1.7 赫姆霍兹定理

1. 1.7 赫姆霍兹定理 实际工程中，如何唯一确定一个场？ 1、标量场 标量场由其梯度(矢量)场和边界唯一确定。 则： 2、矢量场的类型 无旋场、无散场、调和场和一般矢量场

2. 1.7 赫姆霍兹定理 （1）无旋场 旋度恒为零，但散度并不为零的矢量场。无旋场仅由通量源产生的，静电场是其一例。 由斯托克斯定理有 即在定义域内无旋场沿任意闭合路径l的环量恒为零，可见无旋场就是守恒场。

3. Q m n P 两点间的任意两条积分路径 1.7 赫姆霍兹定理 无旋场的线积分与积分路径无关，仅与线积分起点和终点的位置有关。 由图中P、Q两点间的两条路径PnQ和PmQ，构成回路PnQmP，其上F(r)的环量可以写成 即

4. 由 可以定义一个标量场 负号意指某点 的方向为该处 取得最大减小率的方向。 得 的微分方程 1.7 赫姆霍兹定理 (1.7.1) 令 2= b (1.7.2) 这种形式的二阶偏微分方程称为泊松方程。 在一定附加条件下（边界条件），由上式可求得(r)的解，再按(1.7.1)式解得F(r)，这是求解无旋场的基本方法。

5. 1.7 赫姆霍兹定理 （2）无散场 散度恒为零，而旋度并不为零的矢量场。无散场是仅由旋涡源产生的，恒定磁场即是一例。 由高斯散度定理，有 即无散场在任意闭面S上的净通量恒等于零。

6. 可得无散场的二阶偏微分方程 由 可定义一个矢量位函数A(r) 令 (1.7.3) 称为矢量场的旋度旋度方程。求解此类场的基本方法是：先解这个旋度旋度方程可得A(r)的通解，在一定附加条件下可得到特解，再按(1.7.3) 式求出无散场F(r).

7. 1.7 赫姆霍兹定理 （3）调和场 在定义域内矢量场的旋度与散度均为零。显然，调和场的场源是在定义域之外。恒定电场即是一例。 ，引入标量位函数 由无旋性 再由 ，可得 2= 0 调和场的二阶偏微分方程称为拉普拉斯方程。 （4）一般矢量场的旋度和散度均不为零。它由旋涡源和通量源共同产生。通常时变电磁场都是一般矢量场，而无旋场、无散场以及调和场都是它的特例。

8. 用反证法证明，假定满足给定条件的矢量场有两个 和 ，然后再论证这两个矢量场是相同的，即 。令 1.7 赫姆霍兹定理 3、赫姆霍兹定理 赫姆霍兹定理包括矢量场的唯一性定理和矢量场的分解定理。 (1)唯一性定理： 在闭面S 所包围的有限区域(单连域或多连域)V内 ，若给定了矢量场的旋度和散度，同时还给定了该矢量场在边界 S 上的法向分量 Fn 或切向分量Ft ，则 V 内是唯一确定的。

9. 由 可引入标量函数 (r) 1.7 赫姆霍兹定理 在V 内，有 在边界S上，则有 或 且有 2 = 0 (在V内） ① S为φ的等值面 或 ②

10. 1.7 赫姆霍兹定理 对矢量函数 应用格林第一公式，并考虑到在V 内有 2= 0， 根据条件① ，可得

11. 由于 的非负性， 意味着 = 0， 即 S面上φ相等 故同样得到 对于条件② ，因

12. 引入 和 ， 分别满足 和 因此，一般矢量场可用 和 表示为 1.7 赫姆霍兹定理 （2）分解定理：任意一个满足唯一性定理的一般矢量F(r) ，可以分解为无旋的Fi(r) 和无散或管形的 Fs(r) 两个部分，即 F(r) = Fi(r) + Fs(r) 设矢量场F(r)的旋度和散度分别为 和 可得

13. 电荷密度 电流密度J 场域边界条件 矢量F的通量源密度 矢量F的旋度源密度 场域边界条件 （矢量F 唯一地确定） 在电磁场中 1.7 赫姆霍兹定理 已知