第四节作用在液体上的力

第2讲 表面力按力作用方式两大类质量力 1.表面力：作用在液体表面上的力，随着受力表面面积的增大而增大。第四节作用在液体上的力直于作用面的压力表面力只可能两种形式平行于作用面的切向力单位面积上的压力称为压应力（或压强）国际单位均为Pa或kPa和MPa 单位面积上的切向力称为切应力

水力学中常出现的质量力有重力和惯性力。 2.质量力：作用在液体每个质点上的力，其大小与液体的质量成正比。在均质液体中，质量力又与液体体积成正比，故又称为体积力常用单位质量力表示在相应的三个空间坐标轴上的分量为单位质量力的单位与加速度单位相同，即m/s2

第2章水静力学 任务：研究处于静止和相对平衡状态下液体内部压强的分布规律以及利用这些规律解决液体中某一作用点的压强和某一作用面的压力计算问题。在不需要加以区分时，常将处于静止和相对平衡状态的液体统称为平衡液体。第一节平衡液体的应力特性静水压强：平衡液体作用在与之接触的表面上的压强应力特征1：平衡液体只能承受方向与作用面内法线方向一致的压应力，即静水压强；

应力特征2：平衡液体内部某一点处应力的大小，即静水压强的大小与受压面的方位无关。或者说平衡液体中在同一点处各个方向上的静水压强大小都相等。表明：在计算平衡液体中任一点静水压强的大小时，可以不考虑静水压强的方向，它只是位置坐标的函数，即 p = p(x，y，z) 第二节液体平衡微分方程一、液体平衡微分方程的建立在平衡液体中任选一点，以为中心分割出一微小正六面隔离体，其各边长分别为dx 、dy 、dz，并与相应的直角坐标轴平行，如图。

分析六面体沿x轴方向的受力情况。 1.表面力：设作用在O'点的静水压强为p,它是位置坐标的连续函数,即p=p(x,y,z).根据泰勒级数将p沿x轴方向展开，并略去级数中二阶以上的各项微量，可得沿x轴方向作用于abcd面形心点M和a'b'c'd'面形心点N的压强分别为和

所以，作用于abcd和a'b'c'd'两微小面上的表面力分别为 将上式各项同除以dxdydz并整理得和 2. 质量力：设作用在六面体上的单位质量力沿x、y、z三轴方向的分量分别为fx、fy、fz,则六面体上的质量力沿x轴方向的分量为 dxdydz fx 根据液体平衡条件，六面体所受到的合外力沿x轴方向分量应为零，即

同理称为液体平衡微分方程，欧拉于1775年首先推出，又称为欧拉平衡微分方程物理意义：平衡液体中各点单位质量液体所受到的表面力与质量力相平衡。将上述方程组中各式依次乘以dx、dy和dz，并相加得上式左边是连续函数的全微分dp，从而得到液体平衡微分方程的全微分形式为

二、等压面 在液体中，由压强相等的点组成的面称为等压面在等压面上各点的压强都相等，即p=常数，故由上式可得平衡液体的等压面方程为 fxdx + fydy + fzdz = 0 等压面的重要特性是：等压面与质量力正交。

第三节重力作用下液体的平衡 在工程实际中，常常见到液体处于与地面间无相对运动的静止状态，这时液体所受到的质量力仅为重力。属于这种情况的还有相对地面作匀速直线运动的平衡液体。下面以静止液体为例进行讨论。一、水静力学基本方程设静止液体如图所示，液体所受到的质量力只有重力，即单位质量力在各坐标轴方向上的分量为

该式就是水静力学基本方程。式中的 z 与 都具有长度量纲在水力学中，习惯将 z 称为计算点的位置水头，称为计算点的压强水头。代入欧拉方程得或对于同种液体为常数，所以在液体中对上式积分可得将自由表面的 z=z0，p=p0代入上式可得积分常数

如图,液面下任一点 A处的水深 h= z0-z将 代入，注意 h= z0-z 整理得该式为水静力学基本方程的另一种形式。它是计算重力作用下的平衡液体中任一点静水压强的基本公式。水静力学基本方程讨论：在质量力仅为重力作用的同种相互连通的平衡液体中，它们可以反映以下规律：

（1）液体中任一点的位置水头z和压强水头p/g之和都相等，或者说静水压强随水深呈线性规律变化。 （2）液体中任一点的静水压强都等于液面压强与从该点到液面的单位面积上液体的重量gh之和，且液面压强的任何变化量，都会等值地传到液体中的各点。（3）液体中的等压面为一系列位置水头z或水深h等于常数的等深水平面。必须强调，如果平衡液体的质量力仅为重力、同种、相互连通的三个条件不能同时满足，一般就不能直接应用上述规律。

例如

【解】先求 【例11】密度为和的两种液体，盛装在如图所示的容器中，各液面深度如图，两端自由液面压强均为p0。若为已知，求及容器底部A点的压强pA。根据同种相互连通的静止液体中等压面为水平面的规律可知，沿两种液体的分界面所作的11-22水平面为等压面，故由水静力学方程得

由于已为已知量，故求pA既可从连通器的左端进行，也可从连通器的右端进行再求pA 由水静力学基本方程得

二、压强的表示方法和量度单位 （一）绝对压强、相对压强和真空压强压强通常采用两种计算基准和三种方法表示。 1绝对压强以没有气体分子存在的绝对真空状态为零点起算的压强称为绝对压强，以 p' 表示如图（a）、（b）中点A和点B的绝对压强分别为

2相对压强 以当地大气压为零点起算的压强称为相对压强，以p表示。当地大气压通常以pa表示，则相对压强与绝对压强的关系为对于液面与大气相通的敞口静止液体，若采用相对压强计算时，上式中的p0=0，则这就是敞口的静止液体中任一点相对压强的计算公式。上图（a）、（b）中，点A和点B的相对压强分别为和

工程中采用测压表（计）测得的压强一般都是相对压强，故相对压强又常称为表压。由于大气压在地球表面处处都存在，所以实用中通常所说的压强均指相对压强。 3真空状态及真空压强（真空度）当某点的绝对压强 p'小于当地大气压pa，或其相对压强p<0时，则称该点处于真空状态或负压状态。真空状态的真空程度用当地大气压pa与该点的绝对压强 p'的差值来衡量，这一差值称为真空压强，以pv表示。真空压强与绝对压强、相对压强的关系为

上图（b）中，若点B的绝对压强 最大真空压强问题：由式可知，真空压强pv愈大，绝对压强 p' 就愈小。理论上，最大的真空压强发生在绝对压强为零的状态，这时，这种状态称为绝对真空状态。则液体所能达到的最大真空压强为当地大气压强与相应液体温度下的汽化压强之差。

小结： 1.平衡液体的应力特性 2.液体平衡微分方程 3.水静力学基本方程 4.压强的表示方法和量度单位作业2：

第四节 作用在液体上的力