Bienvenidos a Tonantzintla

1. Bienvenidos a Tonantzintla ¡¡Gracias por querer cambiar este país!! Profr. Moy 8, Octubre, 2011

2. LOS NÚMEROS NATURALES Para iniciar nuestro trabajo, vamos a considerar que el conjunto de los números naturales tiene los siguientes elementos: Puede que algunos profesores protesten, pues mucho libros no consideran al cero como elemento de N. Aquí entre nos, no cometemos ningún sacrilegio de acuerdo a los axiomas de Peano, pues en lugar de considerar al uno como el primer elemento, consideremos al cero como el primer elemento y observaran que los axiomas de Peano siguen siendo validos. Con esta consideración, y este acuerdo sobre N, continuamos:

3. Propiedades de la operación suma • Si al sumar dos números naturales cualesquiera, los resultados son elementos del conjunto N, entonces decimos que el conjunto N es un conjunto cerrado bajo la operación suma. Es decir; a, b N,ocurre que a + b N • . El orden de los sumandos no altera la suma: a + b = b + a • La suma es asociativa porque el resultado no depende del orden en que se opere cuando se tiene que aplicar la operación sucesivamente dos o más veces.

4. Propiedades de la operación suma Regla del Paréntesis RP1. En una ‘cadena’ de operaciones se indica el orden en que éstas deben efectuarse encerrando entre paréntesis la que se debe efectuar primero. RP2. Si unos paréntesis están dentro de otros, primero se atiende el más interior. Conclusiones: • En una cadena de adiciones o de multiplicaciones estamos en libertad de cambiar de lugar a voluntad los paréntesis. • En las mismas operaciones, lo anterior también significa que estamos en libertad de quitar todos los paréntesis, precisamente porque así posteriormente podemos ponerlos donde se quiera. • Es decir: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

5. Propiedades de la operación suma Existencia y unicidad del elemento neutro • 0 es el único natural con la propiedad de que para cualquier otro natural a: 0 + a = a y también a + 0 = a , a 0 se le llama neutro aditivo.

6. Propiedades de la operación Multiplicación • Propiedad de cerradura: Nes cerrado bajo la operación multiplicación de naturales porque: a, b N, ocurre que ab N • Propiedad Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto: a  b = b a • Propiedad Asociativa: En una cadena de multiplicaciones estamos en libertad de cambiar de lugar a voluntad los paréntesis. En las misma operación, lo anterior también significa que estamos en libertad de quitar todos los paréntesis, precisamente porque así posteriormente podemos ponerlos donde se quiera. Es decir; . a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

7. Propiedades de la operación Multiplicación • Existencia y unicidad del elemento neutro 1 es el único natural con la propiedad de que para cualquier otro natural a : 1·a= a y también a·1 = a , a 1 se le llama neutro multiplicativo. • Propiedad distributiva: a (b + c) = (a  b) + (ac)

8. Jerarquía de operaciones La propiedad distributiva plantea: a (b + c) = (a  b) + (ac) La regla del paréntesis indica que primero debemos efectuar las Multiplicaciones y después la suma y si no hubiese paréntesis: a (b + c) = a b+ ac • Jerarquía de operaciones. Para economizar paréntesis convendremos en que en una cadena de multiplicaciones y adiciones, efectuaremos primero las multiplicaciones y después las adiciones, a menos, precisamente, que halla paréntesis que indiquen otra cosa. Por esto se dice que la multiplicación es una operación de mayor nivel que la adición.

9. Ejercicios 1. Realiza las operaciones indicadas, justificando en cada afirmación la propiedad utilizada. 4+9(1)+3(4+2)= 2. Justifica las siguientes igualdades, con el nombre de la propiedad utilizada. 3·4·5 = 3(4·5) (4·5)·4 =4·(4·5) 324·1= 324 5(7+8) = 5·7+5·8 3(5+0)= 3·5 9·17=17·9 (4·5)·4 = 4·(5·4)

10. Definición de exponente y algunas de sus características Def. Si y se tienen multiplicaciones como las siguientes: n-veces Donde n indica el numero de veces que se multiplica a por si misma. Por cierto, n se le llama exponente y el número a se le llama base,

11. Definición de exponente y algunas de sus características Consideremos: =(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙2) = 4 6 2∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙2 ∙ 2 ∙ 2 ∙2 = 210= 24+6 10 Si realizamos varios ejercicios sobre este tipo de multiplicaciones, podemos llegar a concluir: am∙ an=am+n

12. Definición de exponente y algunas de sus características Ahora consideremos: = = Nuevamente, si realizamos los suficientes ejercicios hasta convencernos de la siguiente conclusión:

13. El orden en los números naturales Definición: Si a y b representan dos naturales cualesquiera, la expresión a < b se lee “a es menor que b”, y significa que existe un natural c  0 tal que a + c = b

14. Definición El sistema de los númerosnaturales, indicado en la forma (N, +, · , <), es decir, está constituido con las siguientes partes: I) El conjunto N. II) Dos operaciones con números naturales llamadas adición (+) y multiplicación () III) Cualesquiera que sean los números naturales a, b, c se cumplen las siguientes propiedades: IV) El orden en N: Si a, b son dos números naturales y si a < bsignifica que existe un natural c 0 tal que a + c = b

15. Por esta ocasión, es todo. ¡Gracias! Profr. Moy