第 30 讲平面向量的应用

第30讲平面向量的应用

掌握平面向量在解析几何、三角函数及数列等方面的综合应用.平面向量是中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介，本讲主要梳理平面向量与三角函数、解析几何、数列的交汇，突出培养学生运用向量工具综合解决问题的能力.掌握平面向量在解析几何、三角函数及数列等方面的综合应用.平面向量是中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介，本讲主要梳理平面向量与三角函数、解析几何、数列的交汇，突出培养学生运用向量工具综合解决问题的能力.

1. B 解析

2.设a、b是非零向量,若函数f(x)=(xa+b)·(a-xb)的图象是一条直线，则必有( ) A A.a⊥b B.a∥b C.|a|=|b| D.|a|≠|b| 解析因为f(x)=(xa+b)(a-xb) =xa2-x2a·b+a·b-xb2 =-x2a·b+(a2-b2)x+a·b，且f(x)的图象是一条直线,所以a·b=0a⊥b.

3.设向量a、b、c满足a+b+c=0,且a⊥b,|a|=|b|=2，则|c|2=( ) C A.1 B.2 C.8 D.5 解析因为a⊥b a·b=0, 则由a+b+c=0 c=-(a+b), 所以|c|2=c·c=|a|2+2a·b+|b|2=8.

解析易错点

5. 6 解析易错点

1.向量中“数与形”转化化归思想 向量既有大小，又有方向，兼备“数”“形”双重特点.向量运算均有相应的几何性质，因此有关几何性质的问题可通过向量或其运算转化化归为代数问题分析、探究. 2.向量的工具性作用线段的长,直线的夹角,有向线段的分点位置，图形的平移变换均可用向量形式表示,从而向量具有工具性作用.可以用向量来研究几何问题,利用其运算可以研究代数问题.

3.向量载体的意义 函数、三角函数、数列、解析几何问题常常由向量形式给出，即以向量为载体，通过向量的坐标运算转化化归为相应的函数、三角函数、数列、解析几何问题，这就是向量载体的意义.这类问题情境新颖，处在知识的交汇点，需要综合应用向量、函数、三角函数、数列、解析几何知识分析、解决问题.

题型一平面向量与函数、数列整合 例1 在直角坐标平面中，已知点P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23),…,Pn(n,2n)，其中n是正整数.对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，An为An-1关于点Pn的对称点.

(1)求向量的坐标； (2)当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x∈(0,3］时，f(x)=lgx，求以曲线C为图象的函数在(1,4］上的解析式； (3)对任意正偶数n,用n表示向量的坐标.

解析 (1)设点A0(x,y)，A0关于点P1(1，2)的对称点A1的坐标为A1(2-x,4-y),A1关于点P2(2，22)的对称点A2的坐标为A2(2+x,4+y). 所以 =(2,4).

(2)(方法一) 因为 =(2,4)，所以f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到. 因此,曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1］时，g(x)=lg(x+2)-4. 于是，当x∈(1,4］时，g(x)=lg(x-1)-4.

(方法二) 设点A0(x,y),A2(x2,y2),于是 x2-x=2 y2-y=4. 若3<x2≤6，则0<x2-3≤3, 于是f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3), 当1<x≤4时，则3<x2≤6,y+4=lg(x-1), 所以当x∈(1,4］时，g(x)=lg(x-1)-4.

(3) = + +…+ . 因为 =2 ,得 =2( + +…+ ) =2［(1,2)+(1,23)+…+(1,2n-1)］ =2( , )=(n,).

评析本题是向量与函数、数列的交汇，涉及的知识点较多，比如：对称、周期函数、图象平移、首尾相接的向量之和、等比数列求和以及中位线，等等，这是一道融函数意识和数列意识于一起的好题．

素材1

解析

题型二平面向量与三角函数知识整合 设a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ), c=(1,0)，其中α∈(0,π),β∈(π,2π),a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1-θ2= ,求sin 的值. 例2

a=(2cos2 ,2sin cos ) =2cos ·(cos ,sin ), b=(2sin2 ,2sin cos ) =2sin (sin ,cos ), 因为α∈(0,π),β∈(π,2π), 所以 ∈(0, ), ∈( ,π), 故|a|=2cos ,|b|=2sin , 解析

cosθ1= = =cos ,所以θ1= ； cosθ2= = =sin =cos( - ), 因为0< - < ,所以θ2= - ,又θ1-θ2= , 所以 - + = ，故 =- , 所以sin =sin(- )=- .

评析本题是向量与三角函数结合的综合题，关键是利用数量积，将、转换成、，求得结果．

素材2

解析

题型三 平面向量与解析几何、平面几何整合 (1)如图，OM∥AB，点P在射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且 =x +y ,则实数对(x,y)可以是( ) 例3 C A.( , ) B.(- , ) C.(- , ) D.(- , )

(2)已知非零向量与满足 ( + )· =0,且 · = ,则△ABC为( ) D A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

解析 (1)(方法一) 特别地，设△ABO是正三角形.因为满足选项A 的点P在线段AB上，故排除A；由于OM是∠BOC的平分线,所以满足选项B的点P恰好在射线OM上,也不合要求;对于选项D来说,作 =- , = ，并以OC与OD为邻边作平行四边形OCPD(如图所示)，则点P满足 =- + .

由于|BD|=2|OC|=2|PD|，取BD的中点E,连接PE,易知PE∥AB,从而点P在阴影区域外,所以选项D也不符合题意,故选C. (方法二)易知x<0，如图所示延长AO至C使 =x ，再过点C作OB的平行线与 OM、AB的延长线分别交于 P1、P2，

则点P一定在线段P1P2上(不含两端点).过点P1、P、P2分别作OA的平行线交OB及延长线于E、F、D，则y= . 由△COP1∽△OAB 得 = = =-x, 同理 =-x，所以OD=(-x+1)OB, 即 =1-x，故y∈(-x,1-x)，所以答案选C.

(2)(方法一)根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理，不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时排除其他三个选择项，故答案必选D.(2)(方法一)根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理，不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时排除其他三个选择项，故答案必选D. (方法二)由于 + 所在直线穿过△ABC的内心,则由( + )· =0知,| |=| | (等腰三角形的三线合一定理)；又 · = ,所以∠A= ,即△ABC为等边三角形，故选D.

评析 (1)方法一与方法二都运用了特殊化的思想，不同的是前者侧重于用排除法，而后者侧重于运算；方法二虽然在本题的处理中显得有点繁锁，但若背景换成填空题，则这种方法就显得很重要了.

(2)方法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法，是处理本题的巧妙方法；方法二要求学生能领会一些向量表达式与三角形某个“心”的关系,如 + 所在直线一定通过△ABC的内心； + 所在直线过BC边的中点，从而一定通过△ABC的重心； + 所在直线一定通过△ABC的垂心等.

素材3

解析

已知双曲线x2-y2=2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A、B两点，点C的坐标为（1，0），证明： · 为常数. 证明由条件，知F(2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2). 当AB与x轴垂直时，可知点A、B 坐标分别为(2, ）、(2,- ), 此时 · =(1, ）·(1,- )=-1.

当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是y=k(x-2)(k≠±1),当AB不与x轴垂直时,设直线AB的方程是y=k(x-2)(k≠±1), 代入x2-y2=2，有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0, 则x1、x2是上述方程的两个实根，所以x1+x2= ，x1x2= . 于是 · =(x1-1)(x2-1)+y1y2 =(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2) =(k2+1)x1x2-(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1 = - +4k2+1 =-4k2-2+4k2+1=-1.综上所述, · 为常数-1.

1.由于向量具有“数”“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与函数、三角函数、数列、解析几何知识相结合，综合解决相关问题.1.由于向量具有“数”“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与函数、三角函数、数列、解析几何知识相结合，综合解决相关问题. 2.利用化归思想将共线、平行、垂直、平移变换及定比分点向向量的坐标运算方向转化，线段的长、夹角向向量数量运算转化，建立几何与代数之间互相转化的桥梁.

错解错解分析此解误因是自认为∠A是直角在解题构思中丢掉另外两种情况．

正解

第 30 讲 平面向量的应用