,,Ne dirajte moje krugove!“ - ,, Noli turbare circulus meos ! “ ARHIMED

1. LOPTA ,,Ne dirajte moje krugove!“ - ,, Noli turbare circulus meos ! “ ARHIMED

2. GimnazijaPirot Lopta Maturski rad iz matematike Maj 2006

3. O kvadraturi kruga Stereometrija Broj π Lopta i delovi lopte Izracunajte V i P Lopta i poliedri Primena lopte u arhitekturi Lopta i obrtna tela Zadaci

4. Pocetak KVADRATURA KRUGA • Jedan od tri nerešiva problema Antike je kvadratura kruga: KONSTRUISATI KVADRAT ISTE POVRŠINE KAO KRUG! • Hiljadama godina problem zaokuplja pažnju matematičara. Tek u XX vekudokazana je nerešivostproblema geometrijskim sredstvima. • Danas je izraz kvadratura kruga metafora za besmisleno! • Ova oblast matematike nazvana je pseudomatematika, alekarska dijagnoza za obuzete problemom glasi morbusciclometricus! • Analogon krugu i kvadratu u prostoru su kocka i lopta. Njihovakombinacija česta je u arhitekturi:KOCKA I KUPOLA. • “KRUG I KVADRAT, TO SU ELEMENTARNA SLOVA ARHITEKTURE!” Ledu, arhitekt

5. Pocetak LUDOLFOV BROJ π πje ne samo IRACIONALAN, već i TRANSCEDENTAN broj! (nije rešenje nijedne algebarske jednačine). Zato je geometrijska konstrukcija brojaπ nemoguća! (Lindeman, 1882) TRANSCEDENTNOST BROJA πJE ODGOVORNO ZA NEREŠIVOST KVADRATURE KRUGA! • Vavilon i Biblija nalaze π=3 • U Egiptu 2000 g.p.n.e. Ahmes (Rindov papirus) daje:π=(16/9)²=3,16 • Arhimed 280 (god. p.n.e.)određuje granice broja πmetodom dvostranog iscrpljivanja tj. upisivanjemi opisivanjem mnogouglova u krug. Došavši do 96-ugla Arhimed daje granice broja π: 223/71 < π < 22/7 tj.π≈3,14 • Ludolf van Kalen (XIIv.) nalazi 35 decimala broja π ( Ludolfov broj π) U Muzeju otkrića u Parizu, može se očitatisedamstotina sedamdecimala broja π ispisanih po zidovima elipsaste palate! Rindov papirus

6. Pocetak STEREOMETRIJA • DoArhimeda (III vek p.n.e.) stare civilizacije površinu kruga određuju samo približno. • Arhimed (287-212 god. p.n.e.) iz Sirakuze najveći јеuniverzalni um starog veka, jedan od tri mudraca Antikepo Plutarhu. Studirao je u Aleksandriji, tadašnjem kulturnom centru sveta. • Formule vezane za krug, loptu (l), valjak (v), kupu (k) odredio je Arhimed: Vl=2/3VvVk=1/3VvVl=(Vv+Vk)/2 • Na Arhimedovom skromnom grobu u Sirakuzi nalaze se valjak i upisana lopta po njegovoj želji. • “Metod” je jedino sačuvano Arhimedovo delo, koje je inspirisalo najveće matematičke umove tokom stoleća. Arhimed

7. Pocetak Lopta i delovi lopte Lopta (sfera) je geometrijsko telo koje je potpuno oblo i ciji je poprecni presek kružnog oblika. Sve tacke na površini lopte nalaze se na jednakoj udaljenosti od centra lopte i ta udaljenost se naziva poluprecnik lopte i oznacava se slovom r. Grcki matematicar Arhimedes ustanovio je da je nepromenljiva velicina "pi" (B) cija je vrednost približno 3,14 posebno znacajna za izracunavanje površine i zapremine lopte.

8. Pocetak Obrasci za loptu i delove lopte

9. Pocetak Lopta i poliedri  Za poliedar ~ija sva temena pripadaju lopti ka`e se da je upisan u loptu,a za loptu da je opisana oko poliedra. Poliedar ~ije sve strane dodiruju loptu je opisan oko lopte,a lopta je u njega upisana.  Ako se u poliedar mo`e upisati lopta,njen centar se nalazi u ta~ki preseka simetralnih ravnisvih uglova diedra datog poliedra.  Da bi se u prizmu mogla upisati lopta potrebno je i dovoljno da se u njen normalni presek mo`e upisati krug ~iji je pre~nik jednak visini prizme.  Da bi se u piramidu mogla upisati lopta dovoljno je danagibni uglovi bo~nih strana prema osnovi piramide budu jednaki.  Ako se oko poliedra mo`e opisati lopta,tada njen centar le`i u ta~ki preseka simetralnih ravni svih ivica poliedra.  Da bi se oko piramide mogla opisati lopta potrebno je i dovoljno da se oko njene osnove mo`e opisati krug.

10. Pocetak Lopta i obrtna tela • Lopta je upisana u prav valjak ako osnove i sve izvodnice valjka dodiruju loptu. To je mogu}e ako je pre~nik osnove valjka jednak visini valjka. • Lopta je upisana u pravu kupu ako osnova i sve izvodnice kupe dodiruju loptu.To je uvek mogu}e. • Lopta je opisana oko valjka ako su osnove valjka preseci lopte. Oko svakog pravog valjka mo`e se opisati lopta. • Lopta je opisana oko kupe ako je osnova kupe presek lopte i ako vrh kupe pripada odgovaraju}oj sferi. Oko svake kupe mo`e se opisati lopta.

11. Pocetak ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA VEZANI ZA STEREOMETRIJU 1) U loptu je upisana kupa.Ako je prečnik osnove kupe jednak njenoj izvodnici, naći odnos zapremina lopte i kupe. 2) U pravoj kupi čiji je prečnik jednak izvodnici, upisana je lopta.Naći odnos njihovih zapremina. 3) Neka je ABCD tetraedar ivice a. Ako je K(O,R) opisana, a k(O,r) upisana sfera datog tetraedra, naći odnos R:r. 4) Na horizontalni sto postavljene su četiri lopte poluprečnika r=3√2, tako da svaka dodiruje dve susedne, a dodirne tačke sa stolom obrazuju kvadrat. Na ove četiri lopte postavljena je peta lopta istog poluprečnika, koja dodiruje četiri prethodne.Naći rastojanje centra pete lopte od stola i izračunati V piramide čija su temena centri ovih pet lopti.

12. Pocetak PRIMENA LOPTEU ARHITEKTURI “Na šta se sve arhitektura oslanja: na matematiku, sa njenim brojevima i njihovim zakonima(proporcije, razmere,tela, prodori), na prirodu i njene principe i oblike, na svet tehnika i mašina, na druge umetnosti, na činjenice kulture (mitovi, religije, jezik), sve do onog čuvenog Korbizjeovog paradoksa da je čovek geometrijska životinja!” Njutnov nadgrobni spomenik

13. Rene Dekart Isak Njutn Ptolomej Saturn Pjer Ferma Lajbnic