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椭圆的几何性质

椭圆的几何性质. 椭圆的定义 : 平面内到两定点 距离之和 (2a) 大于定长 (2c) 的 点的轨迹 .(2a>2c). 2 椭圆的标准方程. 由上式知. 所以. 探索新知. 通过研究 曲线的方程 , 可以知道 曲线的性质 . 下面我们就以椭圆的标准方程. 为例研究椭圆的几何性质. 问题 1 : 你能找出上述方程中 x 、 y 的取值范围吗 ?. 由. y. 即. o. x. 一、椭圆的范围. 说明：椭圆位于直线 X= ±a 和 y= ±b 所围成的矩形之中。. 想一想 ?.

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  1. 椭圆的几何性质

  2. 椭圆的定义:平面内到两定点距离之和(2a)大于定长(2c)的点的轨迹.(2a>2c)椭圆的定义:平面内到两定点距离之和(2a)大于定长(2c)的点的轨迹.(2a>2c) 2 椭圆的标准方程

  3. 由上式知 所以 探索新知 通过研究 曲线的方程,可以知道曲线的性质.下面我们就以椭圆的标准方程 为例研究椭圆的几何性质. 问题1: 你能找出上述方程中x、y的取值范围吗?

  4. 由 y 即 o x 一、椭圆的范围 说明：椭圆位于直线 X=±a和y=±b所围成的矩形之中。

  5. 想一想? • 问题2以-x代换x,以-y代换y,方程改变吗? • 同时以-x代换x,以-y代换y,方程改变吗? 问题3若点P(x,y)在椭圆上,点(-x,y)与椭圆有什么关系? 点(x,-y)与椭圆有什么关系? 点(-x,-y)与椭圆又有什么关系? ? 问题4这说明椭圆具备什么性质呢

  6. 椭圆是轴对称图象，也是中心对称图形。X轴和Y轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心。椭圆是轴对称图象，也是中心对称图形。X轴和Y轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心。 问题5你还有什么收获?

  7. 结论 通过上面的分析,我们得到判断曲线是否对称的方法: • 以-x代换x,若方程不变,则曲线关于y轴对称;若以-y代换y,方程不变,曲线关于x轴对称; • 同时以-x代换x,以-y代换y,方程不变,则方程关于坐标原点对称.

  8. 看一看 在下列方程所表示的曲线中,关于X轴和Y轴都对称的是( ) A.x2=4y B.x2+2xy+y=0 C.x2-4y2=5x D.9x2+y2=4 D

  9. y B2 O X A1 A2 B1 如图,设椭圆的方程为 同学们计算一 下椭圆与坐标轴的交点坐标. 你能行吗? 答案:A1(-a,0) A2(a,0) B1(0,-b)B2(0,b) 在椭圆的标准方程中,椭圆与坐标轴的交点 叫椭圆的顶点 线段A1A2叫做椭圆的长轴 线段B1B2叫做椭圆的短轴

  10. y 计算B2F2 F1 O X F2 B2 OF2 =C B2F2 =a A1 A2 OB2 =b B1 直角三角形OB2F2,它反应了椭圆三个基本量之间的关系,所以叫做椭圆的特征三角形.

  11. 问题 同学们看下面这些椭圆,它们的 扁圆程度不同,我们能否找一个量来描述它们呢?

  12. y o x 四、椭圆的离心率 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以1 >e >0 [2]离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小（？），椭圆就越扁（？） 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大（？），椭圆就越圆（？） 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆方程变为（？）

  13. 叫做椭圆的离心率. 因为 a > c > 0， 所以：e的取值范围: 0<e<1 １ 椭圆更扁 ０ 椭圆更圆 通过上面的研究,我们得到了椭圆的一些几何性质, 列一个表:

  14. -a x a -a y a b y x b -b -b ) ( 0<e<1 椭圆方程 椭圆的几何性质 范围 对称轴 x 轴 y轴 对称中心 坐标原点 对称轴 x 轴 y轴 对称中心 坐标原点 对称性 顶点 (±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0) 离心率

  15. y B1(0,b) o x A1 A2 B2(0,-b) 小结：基本元素 {1}基本量：a、b、c、e、（共四个量） {2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） {3}基本线：对称轴（共两条线） 请考虑：基本量之间、基本点之间、基本线之间以及它们相互之间的关系（位置、数量之间的关系）

  16. 把方程化为标准方程 所以a=5 ,b=4 C= 例题1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并画出它的图形. 解:

  17. Y O X 所以,焦点坐标为(-3,0),(3,0) 顶点坐标为(-5,0)(5,0)(0,4)(0,-4) 2a=10,2b=8 注意:强调长轴=2a 短轴=2b

  18. 例2求符合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6

  19. 又因为长轴在x轴上,所以椭圆的标准方程为 解: (1)由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以这两点是椭圆的顶点, ∴a=3,b=2

  20. (2)由以知, 2a=20,e=0.6 ∴a=10,c=6 ∴b=8 因为椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以所求椭圆的标准方程为: 或

  21. 练:求适合下列条件的椭圆的标准方程 （1）长轴是短轴的3倍，经过点P（3，0） （2）过点（2，0）、（1， ） （3）与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为

  22. 练习1：已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=2/3，求椭圆的方程。练习1：已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=2/3，求椭圆的方程。 注：△OFC是椭圆的特征三角形，它的两直角边分别是b,c，斜边长为a， cos∠OFA=e=c/a

  23. 练习2：已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0) 的离心率e= ，求m的值及椭圆的长轴 与短轴的长，焦点坐标、顶点坐标。 练习4：设M为椭圆 上的一点,F1 ,F2为椭圆的焦点,如果∠MF1F2 =75°， ∠MF2F1 =15°，求椭圆的离心率。 练习3：椭圆 (a>b>0)的左 焦点为F1(-c,0)，A(-a,0)、B(0,b)是两个顶 点，如果F1到直线AB的距离为 ,则椭圆的离心率=( )

  24. . . F1 F2 B A 例3 如图,我国发射的第一颗人造卫星的轨道,是以地心F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A距地面439km,远地点B距地面2384km,并且F2,A,B在同一条直线上,地球半径为6371km,求人造卫星运行的轨道方程(精确到1km). 解:如图,建立直角坐标系,使A,B,F2在x轴上,F2为椭圆的右焦点(F1为左焦点).

  25. 1 范围 椭圆的几何性质 2 对称性 一、 3 顶点 4 离心率 二、 性质的简单应用 三、曲线对称性的判定方法 归纳小结 我们来总结一下

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