一、对应与变换

2. 第0章 几何变换概论 定义0.6. 设f为集合A到B的一个对应, g为集合B到C的一个对应. 则由此可确定集合A到C的一个对应h, 称h为f 与g的乘积. 记作g◦f , 即 一、对应与变换 1. 集合之间的对应(关系、映射) 2. 对应的乘积(复合) 定理0.2. (1). 两个双射的乘积仍然是一个双射, 进而, 任意有限个双射的乘积仍然是一个双射. (2). 对应的乘法满足结合律, 即h◦g◦f =h◦(g◦f )=(h◦g)◦f. 注：对应的乘法一般不满足交换律, 即一般地, g◦f≠f◦g.

3. 第0章 几何变换概论 一、对应与变换 3. 变换 定义0.7. 集合A到自身的对应f称为变换, 若f是双射, 则称f为集合A上的一个一一变换. 注. (1). 变换是特殊的对应. (2). 设在A上定义了一个变换f , 则A的任一个元素a都具有双重身份, 即a既是A中某个元素在f下的像, 也是A中某个元素在f下的原像, 因为f -1也是A上的一个变换. (3). 集合A上的变换f 与自身的乘积f◦f也记作f2. 定义0.8. 若集合A上的一个变换将A的每一个元素变为其自身, 则称之为集合A上的一个恒同变换, 恒同变换记作i.

4. 第0章 几何变换概论 一、对应与变换 2. 对应的乘积(复合) 3. 变换 定理0.3. 设f 为集合A上的一个双射. 则 定义0.9. 设f 为集合A上的一个双射. 若存在a∈A, 满足f(a)=a, 则称a为f的一个不变元素. 设P为集合A中的元素或子集所带有的某种性质(或数量), 若变换f能够保持P不变, 则称P为变换f的一个不变性质(或数量), f的不变性质和数量统称为f的不变性. 归纳：高等几何将用几何变换的观点讨论问题, 主要是研究几何空间中的图形在某种双射(一一变换)下的不变性. 类似于代数中对同构的讨论.

5. 第0章 几何变换概论 一、对应与变换 二、正交变换 坐标系运动而点和图形不动 平面上的点、图形均不改变其位置, 但是随着坐标系的变动而取得不同的坐标或得到不同的描述. 解几中的坐标变换 改变观点 在平面上点的集合上给定某种双射(一一变换)f , 研究点以及由点构成的图形与他们在f下的像之间的关系. 平面上的点变换 点和图形运动而坐标系不动

6. 第0章 几何变换概论 二、正交变换 1. 正交变换 定义0.10. 保持平面上任意两点间的距离不变的点变换称为平面上的一个正交变换. 注：设φ为平面上的一个正交变换, A, B为平面上两个点, 且 φ(A)=A', φ(B)=B', 则|AB|=|A'B'|. 定理0.4 (1). 两个正交变换的积是一个正交变换, 从而任意有限个正交变换的积是一个正交变换. (2). 平面上的恒同变换是一个正交变换. 证明 由定义0.10, 显然.

7. 第0章 几何变换概论 二、正交变换 1. 正交变换 定理0.5 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变. 证明 设A, B, C为平面上三点, φ为正交变换, 且上述三点在φ下的像依次为A', B', C'. 若A, B, C共线且B在A, C之间, 则有|AB|+|BC|=|AC|. 由正交变换的定义有 即A', B', C'仍然为共线三点且B'在A', C'之间. 若A, B, C不共线, 则必有 即A', B', C'仍然为不共线三点.

8. 第0章 几何变换概论 二、正交变换 1. 正交变换 定理0.5 正交变换使平面上共线三点变成共线三点; 不共线三点变成不共线三点, 而且保持两直线的夹角不变. 证明 设A, B, C为平面上三点, φ为正交变换, 且上述三点在φ下的像依次为A', B', C'. 设A, C分别在∠B两边上且异于B, 则A', B'分别在∠B'的两边上. 且|AB|=|A'B'|, |BC|=|B'C'|, |AC|=|A'C'|. 即ΔABC≌ΔA'B'C', 于是, ∠B =∠B', 即正交变换保持两直线的夹角不变. 注：(1). 正交变换使得一个三角形变为与其全等的三角形. 进而, 正交变换使得任何封闭图形变为与其全等的封闭图形, 使得任何平面图形变为可以与其重合的图形. (2). 正交变换使得平行直线变为平行直线, 矩形变为与之全等的矩形.

9. 第0章 几何变换概论 二、正交变换 1. 正交变换 定理0.6 正交变换使平面上的直角坐标系变为直角坐标系. 证明 由定义和定理0.5, 显然正交变换φ将平面上的一个直角坐标系O-exey变为另一个直角坐标系O'-e'xe'y.但是有下述可能 右手系→右手系 右手系→左手系

10. 第0章 几何变换概论 二、正交变换 1. 正交变换 定理0.7 对于平面上的一个取定的直角坐标系, 点变换φ是正交变换 φ具有表达式 其中(x, y)与(x', y')为φ的任一对对应点P, P'的坐标, 矩阵 证明 可据定理0.6利用向量法证明, 略. 注1：对于正交变换φ的矩阵A, 显然有A-1=A', 且|A|=1或|A|=-1. 当|A|=1时, φ将右手系变为右手系, 称φ为第一类正交变换； 当|A|=-1时, φ将右手系变为左手系, 称φ为第二类正交变换.

11. 第0章 几何变换概论 二、正交变换 1. 正交变换 注2：正交变换(0.1)在形式上与平面解析几何中的直角坐标变换式完全相同. 从相对运动的观点看, 坐标变换也是正交变换

12. 第0章 几何变换概论 二、正交变换 2. 正交变换实例 (1). 平移变换 定义0.11. 将平面上的每个点都向着同一个方向移动相同的距离的变换称为平面上的一个平移变换, 简称平移. 定理0.8 设在平面上取定了一个直角坐标系O-exey, 并给定一个向量c(c1,c2). 则由此可惟一确定平面上的一个平移φ, 其直角坐标表示为 其中(x,y)与(x',y')为平面上任一点P与其在φ下的像点P'的坐标. 注：显然, 平移是正交变换.

13. 第0章 几何变换概论 二、正交变换 (1). 平移变换 (2). 旋转变换 定义0.12. 将平面上的每个点都绕着同一个点旋转相同的角度的变换称为平面上的一个旋转变换, 简称旋转. 定理0.9. 设旋转φ使得平面上的每个点都绕着坐标原点旋转角度θ, 则φ的直角坐标表示为 证明 设|OP|=|OP'|=r. 则 利用三角恒等式展开, 可得

14. 第0章 几何变换概论 二、正交变换 (1). 平移变换 (2). 旋转变换 注：显然, 旋转变换是正交变换. 定理0.10 平面上的一个平移与一个旋转的乘积是一个第一类正交变换. 进而, 平面上有限多个平移与旋转的乘积是一个第一类正交变换. 第一类正交变换称为平面上的刚体运动. (3). 轴反射变换 如右图, 怎样的变换可以使得 ABC重合于 A'B'C' ? 仅平移或旋转是不可能的.

15. 第0章 几何变换概论 二、正交变换 (1). 平移变换 (2). 旋转变换 (3). 轴反射变换 定义0.13. 设l为平面上取定的一条直线. 将平面上的每个点都变为关于l的对称点的变换称为平面上的一个轴反射变换, 简称轴反射, 直线l称为反射轴. 特别地, 关于x轴的轴反射为 关于y轴的轴反射为 注1：显然, 轴反射是一个第二类正交变换. 注2：应用轴反射(0.4)于上述平面, 即可将三角形ABC变为三角形A'B'C'.

16. 第0章 几何变换概论 二、正交变换 (1). 平移变换 (2). 旋转变换 (3). 轴反射变换 定理0.11 平面上的一个轴反射与一个第一类正交变换的乘积是一个第二类正交变换. 定理0.12 正交变换的逆变换仍然是一个正交变换. 定理0.13 设M表示平面上全体正交变换的集合. 综上, 有 上述性质使得M对于变换的乘法构成一个群, 叫做正交变换群. 注：以几何变换的观点看待欧氏几何. 欧氏几何就是研究在正交变换群M的作用下保持不变的几何量和几何性质, 即所有与距离有关的几何量和几何性质.

17. 第0章 几何变换概论 三、仿射变换 1. 透视仿射变换 定义0.14. 对于空间中两平面π,π', 给定一个与两平面不平行的投射方向, 则确定了π到π'的一个透视仿射对应(平行投影). π上任一点P在π'上的像即为过P且平行于投射方向的直线与π'的交点P'. 注1：透视仿射对应是两平面的点集之间的一个双射. 透视仿射对应使共线点变为共线点, 不共线点变为不共线点, 平行直线变为平行直线； 透视仿射对应保持同一直线上两线段的比值不变, 从而保持两平行线段的比值不变, 但是不能保持距离不变. 注2：两平面交线称为透视仿射的轴. 若π//π'则没有轴.

18. 第0章 几何变换概论 今 天 作 业 温习课堂内容, 阅读思考题 The class is over. Goodbye! 课件作者：南京师大数科院周兴和