利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法: (1) 分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角 ( 或其补角 ) ; - PowerPoint PPT Presentation

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利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法: (1) 分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角 ( 或其补角 ) ;

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  1. 利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法:利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法: • (1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角); • (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.

  2. 图1

  3. 又A1A綊B1B,所以A1A綊C1D,所以A1ADC1是平行四边形,又A1A綊B1B,所以A1A綊C1D,所以A1ADC1是平行四边形, • 所以A1C1∥AD,所以AD∥平面A1C1C, • 同理,B1D∥平面A1C1C; • 又因为B1D∩AD=D,所以平面ADB1∥平面A1C1C, • 所以AB1∥平面A1C1C. • (3)由(1)知AB⊥平面AA1C,又二面角A1—AB—C是直二面角,

  4. 【反思启迪】1.求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种.传统法关键是找斜线在平面内的射影,从而找出线面角;向量法则可建立坐标系,利用向量的运算求解.用向量法可避开找角的困难,但计算较繁,所以要注意计算上不要失误.【反思启迪】1.求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种.传统法关键是找斜线在平面内的射影,从而找出线面角;向量法则可建立坐标系,利用向量的运算求解.用向量法可避开找角的困难,但计算较繁,所以要注意计算上不要失误. • 2.角的计算与度量总要进行转化,这体现了转化的思想,主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角.

  5. 【解】(1)证明 ∵AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE, • ∴AE⊥CD. • 在正方形ABCD中,CD⊥AD, 图2

  6. ∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面ADE. • ∵AB∥CD,∴AB⊥平面ADE. • (2)由(1)知平面EAD⊥平面ABCD,取AD中点O,连接EO, • ∵EA=ED,∴EO⊥AD, • ∴EO⊥平面ABCD, • 建立如图所示的空间直角坐 • 标系,设AB=2, • 则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1),设M(x,y,z),

  7. 利用空间向量法求二面角的方法: • (1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角. • (2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.以上两种方法各有利弊,要善于结合题目的特点选择适当的方法解题.

  8. 【规范解答】取BC的中点E,AD的中点P,连接PE. • 在△SAD中,SA=SD=a,P为AD的中点,所以SP⊥AD. • 又因为平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD, • 所以,SP⊥平面ABCD.显然有PE⊥AD. • 如图,以P为坐标原点,PA • 为x轴,PE为y轴,PS为z轴建 • 立空间直角坐标系,

  9. 【反思启迪】1.当空间直角坐标系容易建立时,用向量法较为简洁明快.【反思启迪】1.当空间直角坐标系容易建立时,用向量法较为简洁明快. • 2.用法向量求二面角的大小时,有时不易判断两法向量的大小就是二面角的大小(相等或互补),但我们完全可以根据图形得出结论,这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是比较明显的.

  10. 【解】(1)证明 ∵SD⊥平面ABCD,SD⊂平面SAD,∴平面SAD⊥平面ABCD,【解】(1)证明 ∵SD⊥平面ABCD,SD⊂平面SAD,∴平面SAD⊥平面ABCD, • ∵AB⊥AD,∴AB⊥平面SAD,又DE⊂平面SAD,∴DE⊥AB.

  11. ∵SD=AD,E是SA的中点,∴DE⊥SA, • ∵AB∩SA=A,∴DE⊥平面SAB, • ∵DE⊂平面BED, • ∴平面BED⊥平面SAB. • (2)由题意知SD,AD,DC两两 • 垂直,以DA、DC、DS所在的 • 直线分别为x轴、y轴、z轴建立 • 如图所示的空间直角坐标系 • D—xyz,不妨设AD=2,则

  12. (2013·深圳模拟)如图5, • 棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有 • 棱长都等于2,∠ABC和 • ∠A1AC均为60°,平面 • AA1C1C⊥平面ABCD. • (1)求证:BD⊥AA1; • (2)求二面角D—AA1—C的余弦值; • (3)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1,若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由.

  13. 【规范解答】设BD与AC交于O,则BD⊥AC,连接A1O,在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,【规范解答】设BD与AC交于O,则BD⊥AC,连接A1O,在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°, • ∴A1O2=AA+AO2-2AA1·AOcos 60°=3, • ∴AO2+A1O2=AA, • ∴A1O⊥AO. • 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD, • ∴A1O⊥平面ABCD.

  14. 【反思启迪】利用空间向量解决探索性问题,可将所求问题转化为方程(组)是否有解的问题,可通过解方程(组)来判断是否有解.【反思启迪】利用空间向量解决探索性问题,可将所求问题转化为方程(组)是否有解的问题,可通过解方程(组)来判断是否有解.

  15. 又DC与EC相交于C, • ∴EF⊥平面DCE.