egy felett definiált algebra • P: Valószínűségi mérték • Valószínűségi mérték (matematikai valószínűség) • i.) • ii.) • iii.) Ha egymást páronként kizáró események, akkor • i.) –iii.) Kolmogorov axiómái • A jegyzetben a iii.) axióma • Ha A és B egymást kizáró események, azaz AB = 0, akkor P(A+B)= P(A) + P(B). Gazdaságstatisztika

Szigma-algebra (kiegészítő anyag) • Egy véletlen kísérlet esetén a megfigyelhető - azaz vizsgálataink szempontjából fontos - események összessége általában nem tartalmazza az eseménytér összes részhalmazát. • Ha az eseménytér végtelen sok elemi eseményből áll, akkor nem vehetjük figyelembeaz eseménytér összes részhalmazait, mert az halmazelméleti nehézségekbe ütközne. • Ekkor az eseménytér részhalmazainak egy olyan összességét tekintjük, amelyelég tág halmaz ahhoz, hogy minden megfigyelhető eseményt tartalmazzon, de elégszűk ahhoz, hogy halmazelméleti problémákat ne okozzon. • Matematikai szempontbólcélszerű azt az elvárást támasztanunk, hogy a vizsgált események összessége zártlegyen a megismert, eseményeken értelmezett műveletekre. E megfontolások alapjánvezetjük be a szigma-algebra fogalmát. Gazdaságstatisztika

Szigma-algebra (kiegészítő anyag) • Az halmazrendszert feletti szigma algebrának nevezzük, ha • hatványhalmazának • nem üres, azaz • Bármely esetén • Ha megszámlálhatóan sok halmaz, akkor azaz zárt a megszámlálható unióképzésre. Gazdaságstatisztika

Kolmogorov • Andrej Nyikolajevics Kolmogorov (1903-1987) • Mértékelmélet • Az axiomatikus valószínűségelmélet megalapítója Gazdaságstatisztika

Néhány alaptétel • A lehetetlen esemény valószínűsége nulla • Bizonyítás • Tetszőleges A eseményre: • A és diszjunkt események, ezért a iii.) axióma szerint ebből . • Ha az A1, A2, ….An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor • Bizonyítás • A1, A2, ….Anteljes eseményrendszer => A1, A2, ….An páronként diszjunktak és • A ii.) és iii.) axióma alapján: ii.) iii.) Gazdaságstatisztika

Gazdaságstatisztika