Computing communities in large networks using random walks

1. Computing communities in largenetworks using random walks Détection de communautés dans les réseauxd’interactions basé sur les marches aléatoires 20th International Symposium on Computer and Information Sciences, Istanbul, Turquie, 2005auteurs : Pascal Pons Mathieu Latapy CUI - 2006

2. Contenue de la présentation • Introduction (communautés) • Définition (communautés) • Les algorithmes et leurs défauts (détection de communautés) • Les marches aléatoires dans un graphe • Exemple • Propriétés générales • La distance • Entre sommets • Entre communautés • Walktrap • Conclusion CUI - 2006

3. Introduction – 1 Les grands réseaux d'interactions jouent un rôle essentiel dans de nombreux contextes : • en sciences sociales (réseau de connaissance, réseau de collaboration professionnelle, réseau des appels téléphoniques) • en biologie (réseau d'interactions protéique, réseau trophique) • en informatique (graphe du Web, réseau physique de l'Internet, réseau d'échanges pair à pair), • en linguistique (graphe de synonymie, graphe de co-occurrence d'un mot) • ... CUI - 2006

4. Introduction – 2 Ces réseaux peuvent être modélisés par des graphes dont les sommets représentent les acteurs du phénomène et les liens représentent les interactions entre eux. Toutes ces réseaux présenté sous forme des graphes en pratique ont des propriétés statistiques non triviales comme : • Une distance moyenne entre sommets qui est faible. tout le monde est proche de tout le monde ; • Globalement peu denses mais localement denses, les sommets sont fortement connectés entre eux mais faiblement connectés vers l'extérieur ; • Leur distribution de degrés suit une loi de puissance,Cette propriété traduit une forte hétérogénéité entre les sommets : alors que la plupart ont un très faible degré, un nombre faible mais non négligeable d'entre eux ont un très fort degré. Ces propriétés statistiques n'ont pratiquement jamais été prises en compte pour l'évaluation des performances des algorithmes de graphes CUI - 2006

5. Définition – 1 • La définition d’une communauté est difficile. • Toutes les définitions données sont restrictive • Elles ne prêtent pas à des algorithmes efficaces de détection de communautés. Communauté Un ensemble de sommets dont la densité de connexions internes est plus forte que la densité de connexions vers l'extérieur. CUI - 2006

6. Définition – 2 Communauté Un ensemble de sommets dont la densité de connexions internes est plus forte que la densité de connexions vers l'extérieur. But est alors de • trouver une partition C =C1,C2,…Ckdes sommets en communautés vérifiant cette définition (sans savoir a priori le nombre de elles communautés) • minimiser k • maximiser le score Q(la qualité de partition) définie pour chaque Ci. CUI - 2006

7. Les approches et défauts • Beaucoup d’algorithmes existent pour détecter les communautés dans un graphe. • Première approche : Ils construit le graphe en plusieurs communautés en retirant progressivement les arêtes reliant deux communautés distinctes. • Deuxième approche :Ils regroupent les sommets itérativement en communautés. • Ces algorithmes ont besoin comme paramètres : • Le nombre de communautés cherchés. • Les tailles de ces communautés. • Algorithmes le plus récentes: • L'algorithme de Girvan et Newman • L'algorithme de Radicchi • L'algorithme de Fortunato • L'algorithme de Newman • La méthode de bissection spectrale • La méthode de Kernighan et Lin CUI - 2006

8. Notation G = (V,E) : un graphe non orienté n = |V| : nombre de sommets m = |E| : nombre d’arêtes. Aij : la matrice d’adjacence Pi j : la probabilité transition du sommet i au sommet j d(i) : le degré du sommet i. P : la matrice de transition de la chaîne de Markov D : la matrice diagonale des degrés des sommets : la probabilité d'aller du sommet i au sommet j en tétapes : la distribution de la probabilité au temps t CUI - 2006

9. Marches aleatoires dans un graphe Definitions • Le temps est discrétisé donc t = (0,1,2, . . .) • A chaque t, un marcheur localisé sur un sommet se déplace à l’instant suivant vers un sommet choisi aléatoirement et uniformément parmi les sommets voisins. • La suite des sommets visités est alors une marche aléatoire, et la probabilité de transition du sommet i au sommet j est à chaque étape : Ai j A est la matrice d’adjacence du graphe Pi j = -------- d(i) d(i) le degré du sommet i. Ceci définit la matrice de transition P de la chaîne de Markov correspondante. • Nous pouvons aussi écrire en introduisant la matrice diagonale des degrés des sommets • Nous noterons la probabilité d’aller du sommet i au sommet j en t étapes. CUI - 2006

10. Marches aleatoires dans un graphe exemple -1 • :la distribution de la probabilité au t CUI - 2006

11. Marches aleatoires dans un graphe exemple -2 • :la distribution de la probabilité au t CUI - 2006

12. Marches aleatoires dans un graphe exemple - 3 • :la distribution de la probabilité au t CUI - 2006

13. Marches aleatoires dans un graphe exemple - 4 CUI - 2006

14. Marches aleatoires dans un graphe exemple - 5 CUI - 2006

15. Marches aleatoires dans un graphe exemple -6 CUI - 2006

16. Marches aleatoires dans un grapheProprietes Generales • P1 - Lors d'une marche aléatoire suffisamment longue dans un graphe, la probabilité de se trouver sur un sommet donné est directement (et uniquement) proportionnelle au degré de ce sommet. • P2 - La probabilité d'aller de i à j et celle d'aller de j à i par une marche aléatoire de longueur fixée ont un rapport de proportionnalité qui ne dépend que des degrés des sommets de départ et d'arrivée. CUI - 2006

17. Marches aleatoires dans un grapheDistance « r » entre sommets - 1 La façon de comparer deux sommets i et j doit s'appuyer sur les constatations suivantes : • Si deux sommets iet jsont dans une même communauté, la probabilité certainement élevée. Par contre si est élevée il n'est pas toujours garanti que iet jsoient dans la même communauté. • La probabilité est influencée par le degré d(j) du sommet d'arrivé : les marches aléatoires ont plus de chances de passer par les sommets de fort degré (dans le cas limite d'une marche aléatoire infinie, cette probabilité est proportionnelle au degré. • Les sommets d'une même communauté ont tendance à voir les sommets éloignes de la même façon, ainsi si i et j sont dans la même communauté et k dans une autre communauté il y a de fortes chances que CUI - 2006

18. Marches aleatoires dans un grapheDistance « r » entre sommets - 2 • Afin de pouvoir grouper les sommets du graphe par communautés, nous allons introduire une distance entre sommets. • La distance entre deux sommets d'une même communauté doit être beaucoup plus faible que la distance entre deux sommets appartenant à deux communautés distinctes. sont les lignes i et j de la matrice P CUI - 2006

19. Marches aleatoires dans un grapheDistance « r » entre communautes • On définit une marche aléatoire partant de C • La distribution initiale • po(i) = 1/|C| si i appartient à C • po(i) = 0 sinon • Pour tout sommet j ; la probabilité d’atteindre j en partant de la communauté C en t étapes se définit par : CUI - 2006

20. Marches aleatoires dans un graphe Choix de la longueur t t est le paramètre essentiel • t est très grand, tendent vers la même probabilité. Donc impossible de distinguer deux sommets car la distance rij tend vers 0. • t est très petit, les marches aléatoires ne fournissent aucune information sur le voisinage des sommets • t dépend de la taille des communautés à détecter. • t = 0, n minuscules communautés • t = 1, une seule communauté CUI - 2006

21. WALKTRAP – 1 Description de l'algorithme • r entre sommet ou communautés nous donne une idée sur niveau de la structure du graphe. Le but est de construire une structure de communautés en respectant cette distance calculée. • On commence par une partition n communautés contenant un seul sommet. • Évoluer cette partition jusqu’à obtenir une seule communauté correspondant au graphe entier. • Choisir deux communautés C1 et C2 à fusionner en fonction de leurs distances. • Fusionner ces communautés en C3 = C1 U C2 • Mise à jour les distances entre communautés • Calculer et mémoriser un paramètre de qualité Q pour cette partition . • On effectue n-1 étapes et on obtient Pn = {V}. Chaque étape nous donne une partition P1,P2,…Pn • Choisir la meilleur d’entre P1,P2,…Pn selon le paramètre de qualité calculé à chaque étape.(maximiser Q) CUI - 2006

22. WALKTRAP – 2 Choix du fusion et mise a jour • A chaque étape de WALKTRAP, il faut choisir deux communautés Ci et Cj à fusionner. • But est d’éviter d’avoir des sommets trop éloignées dans une même communauté. • L’heuristique est : • La fusion s’effectue entre deux communautés ssi ils ont au moins une arrête entre elles. • On cherche à minimiser la moyenne de la distance au carre de chaque sommet à sa communauté. • Il faut connaître après chaque étape, les variations de la mioyenneau carré de chaque sommet après chaque fusion possibles de communautés. • La variation lors d’une fusion C1 et C2 peut être calculé en une nouvelle communauté C1UC2 CUI - 2006

23. WALKTRAP – 3La qualite d’une partition « Q » • Une partition C, on définit la fraction eij d’arêtes du graphe joignant deux communautés i à j • On note ai est la fraction d’arêtes ayant une extrémité dans la communauté i • La modularité Q est définit par : • Donc le resultat est la partition C est la meilleur s’il maximise Q. CUI - 2006

24. WALKTRAP – 4 Exemple t = 3 • Structure de communautés trouvé • Q calculée après chaque fusion. Chaque nœud représente la fusion de deux communautés CUI - 2006

25. WALKTRAP – 5 Evaluation experimentale • Génération des graphes test • Construire des graphes n sommets possédant c ≥1 communautés. • Générer une graphe de telle manière que • Zin (degré interne) et Zout (degré externe) donné • Création de n sommets sans arêtes. • Attribuer chaque sommet à une communauté de sorte à créer ccommunautés de tailles égales. • Une arête reliant deux sommets d’une même communauté existera avec une probabilité • Une arête reliant deux sommets de deux communautés existera avec une probabilité • But : L’algorithme trouve c communautés CUI - 2006

26. WALKTRAP – 6 Influence de la densite zin et zout CUI - 2006

27. WALKTRAP – 7 Influence de la longueur t Pourcentage de sommets correctement identifiés dans des graphes 64,128 et 256 sommets possédant 4 communautés avec zin =9 et zout = 7 CUI - 2006

28. WALKTRAP – 8 Tests et comparaisons CUI - 2006

29. WALKTRAP – 9 Complexite • Le calcul initial des probabilités se fait pour tous les sommets en O(tmn) • Après chaque fusion le calcul de la probabilité de la nouvelle partition se fait en O(n). • Deux étapes pour n-1 étapes, en temps total O(n2) • chaque fusion, il faut recalculer les distances entre la nouvelle communauté crée et chacune de ses communautés voisines en temps O(n). • Théorème :Le nombre total de calculs de distances effectue lors des fusion est au plus 2Hm oú H est la hauteur de la structure arborescente des communautés trouvées par l’algorithme. H est la taille de dendrogramme. La complexité totale de l’algorithme est donc O(mnH) O(mn2) dans le pire cas CUI - 2006

30. Conclusion • Le choix de la longueur des marches aléatoires à utiliser est problème qui n’est pas résolu à ce jour. • Les communautés détectés par l’algorithme sont forcement disjointes. Il se peut que un sommet appartienne à plusieurs communautés • D’ailleurs il existe aucune algorithme qui détecte les communautés qui se chevauchent. • Les structures de communautés de graphes de tailles allant jusqu’à 100 000 sommets CUI - 2006

31. Merci de votre attention CUI - 2006