第三节可测集类

第三章测度理论 第三节可测集类

注：零集、区间、开集、闭集、 型集（可数个开集的交）、型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。例区间是可测集，且注：开集、闭集既是型集也是型集；有理数集是型集，但不是型集；无理数集是型集，但不是型集。有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余型集与型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）一可测集的实例证明见书本p66

二. 可测集与开集、闭集的关系 定理：即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。

取F=G c，则F为闭集 证明：若(1)已证明，由Ec可测可知

从而（这里用到mE<+∞ ） 证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知

(2)当mE=+∞时， 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：对每个Ei应用上述结果

证明：对任意的1/n， 例

开集： 闭集：空集开集: (0,1) 闭集：例：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集。例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小测度集的开集和闭集。

(1).若E可测，则存在型集 O, 使 可测集可由型集去掉一零集，或型集添上一零集得到。 (2).若E可测，则存在型集H, 使三. 可测集与集和集的关系定理：

(1).若E可测，则存在型集 O, 使 (2).若E可测，则存在型集H, 使取H=O c，则H为型集，且证明：若(1)已证明，由Ec可测可知

(1).若E可测，则存在型集 O, 使 证明：对任意的1/n，

设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一零测度集的型集或型集。例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零测度集的型集或型集。例：注：上面的交与并不可交换次序

类似可证： 证明:由外测度定义知

第四节不可测集 • 存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73 ; 1970，R.Solovay证明不可测集存在蕴涵选择公理） • 存在不是Borel集的可测集（利用Cantor函数和不可测集构造）参见：《实变函数》周民强 , p87

第三节 可测集类