Onde 3 13 novembre 2014

1. Onde 313 novembre 2014 Interferenza Diffrazione (Battimenti)

2. Fenomeni ondulatori • Interferenza e diffrazione sono fenomeni esclusivamente ondulatori e sono dovuti alla sovrapposizione di due o più onde • La sovrapposizione può essere costruttiva o distruttiva, in dipendenza della fase relativa tra le onde che si sovrappongono • Noi studieremo i seguenti fenomeni • Interferenza tra due fenditure (Young) • Diffrazione da una fenditura

3. Coerenza • Un concetto importante è quello di coerenza: due o più onde sono coerenti se mantengono costante la loro differenza di fase relativa

4. Interferenza • L’interferenza riguarda la distribuzione spaziale della sovrapposizione di onde di ugual frequenza e coerenti • Il risultato è diverso da punto a punto dello spazio, a seconda dello sfasamento relativo delle singole onde

5. Interferenza di onde sulla superficie di un liquido • Consideriamo un’onda piana monocromaticasulla superficie di un liquido, incidente su uno schermo in cui sono praticate due fenditure (distanti d l’una dall’altra) • Per il PdH le due fenditure si comportano da sorgenti S1, S2 di onde circolari coerenti (e in fase), la cui sovrapposizione al di là dello schermo, dà luogo al fenomeno dell’interferenza

6. Interferenza di onde sulla superficie di un liquido • Determiniamo il cammino tra ciascuna delle due fenditure e il generico punto P del semipiano a destra dello schermo y P(x,y) r1 r2 r S1 d/2 x d/2 S2

7. Interferenza di onde sulla superficie di un liquido • Dato che le onde sono in fase sullo schermo, per avere un massimo di interferenza, occorre che la differenza di cammino sia un multiplo di lunghezza d’onda: • E’ noto dalla geometria che questa relazione rappresenta una famiglia di iperboli (una per ogni n) • Sviluppando i calcoli si trova che l’equazione di queste iperboli è • Com’è noto dalla geometria la differenza di due lati di un triangolo è minore del terzo lato, quindi • da cui segue che e l’equazione rappresenta proprio iperboli

8. Interferenza di onde sulla superficie di un liquido • Posizione dei massimi di interferenza nel semipiano di destra • I massimi si trovano su rami di iperbole • I calcoli sono stati fatti per i seguenti valori dei parametri: d=10, l=3 d • Si vede che per ogni ramo d’iperbole nel 1° quadrante (n>0) ce n’è uno simmetrico nel 4° (n<0)

9. Interferenza di onde in un fluido • Se ora abbiamo una parete assorbente immersa in un fluido (ad es. aria), con due fori attraverso cui l’onda incidente (sonora) può propagarsi, possiamo estendere immediatamente le considerazioni svolte per il caso a due dimensioni • Nel semispazio a destra della parete introduciamo un sistema cilindrico, ove l’asse verticale funge da coordinata z e l’asse orizzontale da coordinata radiale r • Il luogo dei punti di interferenza costruttiva è ora la superficie di (metà) iperboloide, una per ogni possibile n, che ha z come asse di simmetria

10. Interferenza di onde in un fluido • Volendo calcolare l’ampiezza dell’onda risultante dovremmo sommare le due onde sferiche uscenti dai due fori • Dette r e z le coordinate del punto arbitrario P, i cammini dalle sorgenti a P sono • Nell’ipotesi semplificativa che A non dipenda dalla coordinata azimutale, l’onda risultante in P sarà

11. Interferenza L’esempio classico è l’esperienza di Young, in cui un’onda piana monocromatica incide su uno schermo su cui sono praticate due fenditure (distanti d l’una dall’altra) Per il PdH le due fenditure si comportano da sorgenti di onde sferiche coerenti (e in fase) Calcoleremo sia le posizioni dei massimi che la corrispondente ampiezza dell’onda risultante 11

12. Interferenza q Per semplicità geometrica studiamo l’interferenza su uno schermoa grande distanza (potenzialmente infinita) dalle fenditure, In tal caso i cammini ottici sono semirette parallele 12

13. Interferenza 1 d q 2 l z q Analizziamo l’interferenza per ogni possibile direzione q e diciamo z la coordinata relativa a q Per la simmetria delle fenditure, le due onde hanno ugual ampiezza A per lo stesso q (A e` funzione di q) Hanno inoltre una differenza di fase fissa  dovuta alla differenza di cammino ottico La differenza di fase è data dalla proporzione E quindi 13

14. Interferenza • Le due onde hanno dunque forma • La funzione che ne rappresenta la sovrapposizione è la loro somma • Applicando le formule di Werner, otteniamo • L’espressione in parentesi quadre è l’ampiezza dell’onda risultante

15. Interferenza L’ampiezza dipende dallo sfasamento e può assumere il valore minimo, zero, per  o 2n+1) e il valore massimo, 2A, per  o 2n Il valore minimo corrisponde ad una differenza di cammino di un numero dispari di mezze lunghezze d’onda: interferenza distruttiva Il valore massimo corrisponde ad una differenza di cammino di un numero intero di lunghezze d’onda: interferenza costruttiva

16. Interferenza • Poiché l’intensità di un’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza, l’intensità dell’onda di interferenza sullo schermo varia tra zero e quattro volte l’intensità delle singole onde sulle fenditure Iinterf Grafico dell’intensita` nel caso particolare in cui A sia costante rispetto ad q f/2

17. Immagini di interferenza

18. Interferenza Commento sul fattore 4: questo non comporta una violazione della conservazione dell’energia, ma solo una redistribuzione spaziale dell’energia Nel caso le onde abbiano ampiezza diversa, un’analisi piu’ approfondita porta al risultato che l’intensità dell’onda risultante varia tra i due estremi Nella trasparenza successiva è dato un esempio 18

19. Interferenza con ampiezze diverse Ricordiamo l’interferenza di due onde in un fluido Con ampiezza sfasamento relativo (e a una fase inessenziale) L’ampiezza varia tra i seguenti estremi: 19

20. Diffrazione • Consideriamo un’onda piana monocromatica di ampiezza A0 incidente su uno schermo con una fenditura di larghezza a • Per il PdH tutti i punti della fenditura si comportano da sorgenti di onde sferiche coerenti (e in fase), la cui sovrapposizione al di là dello schermo, dà luogo al fenomeno della diffrazione

21. Diffrazione q Per semplicità geometrica studiamo la diffrazione su uno schermo a grande distanza (potenzialmente infinita) dalla fenditura, in tal caso i cammini ottici sono semirette parallele

22. Diffrazione q y l z P q Q P Q Analizziamo la diffrazione per ciascuna direzione q e diciamo z la coordinata relativa ad q Le onde elementari hanno ugual ampiezza dA per lo stesso q Un punto Q della fenditura a distanza y dal punto più alto P, ha una differenza di fase  dovuta alla differenza di cammino ottico La differenza di fase è data da 22

23. Diffrazione • Detta dA l’ampiezza infinitesima di ciascuna onda elementare, queste hanno forma • Ove A =dA/dy=A0/a • NB: A dipende q da ma non da y • Detto l’onda risultante sarà data dall’integrale delle onde elementari su tutta la fenditura

24. Diffrazione • Applicando le formule di Werner • e sostituendo i valori di be u • L’ampiezza dell’onda diffratta risultante è quindi • Con A a=A0ampiezza dell’onda incidente

25. Diffrazione • Se per semplicità assumiamo che Asia costante rispetto aq, l’intensità dell’onda diffratta sullo schermo è • Notare che l’intensità è diversa da zero anche perq(ec) diverso da zero Idiff c

26. Immagini di diffrazione

27. Risoluzione di uno strumento ottico • Gli strumenti ottici (telescopio, microscopio) servono a rendere visibili oggetti che l’occhio nudo non riesce a vedere • Ad es. il telescopio permette di vedere stelle troppo flebili per l’occhio nudo • Le stelle sono talmente lontane da noi che anche per il più potente telescopio ottico è come se fossero riducibili ad un punto senza dimensioni

28. Risoluzione di uno strumento ottico • Un buono strumento ottico trasforma un punto oggetto in un punto immagine, quindi un buon telescopio dovrebbe dare un’immagine puntiforme di una stella • La diffrazione, dovuta alla stessa natura ondulatoria della luce, pone però un limite fisico insuperabile a questo funzionamento ideale

29. Risoluzione di uno strumento ottico • Qualunque telescopio, infatti, sarà costruito di lenti di diametro finito • La lente, raccogliendo solo la parte dell’onda luminosa proveniente dalla stella corrispondente alla superficie della lente stessa, agirà come un foro circolare in uno schermo e quindi darà un’immagine in cui è presente diffrazione

30. Risoluzione di uno strumento ottico • Ciò significa che l’immagine non è angolarmente puntiforme, ma estesa • Il limite di risoluzione angolare dovuto alla diffrazione è ancora dell’ordine di • ovelè la lunghezza d’onda della luce e D il diametro della lente

31. Risoluzione di uno strumento ottico • Criterio di Rayleigh 2 sorgenti Non risolte I massimi centrali si confondono 1 sorgente 2 sorgenti Risolte I massimi centrali sono distinti

32. Battimenti • Il fenomeno dei battimenti è in un certo senso complementare a quello dell’interferenza: riguarda l’evoluzione temporale della sovrapposizione di onde di frequenza diversa in un punto determinato dello spazio • Consideriamo due onde che per semplicità supponiamo armoniche e di ugual ampiezza

33. Battimenti • Nel punto arbitrario x* assumono la forma • La loro sovrapposizione in questo punto si calcola ricordando la formula del coseno di una somma • con

34. Battimenti • A parte due fasi inessenziali, la funzione è del tipo • Il fenomeno vero e proprio dei battimenti si riferisce alla sovrapposizione di due onde sonore le cui frequenze sono circa uguali, allora • Cioè si ottiene un’onda sinusoidale di frequenza molto vicina a quella delle onde che si sovrappongono: con un’ampiezza che non è costante, ma modulata secondo una funzione sinusoidale di frequenza molto minore, che è poi quella che dà la sensazione acustica di battimento:

35. Battimenti • Quel che l’orecchio percepisce è l’intensità dell’onda risultante, che è proporzionale al quadrato dell’ampiezza • La modulazione dell’intensità ha frequenza doppia rispetto all’ampiezza • L’intensità varia da un minimo di 0 ad un massimo di 4I0