数学建模概论

1. 数学建模概论 浙江大学数学建模实践基地

2. §1.1数学模型与数学建模 • 数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 • 数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。

3. 开普勒三大定律 1.行星轨道是一 个椭圆，太 太阳位于此椭圆的一个焦 点上。 2.行星在单位时间内 扫过的 面积不变。 3.行星运行周期的平方正比 于椭圆长半轴的三次方 ， 比例系数不随行星而 改变 （绝对常数） 这其中必 定是某一 力学 规律 的反映，哼哼，我 要找出它。。。。 例（万有引力定律的发现 ） • 十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 • 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。 • 第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时间的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。 • 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。

4. 常数 行星 r 太阳 常数 简单推导如下： 如图，有椭圆方程 : 矢径所扫过的面 积A的微分为: 由开普勒第二定 律: 立即得出: 即: 椭圆面积 由此得出

5. 由于 我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是： 进而有 加速度 以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是 因此得出

6. 再将椭圆方程 两边微分两次，得 和焦参数 将前面得到的结果 代入，即得 也就是说行星的加速度为 由开普勒第三定律知 为常数。若记 那么就导出著名的 万有引力定律：

7. §1.2数学建模的一般步骤 实体信息(数据) 建模 求解 应用 假设 验证 在难以得出解析解时，也应当借助 计算机 求出数值解。 • 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 • 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 • 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即建立数学模型。 • 4.模型求解。 • 5.模型的分析与检验。

8. §1.3数学模型的分 类

9. §1.4数学建模与能力的培养 仅最近几年里，我校学生都在只参加了半年左右的学习和实践后，就在国际性的竞赛（美国大学生数学建模竞赛）中交出了非常出色的研究论文，夺得了特等奖兼INFORMS奖2项（1999年、2003年各一项）、18项一等奖、10项二等奖的好成绩。 开设数学建模课的主要目的为了提高学 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 题的本领。 ①数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化能力。 ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 ③还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。

10. §1.5一些简单实例 换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？ 显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。 • 例1某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 • 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 • 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 • 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 • 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 • 间？ 似乎条件不够哦 。。 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？

11. 例2某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 （请自己据此给出严格证明） 分析本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。

12. 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来 （ 留作习题）。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到 （L+D）/v。 • 例3交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。 设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。 D L

13. 例4餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。例4餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。 不妨可以提出以下 简化假设： （1）水池、空气吸热不计，只考虑 盘子吸热，盘子的大小、材料相同 （2）盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同 （3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为 T2 （4）每个盘子的洗涤时间 △T是一个常数。（这一假设甚至可以去掉 不要） 盘子有大小吗 ?是什么样的盘子？盘子是怎样洗的 ? ……… 不妨假设我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后 一清洗。 不难看出，是水 的温度在决 定洗盘子的数量。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为 水不够热了。 那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子， 杀鸡 焉用牛刀？ 根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。 可见 ，假设条件 的提出不 仅和你 研的 问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识 、准备建立什么样的模型以及你准 备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。

14. 例5 将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。 (n－1) 由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n－1) Zn 故Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的总距离为 ， n Zn (n＋1) 设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。 故砖块向右可叠至 任意远，这一结果多少 有点出人意料。

15. 由于距离不同，设 A到C行驶31分钟，B到C要行驶 30分钟，考察一个时间长度 为10分钟的区间，例如，可以从 A方向来的车驶 离C站时开始，在其后的 9分钟内到达的乘客见到先来的车均为 B开往A的，仅有最 后1分钟到达的乘客才见到 由A来的车先到。由此可见，如果此人 到C站等车的时间是随机的，则他先遇 上B方向来的车的概率为 90%。 例6 某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、B两地间运行，每隔 10分钟A、B两地各发出一班车，此人常在离家最近的 C点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由 B去A的车，难道由 B去A的车次多些吗？请你帮助他找一下原因 AB发出车次显然是一样多的， 否则一处的车辆将会越积越多。

16. 例4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。

17. 方法一 点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 距离的平方成反比，即 黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离 。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为 a，则有

18. 方法二 A α a β C B 在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A点测得黑匣子方向后 ，到B点再测方向 ，AB距离为a，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得出 d = asinα/sin (α+β)。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而 α又较小时，α+β可能非常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。