statistische testverfahren i.

1. Statistische Testverfahren I. Tamás Huber

3. Fehler 1. und 2. Art Das Signifikanzniveau (engl.: significance) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, mit der im Rahmen eines Hypothesentests die Nullhypothese fälschlicherweise verworfen werden kann, obwohl sie eigentlich richtig ist (Fehler 1. Art, ?-Fehler ). Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art wird bei der Berechnung von Signifikanzen als Irrtumswahrscheinlichkeit bezeichnet. Beispiel: eine Person wird zu Unrecht als krank bezeichnet, obwohl sie tatsächlich gesund ist. Eine Nullhypothese für wahr zu halten, obwohl in Wahrheit die Alternativhypothese korrekt ist, nennt man Fehler 2. Art oder ß-Fehler. Beispiel: eine Person wird zu Unrecht als gesund bezeichnet, obwohl sie tatsächlich krank ist.

4. Entscheidungstabelle

5. t-Verteilung Wurde von W.S. Gosset unter dem Pseudonym "Student" eingeführt, deshalb auch Student t-Verteilung. Eigenschaften: Hängt (fast) nur von der Anzahl der Freiheitsgrade ("degrees of freedom") ab. Freiheitsgrade = Anzahl der Datenpunkte minus 1 (n-1). Nähert sich für große n der Standard-Normalverteilung N(0,1) an.

6. Die t- Verteilung Testen zum sig level a heisst: Ist abs t grösser tcritTesten zum sig level a heisst: Ist abs t grösser tcrit

7. Zweiseitiger Testung Testen zum sig level a heisst: Ist abs t grösser tcritTesten zum sig level a heisst: Ist abs t grösser tcrit

9. I. Einstichproben t-TestVergleich Mittelwert mit einem Erwartungswert (µ0) Voraussetzung: Daten sind normalverteilt. H0: µ = µ0 H1: µ ? µ0 Teststatistik: Die Nullhypothese wird mit Signifikanzniveau ? abgelehnt, wenn der beobachtete Wert t den kritischen Wert tn-1(1 – ?/2) überschreitet, d.h.: |t| = tn-1(1 – ?/2)

10. Beispiel Wie genau ist das Gewicht der Aktivkohlentablette angegeben? Laut Hersteller es beträgt 500 mg. Die Messergebnisse nach einer Stichprobe vom Umfang n = 10, sind die folgende: 483, 502, 498, 496, 502, 483, 494, 491, 505, 486 mg. Überprüft werden soll die Nullhypothese: H0: µ = µ0 = 500 auf dem 5%-Niveau. Die Alternativhypothese lautet: H1: µ ? µ0 = 500.

11. Lösung/483, 502, 498, 496, 502, 483, 494, 491, 505, 486/ = ? (494) , FG = ? (n -1 = 9) H0 wird also abgelehnt.

12. II. t-Test für zwei unabhängige StichprobenParallelgruppenvergleich Voraussetzung: X1,X2,...,Xn und Y1,Y2,...,Ym zwei unabhängige Stichproben eines normalverteilten Merkmals mit Mittelwerten µ1 bzw. µ2 und konstanter Varianz s2. H0: µ1 = µ2 H1: µ1 ? µ2 Teststatistik: Ablehnung von H0, falls |t | > tn+m-2(1-a/2) (1-a/2-Quantil der t-Verteilung mit n+m-2 Freiheitsgraden) Beispiel: im Excel

13. III. t-Test für zwei abhängige StichprobenVergleich 2er Mittelwerte - vor und nach einer Therapie -

14. IV. t-Test zur Prüfung des Korrelationskoeffizienten r Voraussetzung: Die Merkmale sind normalverteilt. H0: r = 0 H1: r ? 0 Wenn |t|> tn-2(1-a/2), dann besteht ein Zusammenhang zwischen den Merkmalen X und Y.