Kapitel 11: Analyse af sammenh ngen mellem kategoriske variable

1. 1 Kapitel 11: Analyse af sammenh�ngen mellem kategoriske variable Afsnit 11.1: Hvad er uafh�ngighed og hvad er sammenh�ng?

2. 2 Indl�ringsm�l Sammenligne andele Uafh�ngighed vs. afh�ngighed

3. 3 Er der en sammenh�ng mellem gl�de og indkomst? Procentandelen i en bestemt r�kke i tabellen kaldes den betingede procentandel. De former den betingede fordeling over gl�de, givet et bestemt indkomstniveau. Retningslinier n�r der skal konstrueres tabeller med betingede fordelinger; Placer responsvariablen i s�jlerne (gl�de) Beregn de betingede andele for responsvariablen for hver r�kke Inkluder den totale stikpr�vest�rrelseProcentandelen i en bestemt r�kke i tabellen kaldes den betingede procentandel. De former den betingede fordeling over gl�de, givet et bestemt indkomstniveau. Retningslinier n�r der skal konstrueres tabeller med betingede fordelinger; Placer responsvariablen i s�jlerne (gl�de) Beregn de betingede andele for responsvariablen for hver r�kke Inkluder den totale stikpr�vest�rrelse

4. 4 Er der en sammenh�ng mellem gl�de og indkomst?

5. 5 Hvis der f.eks. skulle v�re uafh�ngighed mellem indkomst og k�n ville de relative andele fordele sig som f�lgende: Sp�rgsm�let er om andelene fordeler sig signifikant forskelligt fra ovenst�ende. Hvis de g�r, er de to variable afh�ngige. Uah�ngighed eller afh�ngighed mellem gl�de og indkomst? Definitionen vedr. uafh�ngighed mellem variablene referer til populationen Tabellen er en stikpr�ve ikke en population Selv om variablene er uafh�ngige vil vi ikke forvente at stikpr�vens betingede fordelinger er ens. P� grund af stikpr�vevariation, vil hver stikpr�ve typisk afvige noget fra den sande populations fordeling Definitionen vedr. uafh�ngighed mellem variablene referer til populationen Tabellen er en stikpr�ve ikke en population Selv om variablene er uafh�ngige vil vi ikke forvente at stikpr�vens betingede fordelinger er ens. P� grund af stikpr�vevariation, vil hver stikpr�ve typisk afvige noget fra den sande populations fordeling

6. 6 Kapitel 11: Analyse af sammenh�ngen mellem kategoriske variable Afsnit 11.2: Hvordan kan vi teste om kategoriske variable er uafh�ngige?

7. 7 Indl�ringsm�l Signifikanstest for kategoriske variable Hvilke v�rdier forventer vi i de enkelte celler hvis variablene er uafh�ngige? Hvordan finder vi det forventede antal observationer I de enkelte celler? testst�rrelse fordeling De fem trin for et test af uafh�ngighed

8. 8 Indl�ringsm�l anvendes ogs� som et test af homogenitet og test til brug for sammenligning af andele i 2x2 tabeller Begr�sninger ved test

9. 9 Indl�ringsm�l 1: Signifikanstest for kategoriske variable Opstil en tabel af frekvenser fordelt p� to kategoriske variable Hypoteserne er: H0: De to variable er uafh�ngige Ha: De to variable er afh�ngige Testen antager en stor, tilf�ldig udvalgt stikpr�ve (antallet af observationer i hver celle er p� mindst 5)

10. 10 Indl�ringsm�l 2: Hvad forventer vi at celleantallet skal v�re hvis variablene er uafh�ngige? Antallet i enhver celle er en stokastisk variabel Forskellige stikpr�ver har forskellige antal v�rdier Middelv�rdien af dets fordeling er det forventede celleantal Dette findes under antagelsen af at H0 er sand

11. 11 Indl�ringsm�l 3:Hvordan finder vi det forventede celleantal? Forventede celleantal: For en bestemt celle, Den forventede frekvens er v�rdierne som har de samme r�kke- og kolonnetotaler som det observerede antal, men for hvilken de betingede fordelinger er identiske (dette er antagelsen af nul hypotesen).

12. 12 Indl�ringsm�l 3:Hvordan finder vi det forventede celleantal?Eksempel

13. 13 Indl�ringsm�l 4: Chi-i-anden testst�rrelsen Chi-i-anden testst�rrelsen opsummerer hvor langt v�k de observerede celle antal I en kontingenstabel falder fra de forventede celle antal under antagelse af nul hypotesen

14. 14 Opstilling af hypoteser for denne test H0: Gl�de og indkomst er uafh�ngige Ha: Gl�de og indkomst er afh�ngige Indl�ringsm�l 4:Eksempel: Gl�de og indkomst

15. 15 Beregning af testst�rrelsen, : (21-35,8)2/35,8 + (159-166,1)2/166,1 + (110-88,1)2/88,1+ (53-79,7)2/79,7 + (372-370)2/370,0 + (221-196,4)2/196,4 + (94-52,5)2/52,5 + (249-244)2/244,0 + (83-129,5)2/129,5 = 73,49 v�rdien er 73,4 Eksempel: Gl�de og indkomst

16. 16 Jo st�rre v�rdien er, jo st�rre bevis er der mod nul hypotesen om uafh�ngighed og til st�tte for alternativ hypotesen om at gl�de og indkomst f�lges ad Chi-i-anden Testst�rrelsen

17. 17 Chi-i-anden fordelingen For at omregne testst�rrelsen til en P-v�rdi bruger vi stikpr�ve fordelingen af estimatet For store stikpr�vest�rrelser er stikpr�vefordelingen godt approximeret ved chi-i-anden sandsynlighedsfordelingen

18. 18 Chi-i-anden fordelingen

19. 19 Chi-i-anden fordelingen Hovedegenskaber ved chi-i-anden fordelingen: Kan ikke v�re negativ da man kvadrerer forskellen I t�lleren Min v�rdien er 0, hvis observeret celleantal lig med forventede celleantal Formen p� fordelingen afh�nger af antal frihedsgrader: df = (r-1)(c-1), hvor r = antal r�kker og c = antal kolonner Middelv�rdien fordelingen er lig med df v�rdien Fordelingen er sk�v til h�jre N�r df stiger bliver fordelingen mere klokkeformet Jo st�rre v�rdi, jo st�rre bevis mod H0: uafh�ngighed

20. 20 Chi-i-anden fordelingen

21. 21 5 trins metodikTest af uafh�ngighed i Chi-i-anden fordelingen 1. Antagelser: To kvalitative variable Tilf�ldighed Forventede antal = 5 i alle celler

22. 22 5 trins metodikTest af uafh�ngighed i Chi-i-anden fordelingen 2. Hypoteser: H0: De to variable er uafh�ngige Ha: De to variable er afh�ngige (associated) 3. Testst�rrelse:

23. 23 5 trins metodikTest af uafh�ngighed i Chi-i-anden fordelingen 4. P-v�rdi: Sandsynligheden er h�jre siden af den observerede v�rdi i chi-i-anden fordelingen med frihedsgraderne df = (r-1)(c-1), hvor r = antal r�kker og C = antal s�jler 5. Konklusion: S�t den rapporterede P-v�rdi ind i en sammenh�ng Forkast H0 n�r P-v�rdien = significansniveauet

24. 24 Chi-i-anden bruges ogs� til �test af homogenitet� Chi-i-anden testen afh�nger ikke af hvilken variabel der anvendes som respons variabel og hvilken der er den forklarende variabel N�r en respons variabel er identificeret og populationens betingede fordelinger er identiske, siges de at v�re homogene Testen er da refereret til som en test af homogenitet

25. 25 Begr�nsninger ved Chi-i-anden Testen Hvis P-v�rdiener meget lille er der st�rk bevis mod nul hypotesen men� Testst�rrelsen og P-v�rdien fort�ller os ingenting om styrken af sammenh�ng

26. 26 Begr�nsninger ved Chi-i-anden Testen Chi-i-anden test bliver ofte misbrugt, f.eks.; N�r nogle af de forventede frekvenser er for sm� N�r nogle af r�kkerne eller kolonnerne er afh�ngige stikpr�ver data ikke er tilf�ldig udvalgte kvantitative data bliver klassificeret som kvalitative � resulterende i tabt information

27. 27 H�j betyder ikke at der er en st�rk sammenh�ng En h�j chi-i-anden testv�rdi giver st�rk bevis for at der er sammenh�ng mellem variablene Det betyder ikke, at der mellem variablene er en st�rk sammenh�ng Testst�rrelsen indikerer mere (igennem dets P-v�rdi) hvor sikre vi kan v�re for at der er en sammeh�ng mellem variablene, men ikke hvor st�rk denne sammenh�ng er

28. 28 �velser 11.9, side 562 11.10, side 562