INDICE

1. Corso di LABORATORIO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICAProf. C. DAPUETO- Prof.ssa G. PESCEDalle distribuzioni di frequenza alle leggi di distribuzioneSpecializzandi: Bergamino - Chiavazza -Costa - Deambrogio - Goggi

2. Introduzione Statistica Statistica-Esercizi Dal discreto al continuo Probabilità Conclusioni INDICE

3. Introduzione Collocazione progetto didattico: • Istituto tecnico commerciale indirizzo Mercurio con riferimento a • classe IV (per quanto concerne il discreto) • classe V (per quanto concerne il continuo). • Triennio di un istituto tecnico ITIS oppure triennio di un liceo scientifico

4. Introduzione Motivazioni della scelta • La statisticae la probabilità sono argomenti particolarmente importanti per lo sviluppo della capacità critica dei discenti • L’insegnamento della matematica deve contribuire alla formazione di un cittadino conscio (matematica per il cittadino), in grado di saper interpretare ed analizzare la realtà che lo circonda in modo consapevole • I recenti temi dei test di ammissione alle facoltà scientifiche nonché i test PISA dedicano particolare importanza alla statisticae alla probabilità • La statistica inoltre e’ un fondamentale strumento per superare alcuni limiti relativi a cio’ che un alunno pensa di se’ rispetto ai suoi compagni (es.: altezza, peso, ecc.)

5. Si introduce il concetto di distribuzione di frequenza partendo da esempi concreti, anche basati su notizie, fatti di cronaca, dibattiti televisivi, ecc., im modo da: stimolare maggiormente l’interesse e il coinvolgimento degli studenti sottolineare i collegamenti interdisciplinari con: economia aziendale, economia politica, scienza delle finanze, fisica, biologia, materie più umanistiche (es. semplice lettura di un quotidiano, notizie economiche, indagini ISTAT, ecc.) Introduzione

6. L’approccio didattico: Predisporre delle schede ad hoc, anche con esercizi motivanti gli interessi degli allievi Il livello di approfondimento e di formalizzazione sarà maggiore con riguardo al liceo scientifico rispetto all’approccio seguito negli istituti tecnici Tratteremo: Lo sviluppo della statistica descrittiva, nel discreto e nel continuo Gli eventi aleatori, e quindi la probabilità, sempre con riferimento prima al discreto e poi al continuo Introduzione

7. Far considerare agli studenti un certo insieme di oggetti, possibilmente a loro vicino e noto, ad es.: l’altezza degli alunni della classe i tempi di percorrenza da casa a scuola la scelta dei mezzi di trasferimento casa-scuola i voti dell’ultimo compito in classe i cd che un negozio di musica ha venduto nelle due settimane successive al festival di Sanremo il PIL dell’Italia e degli altri Paesi europei STATISTICA

8. si considerano gli esempi visti e si invitano gli studenti ad analizzare il tipo di carattere considerato (qualitativo o quantitativo) si passa quindi ad una discussione critica per stimolare i discenti, accertandosi che abbiano una prima idea dei fenomeni si invitano ad esaminare come si distribuiscono questi dati, facendo ad esempio osservare quali siano le altezze più frequenti, ecc. Statistica Per introdurre empiricamente i concetti di • carattere • modalità • popolazione • frequenza assoluta e relativa (percentuale) • distribuzione

9. Statistica Si intende quindi : • far sviluppare agli studenti esercizi relativi proprio alla costruzione di tabelle (o distribuzioni di frequenza), per familiarizzarli con la manipolazione di dati grezzi • portare gli studenti alla comprensione e all’opportunità del raggruppamento di dati in classiseparate Parallelamente si propongono le medesime attività anche in laboratorio informatico mediante l’ausilio di Excel, di XLStat e di STAT scaricabile dal sito di MACOSA

10. La rappresentazione dei dati con carta e matita risulta spesso più difficile per gli studenti: infatti devono prestare attenzione ad errori di calcolo che potrebbero portare a rappresentazioni totalmente errate, distogliendo così i discenti dalla finalità principale del lavoro. In particolare, l’uso di Excel facilita proprio la parte grafica e di calcolo, (lo studente è direttamente coinvolto nel processo di apprendimento). XLStat, invece, pur essendo uno strumento più potente, presenta un costo sicuramente più elevato e, inoltre, da un punto di vista didattico, si ritiene che debba essere utilizzato solo a posteriori, dopo l’apprendimento dei concetti, come verifica del lavoro svolto dagli alunni, in quanto esso calcola automaticamente i vari indici statistici. Agendo in tal modo si utilizza una metodologia didatticadi tipo percettivo-motorio, molto più efficace rispetto ad una metodologia di tipo simbolico-ricostruttivo in quanto consente di semplificare il processo di apprendimento dei discenti, risultando in tal modo meno faticoso e più incentivante. Statistica NOTE

11. Si propone quindi di far svolgere agli studenti in maniera diretta indagini su fenomeni specifici. Esempi: indagine sul numero di studenti stranieri iscritti nella scuola negli ultimi anni indagine sul costo di un determinato bene nel tempo per un liceo scientifico, la temperatura nei vari giorni Poi si può agevolmente introdurre il concetto di istogramma come strumento per raffigurare la distribuzione di frequenze Si procede con l’introduzione degli indici di posizione (moda, mediana, media aritmetica) e dei principali indici di dispersione (varianza, scarto quadratico medio, coefficiente di variazione), con lo scopo di ottenere misure di sintesi e di confronto tra variabili statistiche. (Esempi sempre collegati con casi reali vicini agli studenti) Statistica

12. ESERCIZIO 1 Esercizi La tabella seguente riporta la distribuzione dei voti conseguiti in matematica da 26 studenti di una classe. Si individui la tipologia di carattere osservata, si raggruppino i dati in un’opportuna tabella e si proceda quindi al calcolo degli opportuni indici di posizione.

13. Esercizi ESERCIZIO 2 Le azioni FIAT, in 5 sedute successive della Borsa di Milano, hanno avuto le seguenti quotazioni (in euro): 2,98; 2,97; 2,98; 2,99; 2,98 Se una persona ha acquistato, a ogni seduta, 100 azioni, qual è stato il costo medio per azione? E se ne ha acquistate 200 ad ogni seduta?

14. Dal discreto al continuo Attraverso opportuni esempi (velocita’ di un’auto, altezza di una persona...) si vogliono portare gli studenti al passaggio dal discreto al continuo, mostrando come molti fenomeni reali possono assumere un qualsiasi valore in un certo intervallo. Esempio: Rilevazione dell’altezza • Rilevazione dell’altezza degli studenti (piccolo campione) istogramma sperimentale • Ampliamento della dimensione del campione distribuzione teorica continua

15. Dal discreto al continuo • Consideriamo un grande numero di individui, ad esempio 100.000, si ottengono 100.000 valori di altezza, compresi tra un minimo ed un massimo. Si evidenzia che maggiore e’ la numerosita’ del campione, maggiore e’ la precisionenella determinazione della media e varianza (mm al posto di cm) Si possono rappresentare graficamente tutti i suddetti valori: • raggruppandoli in classi • costruendo un istogramma (sulle ascisse sono riportati i valori delle altezze e sull’ordinata la densità di frequenza, che si intende proprio introdurre in questa sede, come rapporto tra la frequenza relativa e l’ampiezza della classe) • L’istogramma sarà costituito da tanti rettangoli quante sono le classi in cui sono stati suddivisi i valori. Aumentando il numero di classi diminuisce la loro ampiezza e, quindi, la base dei singoli rettangoli, ma l’area totale dell’istogramma rimane sempre costante, pari ad uno

16. Dal discreto al continuo • Area dell’istogramma = somma delle aree di tutti i rettangoli • Area rettangolo = base * altezza = (ampiezza classe * densità di frequenza) = frequenza relativa comprensione di un concetto di per sé complesso passo passo, partendo proprio dalla rappresentazione grafica Al crescere del numero dei rettangoli l’istogramma tende ad una funzione continua, la cui area vale ancora uno, detta funzione di densità

17. Si evidenziano: le distribuzioni teoriche che riproducono andamenti tipici delle distribuzioni di frequenza (esempio: distribuzione normale o gaussiana) Il confronto fra istogramma sperimentale ottenuto prima e la distribuzione gaussiana teorica  buona approssimazione del fenomeno considerato il collegamento con l’analisi, con riferimento al concetto di integrale (area sottesa ad una curva) Per gli studenti di un liceo scientifico, -> si approfondirà in analisi il concetto di integrale indefinito e definito per gli studenti di un istituto tecnico commerciale -> concetto sviluppato solo a livello intuitivo, senza eccessivi formalismi Note la media e la varianza del campione e’ possibile calcolare in modo preciso la percentuale di popolazione avente altezza compresa in un certo intervallo, evitando cosi’ di sommare le aree dei singoli rettangoli dell’istogramma Dal discreto al continuo

18. Probabilità Con la statistica si analizzano dati certi, osservati ex post, mentre con la probabilità si introduce il concetto di evento aleatorio, inteso come accadimento il cui esito sia incerto. A tal fine si fornisce una serie di esempi: • il numero di automobili che transitano su un’autostrada in un dato giorno • l’uscita di un dato numero al gioco del lotto • il valore che può assumere un titolo azionario • la temperatura registrata in una giornata • l’altezza di un alunno in una classe Si va così a definire il concetto di probabilità, nodo concettuale problematico dal punto di vista definitorio e didattico

19. ESEMPIO 1 Luisa, che sa della fine della mia storia con Mario, ed ama gli indovinelli, mi dice: «Sai, viene a trovarmi per qualche giorno Sergio, un mio lontano cugino, dall'Emilia. Potremmo andare a cena assieme, e poi, chissà, potrebbe nascere qualcosa! Sergio non è molto alto, ma ha un bell‘ aspetto, anche se porta gli occhiali. Gli piace leggere. È un po' taciturno, ma quando parla sa essere piacevole. Non ti dico altro. Prova a indovinare che mestiere fa: (A) il magistrato, (B) il bibliotecario, (C) l'agricoltore, (D) l'attore o (E) il dentista?» In assenza di altre informazioni su Sergio e, in generale, sui parenti di Luisa, ipotizzando che Luisa sappia che io non ho particolari preferenze per un mestiere o l'altro, … come dovrei rispondere per individuare il mestiere più probabile? In effetti, si può osservare proprio come fra i mestieri indicati, in Emilia, e in tutte le regioni italiane, il più frequente è di gran lunga sicuramente l'agricoltore. E ai nostri giorni anche gli agricoltori portano gli occhiali, e leggono. Solo qualche stereotipo, e l'assenza di considerazioni statistiche, potrebbe indurre a pensare che la risposta OK sia "bibliotecario". Diversa, ovviamente, sarebbe la situazione se Luisa avesse 5 cugini che fanno i mestieri indicati. Probabilità

20. ESEMPIO 2 Lancio ripetutamente un dado (non truccato).Quale tra i seguenti fatti è più probabile? (A) Ottenere di fila 5,2,1,4,3,6   (B) Ottenere di fila 5 volte 6 (C) Ottenere di fila 1,2,3,4,5,6   (D) Ottenere di fila 6 volte 1 (E) Ottenere di fila 1,1,2,2,3,3 Se lancio un fissato numero di volte un dado non truccato, tutte le sequenze di uscite hanno la stessa probabilità: non c'è motivo per cui, facendo 3 lanci, 333 sia meno probabile di, ad es., 524.Nel nostro caso il fatto più probabile è (b) in quanto si tratta di una sequenza tra tutte le possibili (e tra loro equiprobabili) sequenze di 5 uscite; tutte gli altri fatti sono meno probabili: si tratta di una sequenza tra tutte le possibili sequenze di 6 uscite, che sono molte di più (sono 6 volte la quantità delle sequenze di 5 uscite: la probabilità di B è 6 volte la probabilità di ciascuno degli altri eventi). Probabilità

21. Difficoltà degli studenti nella comprensione della probabilità: È diffusa l’idea che una successione "regolare" di uscite sia più improbabile di una uscita meno regolare. Esercizi di questo genere sono assai utili per mettere in luce le misconcezioni e aprire con gli alunni momenti di discussione su di esse. Si mostreranno quindi le differenti “definizioni” di probabilità (classica e frequentista), mostrandone altresì i limiti Probabilità

22. Si introduce il concetto di variabile aleatoria (grandezza che può assumere valori differenti in modo imprevedibile).Esempi: il numero di teste che si presentano lanciando n monete, la velocità di un’auto in un determinato istante, il n° dei centri di un bersaglio nel tiro al piattello su n colpi, il n° di carte di cuori estraibili da un mazzo di 40,con o senza reinserimento la statura di una persona Si introducono quindi i concetti di: variabili aleatorie discrete -possono assumere solo determinati valori variabili aleatorie continue -assumono qualsiasi valore entro un certo intervallo Per definire in modo esauriente una variabile aleatoria è necessario definire sia i valori che la grandezza può assumere sia con quale probabilità può assumere tali valori, ovvero si deve definire la sua distribuzione di probabilità (funzione di probabilità) Probabilità

23. Si introducono esempi di variabili aleatorie discrete (evidenziando comediscretonon implichifinito) Si procede ad una loro rappresentazione grafica (istogrammi) Esempio: di distribuzione di probabilità discreta: binomiale (prob. di ottenere x successi in n prove indipendenti) Analogamente e specularmente a quanto osservato con riferimento alle distribuzioni di frequenza di fenomeni statistici, si procede al passaggio al continuo anche per le variabili aleatorie. In particolare si fa notare attraverso esempi opportuni con l’ausilio di software (ad esempio Stat o Excel) come, aumentando il numero delle prove effettuate, l’istogramma sperimentale converga ad una distribuzione teorica continua, come ad es. la gaussiana o uniforme Si vuole anche evidenziare come esistano fenomeni che presentano andamento continuo irregolare (es.: peso degli individui), non rappresentabili mediante distribuzione gaussiana o uniforme Probabilità

24. Probabilità • ESEMPIO: altezza di una popolazione di individui Si può mostrare come l’istogramma sperimentale sia ben approssimabile dalla distribuzione gaussiana teorica, avente media e varianza della popolazione in esame. Note media e varianza, e’ possibile calcolare la probabilita’ che l’altezza degli individui sia compresa in un certo intervallo

25. Probabilità L’area sottesa alla curva in un certo intervallo • In statistica : rappresenta la percentuale, ovvero la frequenza relativa, di soggetti aventi carattere con valori in tale intervallo • In probabilità: rappresenta la probabilità che l’evento assuma valori in tale intervallo. Tale area, ovvero la probabilità, potrà essere calcolata tramite • calcolo integrale • qualora trattasi di particolari distribuzioni, quale la gaussiana uso di tavole o, piu’ opportunamente, tramite calcolatrice o software • qualora trattasi di distribuzione uniforme  geometria(area rettangolo) • Il passo conclusivo può essere quello di passare al concetto di inferenza, mostrando come, nota la distribuzione del campione, sia possibile passare alla distribuzione della popolazione con un certo livello di confidenza (stima) 

26. Tipologie di difficoltà incontrabili dai discenti: difficoltà a distinguere il concetto di carattere da quello di frequenza difficoltà a raggruppare opportunamente i dati in classi difficoltà riscontrabili nel passaggio dal discreto al continuo relative alla non consapevolezza dell’ importanza della numerosità del campione, (in quanto solo con popolazioni ampie vale la legge dei grandi numeri e la convergenza della distribuzione discreta verso quella continua) difficoltà tipica del pensiero probabilistico, ovvero l'idea che una successione "regolare" di uscite sia più improbabile di una uscita meno regolare difficoltà di comprensione della differenza fra fenomeno statistico ed evento aleatorio In generale, difficoltà legate ad un atteggiamento di pensiero, che potrebbero condizionare la vita sociale molto di piu’ rispetto ai tradizionali concetti matematici Conclusioni