1 / 33

KALKULUS I

KALKULUS I. FUNGSI. Fungsi.

addison
Download Presentation

KALKULUS I

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. KALKULUS I FUNGSI

  2. Fungsi • Fungsidalamkehidupansehari – hariberartiguna/manfaat. Tetapidalammatematikafungsisebagaimanadikatakanoleh Leibniz (1646 – 1716) adalahsuatuhubunganataukaitan yang khasantaraduahimpunan. Ataudengankata lain relasiantaraduahimpunan. • Suatufungsidapatdibayangsebagaisuatumesin yang digambarkan: • Iamemprosesbilangan (masukan) sehinggadiperolehsuatuhasil (keluaran). Setiapbilangan yang masukakanmemperolehsatukeluaran, tapiterkadangadabilangan yang masukberbedamenghasilkankeluaran yang sama. X (masukan) Fungsi f Y (keluaran)

  3. Cont…. • Untukmendefinisikansuatufungsi f darihimpunan A kehimpunan B diperlukan: • Suatuhimpunan A • Suatuhimpunan B • Aturanbahwa

  4. Cont… • Fungsi f adalahsuatuaturanpadanan yang memetakansetiapobjek x dansatuhimpunandengansatunilai f(x) darihimpunankedua. • Himpunan yang pertamadisebutdaerahasal (domain) • Himpunan yang keduadisebutdaerahhasil (range) * * * * + + + X Y

  5. Cont…. • Fungsitidakmembolehkanobjekdalamdaerahasaldipasangkanlebihdarisatupadadaerahhasil. * * * * + + + * * * * + + + X Y X Y Bukanfungsi

  6. Jenisfungsi • Fungsiinjektif Fungsi f:A B dikatakanfungsisatu – satuataufungsiinjektifjikadanhanyajika a ≠ a’ sehingga f(a) ≠ f(a’) * * * + + + + + X Y

  7. Cont.. • Fungsisurjektif Fungsi f:A B dikatakanfungsikepadaatausurjektifjikadanhanyajikadalamsatukodomain b terdapat paling sedikitsatu domain a, f(a) = b * * * * + + + X Y

  8. Cont… • FungsiBijektif Fungsi f:A B dikatakanbijektifjikadanhanyajikauntuksatu b kodomainterdapatsatu a domain, dantidakadaanggota A yang tidakterpetakandi B. * * * + + + X Y

  9. NotasiFungsi • Untukmemberinamasuatufungsidipakaisebuahhuruftunggalseperti f (atau g atau F). • Maka f(x), yang dibaca “f dari x” atau “f pada x”, menunjukkannilai yang diberikanoleh f kepada x. Contoh 1: Untuk f(x) = x2 – 2x, caridansederhanakan: • f(4) • f(4 + h) • f(4 + h) – f(4) • [f(4 + h) – f(4)]/h

  10. Penyelesaian • f(4) = 42 – 2 . 4 = 8 • f(4 + h) = (4+h)2 – 2(4+h) = 8 + 6h + h2 • f(4 + h) – f(4) = 6h + h2 • [f(4 + h) – f(4)]/h = 6 + h Contoh 2: Untuk g(x) = 1/x, caridansederhanakan: • g(5) • g(5 + h) • g(a + h) • [g(a + h) – g(a)]/h

  11. Operasi Dalam Fungsi • Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x) • Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x) • Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x) • Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x) • Contoh : • F(x) = 4 + x dan g(x) = 16 – xhitungpenjumlahanpengurangan, danperkalianfungsidiatas?

  12. F (x) =x2 + 1 3 10 2 5 1 2 1 0 -1 Daerah asal Daerah Hasil DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL • Daerah asaladalahhimpunanelemen-elemenpadamanafungsiitumendapatnilai. • Daerah hasiladalahhimpunannilai-nilai yang diperolehsecarademikian. • Misalnya, jika F adalahfungsidenganaturan F (X) = x2 + 1 jikadaerahasaldirincidengan {-1, 0, 1, 2, 3}, makadaerahhasilnyaadalah {1, 2, 5, 10}.

  13. Cont… • Bilamanauntuksebuahfungsidaerahasalnyatidakdirinci, kitaselalumenganggapbahwadaerahasalnyaadalahhimpunanbilanganriil yang terbesarsehinggaaturanfungsiadamaknanyadanmemberikannilaibilanganriil. Inidisebutdaerahasalmula (domain natural). CONTOH 3. Caridaerahasalmula (natural) untuk: f(x) = l/(x - 3); Penyelesaian • Daerah asalmulauntukfadalah {xR: x≠3 } . Inidibaca "himpunanx dalam R (bilanganriil) sedemikiansehinggaxtidaksamadengan 3". Kita kecualikan 3 untukmenghindari pembagian oleh 0.

  14. Cont… • Jika aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk y = f(x) (misalnya, y = x3 + 3x - 6), x seringkali disebut variabel bebas dan yvariabel tak bebas. Sebarang elemen dari daerah asal boleh dipilih sebagai nilai dari variabel bebas x, tetapi pilihan itu secara tuntas menentukan nilai padanan dari variabel tak bebas. Jadi, nilai y tergantung dari pilihan nilai x.

  15. Grafikfungsi • Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil, kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Dan grafik fungsi dari persamaan= f(x) CONTOH 4. Buatlahsketsagrafikdari: (a) f(x) =x2-2; (b) g(x) =x3 – 2x; (c) h (x) = 2/(x – 1) Penyelesaian Kitagunakandaerahasal mula (domain natural). Dalamkasusf dan g, iniberupahimpunansemuabilanganriil R; untukh,iniadalahsemua R kecuali 1. Denganmembuatsebuahtabelnilai, rajahtitik-titik yang berpadanan, hubungkantitik-titikinidengansebuahkurvamulus, kitaperolehtigagrafik yang diperlihatkandalam:

  16. Perhatikangrafikdarihsecaralebihsaksama; grafikinimenunjukkansuatupenyederhanaanberlebihan yang kitabuatdansekarangperludiperbaiki. Pada waktumeng-hubungkantitik-titik yang dirajahdengansebuahkurvamulusjanganmelakukannya secara mekanissehinggamengabaikankeistimewaan yang mungkinjelaskelihatandarirumusfungsitersebut. Dalamkasush(x) = 2/(x - 1) jelasbahwasesuatu yang dramatis harusterjadibilamanaxmendekati 1. Nyatanya, nilai-nilai|h(x)| membesartanpa batas (misalnya, A(0,99) = -200 dan h(l,001) = 2000). Kita telahmenunjukkaninidenganmenariksebuahgaristegakputus-putus yang disebutasimtot,padax = 1. Bilaxmendekati 1, grafiksemakinmendekatigarisini, walaupungarisinisendiribukanmerupakanbagiandarigrafik, melainkanlebihmerupakansuatugarispetunjuk. Perhatikanbahwagrafikdarih jugamempunyaisebuahasimtotmendatar, yaknisumbux.

  17. Tugas 1. Untuk f(x) = 1 – x2 , hitunglah: a. f(1) = 1-1=0 b. f(-2) = 1-4=-3 c. f(k) = 1-k2 d. f(2x) = 1-4x2 e. f(0) = 1 2. Untuk F(t) = 4t3, caridansederhanakan [F(a+h) – F(a)]/h 3. Buatlahsketsagrafik – grafikdari : a. f(x) = x2 – 1 b. g(x) = x3 – x

  18. FUNGSI GENAP DAN GANJIL • Seringkalikitamemperkirakankesimetriangrafiksuatufungsidenganmemeriksarumusfungsitersebut. • Jikaf (-x) = f (x),makagrafiksimetriterhadapsumbuy.Fungsi yang demikiandisebutfungsigenap,barangkalikarenafungsi yang merincif(x)sebagaijumlahdaripangkat-pangkatgenapxadalahgenap. Fungsif(x)=x2-2adalahgenap; demikianjugaf (x) = 3x6- 2x4 + 11x2—5, f(x)= x2 /(1+x4) dan f(x) = (x3-2x)/3x

  19. Jikaf(-x) = - f(x),grafiksimetriterhadaptitikasal. Kita sebutfungsi yang demikianfungsiganjil.Fungsi yang memberikanf(x)sebagaijumlahdaripangkat-pangkatganjilx adalahganjil. Jadi, g(x) = x3 -2x (digrafikkandalamGambar 5) adalahganjil. Perhatikanbahwa g(-x) = (-x)3 - 2(-x) = -x3 + 2x = -(x3 - 2x) = -g(x)

  20. Cont… CONTOH apakahfungsigenap, ganjil, ataubukankeduanya? Penyelesaian: Karena fadalahfungsiganjil

  21. OperasipadaFungsi • Fungsibukanlahbilangan. Tetapisepertihalnyaduabilanganadanbdapatditambahkanuntukmenghasilkansebuahbilanganbarua + b,demikianjugaduafungsif dang dapatditambahkanuntukmenghasilkansebuahfungsibaruf + g.Inibarusalahsatudaribeberapaoperasipadafungsi yang akandijelaskan

  22. JUMLAH, SELISIH, HASIL KALI, HASIL BAGI, PANGKAT. • Pandanglahfungsi-fungsif dan g denganrumus-rumus • Kita dapatmembuatsebuahfungsibaruf + gdengancaramembenkanpadaxnilai (x – 3)/2 + yakni, (f +g) (x) = f (x) + g (x) =

  23. Daerah asal f + g Cont… Daerah asal f Daerah asal g • Tentu saja kita harus sedikit hati-hati mengenai daerah asal. Jelasxharusberupasebuahbilang-an padamana f maupungberlaku. Dengan lain perkataan, daerahasal f + gadalahirisan (bagianirisan/bagianbersama) daridaerahasalf dang.

  24. Fungsi-fungsif – g, f . g dan f/gdiperkenalkandengancara yang analog.

  25. Kita harusmengecualikan 0 dandaerahasalf/guntukmenghindaripembagianoleh 0. Kita jugabolehmemangkatkansuatufungsi. Denganfn,kitamaksudkanfungsi yang memberikannilai [f(x)]npada x. Jadi:

  26. Cont… CONTOH 1. Andaikan F(x) = dan G(x) = denganmasing-masingdaerahasal natural [-1, ) dan [-3,3]. Can rumus. untukF + G, F - G.F/G, dan F5berikandaerahasalnaturalnya.

  27. KOMPOSISI FUNGSI • Sebelunmya, anda dimintauntukmembayangkansebuahfungsiSekarang anda dimintamemikirkanfungsi fsebagaisebuahmesin. Fungsiinimenerimaxsebagaimasukan, bekerja padax,dan menghasilkanf(x)sebagaikeluaran. Duamesinseringkalidapatdiletakkanberdampinganuntukmembuatsebuahmesin yang lebihrumit; demikian juga halnyadenganduafungsif dan g. Jikaf bekerja pada x untukmenghasilkanf(x) dan kemudiangbekerja pada f(x)untukmenghasilkang(f(x)),dikatakanbahwakitatelahmenyusun gdenganf .Fungsi yang dihasilkan, disebutkompositgdengan f, dinyatakanoleh g °f. Jadi,

  28. (g o f)(x) = g(f(x))

  29. Ingatkembalicontohkita yang terdahulu, f(x) = (x - 3)/2 dan g(x) = √x . Kitadapatmenyusunnyadalamdua cara, • Segerakitaperhatikansatuhal: Susunan (komposisi) fungsitidakkomutatif; g of danf o gumumnyaberlainan.

  30. Cont… CONTOH Andaikanf(x) = 6x/(x2- 9) dang(x)= √3x .Pertama, cari (f og) (12) ;kemudiancari(f o g)(x) Penyelesaian

  31. Dalamkalkulus, kitaakanseringkaliperlumengambilsuatufungsi yang diketahui dan mendekomposisinya — yaitu, memecahnyamenjadipotongan-potongankomposit. Biasanyainidapatdilakukandalambeberapa cara. Misalnya, ambil p(x) = . Kitadapatmemikirkannyasebagai P (x) = g(f(x)) dengan g(x) = dan f (x) = x2 + 4 Atausebagai P (x) = g (f(x)) dengan g(x) = dan f (x) = x2

  32. Contoh: Tuliskanfungsi p(x) = (x + 2)5sebagaisebuahfungsikompositg o f Penyelesaian. Cara yang palingmudahuntukmelakukannyaadalahmenuliskan P(x) =g(f(x))dengang(x) = x5dan f(x) = x + 2

  33. Tugas • Untuk f(x) = x/(x-1) dan g(x) = √1+x2, carilah: • (f + g)(2) • (f . g)(0) • (g/f)(3) • (fog)(0) • (gof)(0) • Untuk f(x) = x2+x dan g(x) = 2/(x+3), carilah: • (f - g)(2) • (f /g)(1) • g2(3) • (fog)(1) • (gof)(1)

More Related