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Tema 4. Cálculo deductivo en lógica proposicional

Tema 4. Cálculo deductivo en lógica proposicional. b) Deducibilidad, teorema, interdeducibilidad. Deducible. Una fórmula  es deducible de una fórmula  si es posible obtener  desde  aplicando una serie de reglas de inferencia. Ejemplos:

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Tema 4. Cálculo deductivo en lógica proposicional

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Presentation Transcript

  1. Tema 4. Cálculo deductivo en lógica proposicional b) Deducibilidad, teorema, interdeducibilidad

  2. Deducible • Una fórmula  es deducible de una fórmula  si es posible obtener  desde  aplicando una serie de reglas de inferencia. • Ejemplos: q es deducible de (p  q) (Eliminación de conyuntor) (r  s) es deducible de r (Introducción de disyuntor) p no es deducible de (p  q) r no es deducible de (q  r)

  3. Deducible • En general, una fórmula  es deducible de un conjunto de fórmulas{1... n} si es posible obtener  desde {1... n} aplicando una serie de reglas de inferencia. • Ejemplos: q es deducible de {(p  q), p}(Modus ponens) r es deducible de {(r  p), (q  ¬p) (Eliminación de conyuntor, Eliminación de disyuntor por negación)

  4. Teorema • Las reglas de Reducción al Absurdo e Introducción del Condicional permiten empezar una deducción sin utilizar ninguna premisa. • Si podemos cerrar la RA o la ICd con la que hemos comenzado, la fórmula así obtenida será una que no requiere de premisa alguna para su demostración. • Ejemplo:  1. p (hipótesis)  2. ¬q  p ID 1 • 3. q  p DCD 2 4. p  (q  p) ICd 1-3

  5. Teorema • Este tipo de fórmula demostrable sin premisas se llama TEOREMA. • Dado que un teorema es demostrable sin premisa alguna, eso significa que un teorema es deducible desde cualquier otra fórmula. El papel de esta fórmula es en realidad irrelevante: 1. r premisa • 2. ¬(p  (q  p)) (hipótesis)  3. p  ¬ (q  p) NCC 1 Como se ve, la • 4. ¬(q  p) EC 2 fórmula de la • 5. q  ¬p NCC 3 premisa no desempeña • 6. p EC 2 papel alguno. • 7. ¬p EC 4 • 8. p  ¬p IC 5,6 9. ¬¬(p  (q  p)) RA 1-7 10. p  (q  p) DN 8

  6. Teorema • Los teoremas no tienen por qué ser más difíciles de demostrar que las derivaciones con premisas. La dificultad depende de la complejidad de la fórmula a obtener, no del hecho de que empleemos premisas o no. • De hecho, demostrar un teorema plantea una restricción en relación al modo de comenzar el ejercicio: necesariamente debe empezar con la introducción de un supuesto, bien con vistas a una Reducción o a una Introducción de Condicional.

  7. Teorema • Cualquier fórmula demostrable desde un teorema, debe ser a su vez un teorema. • Supongamos que  es un teorema y que  es demostrable desde . Entonces existe la secuencia siguiente de pasos: • Demostramos  sin premisas • Aplicamos reglas de inferencia • Obtenemos  • Como se ve,  ha sido obtenida sin utilizar tampoco premisa alguna; por tanto,  es también un teorema

  8. Interdeducibilidad • Si una fórmula  es deducible desde  y  a su vez es deducible desde , decimos de ellas que son INTERDEDUCIBLES. • Por ejemplo, ¬(p  (q  r)) y ¬((¬q ¬p)  r) lo son: 1. ¬(p  (q  r)) Pr 10. ¬(¬q  ¬p)  ¬r IC 8,9 2. p  ¬(q  r) NCC1 11. ¬((¬q  ¬p)  r) NDC 10 3. p EC 2 4. ¬¬p DN 4 5. ¬(q  r) EC 2 6. ¬q  ¬r NDC 5 7. ¬q  ¬¬p IC 6, 4 8. ¬(¬q  ¬p) NCC 7 9. ¬r EC 6

  9. Interdeducibilidad • Si una fórmula  es deducible desde  y  a su vez es deducible desde , decimos de ellas que son INTERDEDUCIBLES. • Por ejemplo, ¬(p  (q  r)) y ¬((¬q ¬p)  r) lo son: • ¬((¬q ¬p)  r) Pr  12. ¬p  ¬¬p IC 10,11  2. p  (q  r) hip 13. ¬(p  (q  r)) RA 2-12  3. ¬(¬q ¬p)  ¬r NDC 1  4. ¬(¬q ¬p) EC 3  5. ¬q  ¬¬p NCC 4  6. ¬q EC 5  7. ¬r EC 3 8. ¬q  ¬r IC 6,7 9. ¬(q  r) NDC 8 10. ¬p EDN 2, 9 11. ¬¬p EC 5

  10. Paralelismo sintáctico-semántico • Hay un paralelismo entre la tríada de propiedades que acabamos de ver y las nociones semánticas estudiadas el tema anterior: SEMÁNTICO SINTÁCTICO Consecuencia lógica Deducibilidad Verdad lógica Teorema Equivalencia Interdeducibilidad

  11. Paralelismo sintáctico-semántico • En otras palabras, da la impresión de que: a) Las consecuencias lógicas de  son deducibles desde  y, a la inversa, lo que es deducible desde  es consecuencia lógica de . b) Toda verdad lógica constituye un teorema y, a la inversa, todo teorema es una verdad lógica c) Dos fórmulas  y  equivalentes son interdeducibles y, a la inversa, dos fórmulas interdeducibles son equivalentes

  12. Paralelismo sintáctico-semántico • Esta impresión es correcta: (a), (b) y (c) se cumplen. Pero decir que da la impresión no es suficiente: demostrar que (a), (b) y (c) se cumplen es tarea de la METALÓGICA. • Esta disciplina se encarga de investigar qué propiedades tienen los sistemas lógicos. • En virtud de cumplir (a), por ejemplo, diremos que el cálculo de la lógica proposicional es COMPLETO y CORRECTO • No todo sistema lógico tiene estas propiedades.

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