Calculo de estructuras y construcci n
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CALCULO DE ESTRUCTURAS y CONSTRUCCIÓN. Jesús Moisés Castro Iglesias. E.U.E.T.E.F – Pontevedra 2011. CAPITULO I :. Tensiones Principales. Lección 2 :. 2.1 Componentes de un Vector. Cosenos directores. 2.2 Componentes del Vector Tensión

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Presentation Transcript
Calculo de estructuras y construcci n

CALCULO DE ESTRUCTURAS yCONSTRUCCIÓN

Jesús Moisés Castro Iglesias

E.U.E.T.E.F – Pontevedra 2011


Capitulo i
CAPITULO I :

  • Tensiones Principales


Lecci n 2
Lección 2 :

  • 2.1 Componentes de un Vector. Cosenos directores.

  • 2.2 Componentes del Vector Tensión

  • 2.3 Expresión matricial le las componentes del Vector

  • 2.4 Estado tensional de un punto

  • 2.5 Teorema de Reciprocidad de las tensiones tangenciales.

  • 2.6 Definición de las Tensiones Principales. Direcciones Principales.

  • 2.7 Cálculo Matricial. Ecuación característica.

  • 2.8 Ejemplos


Componentes de un vector

Z

g

b

X

Y

Componentes de un vector

V = Vx + Vy + Vz

Vx = V· cos a = V· a

Vz

V

Vy= V· cos b = V · b

Vz = V· cos g = V · g

a

Vx

Vy


Componentes del vector tensi n

k

s = sx + sy + sz

g

b

i

j

Componentes del vector tensión

sx = s · a

sz

s

sy= s · b

sz = s ·g

a

sx

dz

s y

u = a · i + b · j + g· k

dx

dy

1 = a2 + b2 + g2


Componentes de un vector en expresi n matricial

a

0

0

i

=

u

0

b

0

*

j

g

0

0

k

sx

0

0

i

s

=

sy

0

0

*

j

sz

0

0

k

Componentes de un vector en expresión matricial


Estado tensional de un punto

z

snz

tzx

tzy

txz

snx

tyz

snx

txy

x

txy

txz

tyx

sny

y

Estado tensional de un punto

dz

dy

dx


Estado tensional de un punto fuerzas

z

snz

tzy

tzx

txy

txz

tyz

snx

snx

x

txy

txz

tyx

sny

y

Estado tensional de un punto: Fuerzas

Cálculo de esfuerzos en “Z”:

dy·dx·snz

dy·dz·txz

dx·dz·tyz

S Fx = 0

dy·dz·snx+dx·dz·tyx+dy·dx·tzx = dy·dz·snx+dx·dz·tyx+dy·dx·tzx

S Fy = 0

dy·dz·txy+dx·dz·sny+dy·dx·tzy = dy·dz·txy+dx·dz·sny+dy·dx·tzy

S Fz = 0

dy·dz·txz+dx·dz·tyz+ dy·dx·snz= dy·dz·txz+dx·dz·tyz+ dy·dx·snz


Estado tensional de un punto momentos

txy

txz

tyz

snx

snx

txy

txz

tyx

sny

Estado tensional de un punto: Momentos

Los términos se anulan dos a dos:

z

Mxz =(dy·dx·snz )·dy·1/2 - (dy·dx·snz )·dy·1/2

snz

Myz =(dy·dx·snz )·dx·1/2 - (dy·dx·snz )·dx·1/2

tzy

tzx

Salvo

dz

x

dy

dx

y

snz

S Mx = 0

=>

(dx·dz·tyz )·dy – (dy·dx·tzy)·dz = 0

S My = 0

=>

(dy·dx·tzx )·dz – (dy·dz·txz )·dz = 0

S Mz = 0

=>

(dx·dz·txx )·dy – (dy·dz·txy)·dx = 0

Teorema de la reciprocidad de las Tensiones Tangenciales


Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales
Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales

tyz

tzy = tyz

tzx = txz

txy = tyx

tzy


Vectores tensi n en un punto

SFx = 0 => snx dy dz + tzx dx dy + tyx dx dz = X

SFy = 0 => sny dx dz + tzy dy dx + txy dy dz = Y

SFz = 0 => snz dx dy + txz dy dz + tyz dx dz = Z

Tomamos momentos respecto al eje Z, Y, X

SMx = 0 => ( tzy dx dy ) dz - ( tyz dx dz ) dy = 0

SMy = 0 => ( tzx dy dx ) dz - ( txz dy dz ) dx = 0

SMz = 0 => ( txy dy dz ) dx - ( tyx dx dz ) dy = 0

Vectores tensión en un punto

Como resumen Esfuerzos en X, Y,Z:

Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales


Tensiones principales de un punto

z

N

snx

dW

txy

x

txz

y

Tensiones principales de un punto

dSx = dW·a

dSy = dW ·b

dSz = dW · g


Tensiones principales de un punto1

z

snx

s1

txy

x

s2

txz

s3

y

Tensiones principales de un punto

N

s = s1+ s2 + s3

s1  s2s3


Condiciones de equilibrio

sx

txz

snx

txy

a

sy

=

tyx

sny

tyz

s

=

*

b

snz

tzx

tzy

sz

g

Condiciones de equilibrio

sx dW = snx dW a + tyx dW b + tzx dW g

sy dW = txy dW a + sny dW b + tzy dW g

sz dW = txz dW a + tyz dW b + snz dW g

cosenos directores

[ s  = [ T  * [ u


Matriz de tensiones

txz

snx

txy

=

T

tyx

sny

tyz

snz

tzx

tzy

sx

txz

snx

txy

a

sy

=

tyx

sny

tyz

s

=

*

b

snz

tzx

tzy

sz

g

Matriz de tensiones

s = T * u

cosenos directores


Tensiones y direcciones principales

0 = (snx -s )*a + tyx * b + tzx * g

0 = txy * a + (sny - s)*b + tzy * g

0 = txz * a + tyz * b + (snz -s)*g

(snx -s ) tyx tzx

= 0

txy (sny - s) tzy

txz tyz (snz -s)

Tensiones y direcciones principales

[ s  = [ T  * [ u

Existe un plano cuya tensión es perpendicular a él:

Su determinante es :

que desarrollado es

-s3 + I1 s2 - I2s + I3 = 0




Tensiones y direcciones principales1
Tensiones y direcciones principales

[ s  = [ T  * [ u

Ecuación característica o secular

-s3 + I1 s2 - I2s + I3 = 0

Tensiones principales : son las raíces de la ecuación

donde :

I1 = snx + sny+ snz

I2 = snxsny+snysnz+snzsnx-t2yz-t2zx-t2xy

I3 = |T|


Tensiones principales

dFN

dFt

s1

s n =

t =

0

0

dS

dS

=

T

s2

0

0

s3

0

0

Tensiones Principales

s = s1 .a .i + s2 .b .j + s3 .g .k

sn = s. u = s1. a2 + s2 . b2 + s3. g2

t2 = s2 - sn2


Tensiones y direcciones principales2

s1

s2

s1

s1

0

0

0

0

s3

x y z

a b g

s2

0

0

s2

0

0

=

s3

s3

0

0

0

0

x2 y2 z2

+

+

= 1

s12 s22 s32

Tensiones y direcciones principales

s1 >s2 >s3

Direcciones principales

x = a s1 y = b s2 z = g s3

=>

=>

Elipsoide de Lamé


Unidades utilizadas en tensiones
Unidades utilizadas en Tensiones.

  • Sistema C.G.S. => dynas/cm2 = 0,1 Pa

  • Sistema Internacional => Newton/m2 = 1 Pa

  • Sistema Técnico => 1 Kp/m2 = 9,8 Pa

  • Utilizamos => 1 Kg/cm2 = 9,8 . 10 4 Pa = 10 4 Kp/m2


Conclusiones

dF

dFN

dFt

Componentes Intrínsecas de la Tensión

t =

s =

s n =

dS

dS

dS

Tensiones principales

s1  s2s3

Cosenos directores

s = s1 .a .i + s2 .b .j + s3 .g .k

Conclusiones

Solicitaciones sobre un prisma mecánico.

Matriz de tensiones


Problema n 1

2

1

0

=

T

1

-1

2

3

0

2

Problema Nº 1

En un punto P de un sólido elástico la matriz de tensiones referida al triedro OXYZ es:

Calcular en el punto P el vector correspondiente a un plano cuya normal exterior está definida por un vector que forma ángulos iguales de 45º con los ejes X e Y y siendo positivas sus componentes.

Indicar si las tensiones principales son de tracción o de compresión.


Problema n 11

u = \2 / 2· i + \2 / 2 · j + 0· k

2

1

0

=

T

1

-1

2

3

0

2

txz

snx

2

txy

1

0

\2 / 2

3·\2 / 2

[s] =

1

tyx

-1

sny

2

tyz

=

\2 / 2

=

=

*

*

0

3

snz

2·\2 / 2

tzx

0

2

tzy

0

sx

a

s = 3·\2 / 2· i + 0· j + \2· k

sy

b

sz

g

Problema Nº 1


Problema n 12

2-s

1

0

0 =

1

-1-s

2

3-s

0

2

Problema Nº 1

0 = s3 - 4s2 - 4s +17

s1 = 4

s2 = 2,1

s3 = -2,1


Problema n 13

2

1

0

[T] =

1

-1

2

3

0

2

s = 3·\2 / 2· i + 0· j + \2· k

Problema Nº 1

s = s1 .a .i + s2 .b .j + s3 .g .k

s1 = 4

s2 = 2,1

s3 = -2,1

sn= s. u = s1. a2 + s2 . b2 + s3. g2 = 4·(2/4) +2,1·0 –2,1·(1/2) = 1,95

t2 = s2 - sn2 = 9·(1/4) + (1/2) – (1,95) 2

t= -1,05


Problema n 2
Problema Nº 2

Las tensiones principales en un punto P de un sólido elástico, referidas a un sistema cartesiano ortogonal OXYZ y expresadas en MPa son:

s1 = 50/3.(2 .i + 2 .j + k)

s2 = 20 .i - 10 .j - 20 .k

s3 = - 20/3.(i - 2 .j + 2 .k)

s1  s2s3

Calcular la tensión correspondiente a un plano cuya normal exterior forma ángulos agudos iguales con los semiejes positivos del triedro OXYZ.

(u1 )2= (4 + 4 + 1)

(u2 )2 = (4 + 1 + 4)

(u3 )2 = (1 + 4 + 4)

(u1 )2 +(u2 )2+(u3 )2 = 1

u1 = 1/3.(2 .i + 2 .j + k)

u2 = 1/3·(2 .i - 1 .j - 2 .k)

u3 = 1/3.(-i + 2 .j - 2 .k)


Problema n 21

s1

50

0

0

a’

b’

g’

0

0

5· 3-3/2

- 3-3/2

- 3-3/2

[s]=

0

0

30

s2

0

0

*

=

*

20

s3

0

0

0

0

Problema Nº 2

s1 = 50/3.(2 .i + 2 .j + k)

s2 = 20 .i - 10 .j - 20 .k

s3 = - 20/3.(i - 2 .j + 2 .k)

s1  s2s3

a2+ b2+g2 = 1

u1 = 1/3.(2 .i + 2 .j + k)

u2 = 1/3·(2 .i - 1 .j - 2 .k)

u3 = 1/3.(-i + 2 .j - 2 .k)

a= b=g = 3-1/2

u = a · i + b · j + g· k = 3-1/2· ( i + j + k)

a’= u1·u = 3-1/2 ·1/3·(2 + 2 + 1) = 5· 3-3/2

x=x*a1+y*a2+z*a3

y=x*b1+ y*b2+z*b3

z=x*g1+ y*g2+z*g3

b’= u2·u = 3-1/2 ·1/3·(2 - 1 - 2) = - 3-3/2

g’= u3·u = 3-1/2 ·1/3·(-1 + 2 - 2) = - 3-3/2

= 250· (3-3/2)·i - 30·3-3/2·j- 20·3-3/2·k

= 48,61 MPa


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