Урок за темою: “Відношення площ подібних многокутників ”

1. Урок за темою: “Відношення площ подібних многокутників” проведений у 9 класі вчителем математики Задорожною Світланою Миколаївною Гімназія № 3 м. Дніпропетровськ

2. Мета уроку: • Ознайомити учнів з відношенням подібних многокутників, основними прийомами розв’язування задач на відношення подібних фігур. • Вміти застосовувати набуті знання при розв’язанні задач різного рівня складності. • Розвивати логічне мислення та уміння аналізувати, виділяти головне, узагальнювати набуті знання, визначати та пояснювати поняття, ставити та розв’язувати проблеми. • Виховувати культуру математичної мови та алгоритмічного письма, гуманні відносини між учнями на уроці.

3. Актуалізація опорних знань учнів Питання: • Які трикутники називаються подібними? 2) Які многокутники називаються подібними? 3) Які ознаки подібності ви знаєте? 4) Які формули для обчислення площ трикутників ви знаєте?

4. Дивовижні створіння ці мурахи! Людина не може, наприклад, піднятися сходами, тримаючи на собі піаніно!!! Звідки у мурахи береться сила, щоб тягти вантаж у десять раз важче його самого? Виходить, що мураха відносно сильніше за людину!

5. Припустимо, що в країні ліліпутів всі люди, будівлі, витвори природи в 12раз менше, ніж нормальні виміри, а в країні велитнів– у стільки ж раз більше. Тоді спробуємо відповісти на питання: В скільки раз Гуліверупотрібно більше тканини на костюм, ніж ліліпутам?

6. Щоб дати відповідь на поставлені питання, треба з’ясувати, як відносяться площі подібних многокутників? Розглянемо спочатку подібні трикутники. Нехай трикутники АВС і КЕМ – подібні. Тоді АС:КМ= АВ:КЕ = ВС:ЕМ = k. В А С Е К М Розглянемо відношення площ цих трикутників.

7. Завдання класу: заповніть пропуски у доведенні. А так як . , то

8. А2 А3 В2 В3 А4 В4 А1 В1 Вn Аn Тепер розглянемо подібні многокутники з коефіцієнтом подібності k.

9. А2 А3 В2 В3 А4 В4 А1 В1 Вn Аn З двох відповідних вершин А1 і В1проведемо діагоналі. Вони розбивають дані многокутники на відповідно подібні трикутники: з коефіцієнтом подібності k.

10. Тому маємо: Отже, . Звідки Отже, ми довели теорему: „Відношення площ подібних многокутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності”.

11. Розв’язання задач за готовим рисунком:

12. В C B s1 3 1 2 S1 O К М 2 s2 S2 С А A D S1і S2 – подібні многокутники. S1 = 45 cм, а1 =10см, а2 =15см. Знайти S2 -? S1і S2 – подібні многокутники. S1 = q, Знайти S2 -?

13. Робота в групах

14. Задача № 1 (4 – 6 балів) Периметри подібних многокутників відносяться як 5:7, а різниця площ дорівнює 864. Знайдіть площі многокутників.

15. Розв’язання задачі № 1: Нехай S – площа меншого многокутника, тоді S + 864 – площа більшого многокутника. Маємо пропорцію: 24 S = 21600, S = 900. Тоді S + 864 = 1764. Відповідь: 1764.

16. Задача № 2 ( 7 – 9 балів) Висота, що проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, ділить його на два трикутники, площі яких 6см та 54см. Знайдіть гіпотенузу.

17. Розв’язання задачі № 2: У трикутниках АСН та ВСН, кут САН дорівнює куту НСВ, тому трикутники АСН та ВСН – подібні за двома кутами. З подібності трикутників слідує, що Отже, нехай х – коефіцієнт пропорційності, тоді АС = 3х см, ВС = х см, а за теоремою Піфагора: АВ = х 1,5 х2 = 60, х2 = 40, АВ = 20см. Відповідь: 20 см.

18. Задача № 3 ( 10 – 12 балів) Через точку М, що розташована усередині трикутника АВС, проведені прямі, паралельні сторонам трикутника. Вони розбивають трикутник на шість частин, три з яких – трикутники. Площі цих трикутників відомі – S1, S2, S3 . Обчислити площу S даного трикутника.

19. A M S1 S3 P S2 B C L N Розв’язання задачі № 3: Кожен з трикутників подібний даному за двома кутами. PBLM – паралелограм, тому PM = BL. З подібності випливає, що . Аналогічно, Добуваючи з обох частин всіх трьох рівностей квадратні корені та додаючи отримані рівності, отримаємо: Такяк BL + LN + NC = BC, то отримаємо:

20. Тепер ми можемо отримати відповідь на ключове питання з початку уроку. Дамо відповідь на перше питання:

21. Уявимо собі, що пропорції людини в 100 раз більше, ніж пропорції мурахи. Тоді у людини об’єм і вага всього тіла, а також кожного з його органів буде в 100 000 000 раз більше. Всі ж відповідні площинні виміри, в тому числі і поперечний переріз м’язів, лише в 100 000 раз більше. Тобто, людина стала відносно в 100 раз слабше…

22. Дамо відповідь на друге питання: Поверхня тіла Гуллівера більше, ніж у ліліпута в 12 * 12 = 144 раза Отже, в 144 рази більше тканини потрібно Гулліверу, ніж ліліпуту.

23. Підсумки уроку Що нового ви узнали сьогодні на уроці? З яким утрудненням виведена теорема допомогла справитися? Чому ми училися на уроці?