第 12 章静定结构的内力

第12章静定结构的内力 第1节静定结构常见的基本形式第2节单跨静定梁的内力第3节静定多跨梁第4节静定平面刚架第5节平面静定桁架返回上一页下一页

第12章静定结构的内力 前面已经研究了结构在荷载作用下的平衡问题，那时都是假设结构不变形的，然而，实际上任何结构都是可变形固体组成的。它们在荷载作用下将产生变形，因而内部将由于变形而产生附加的内力。本章就是要在了解结构的基本变形的基础上，集中研究静定结构的内力。返回上一页下一页

第1节单跨静定梁的内力 一、基本概念 1.梁的概念在工程中常常会遇到这样一类杆件，它们所承受的荷载是作用线垂直于杆轴线的横向力，或者是作用面在纵向平面内的外力偶矩。在这些荷载的作用下，杆件相邻横截面之间发生相对转动，杆的轴线弯成曲线，这类变形，在本章第1节中，定义为弯曲。凡以弯曲变形为主的杆件，通常称为梁。返回上一页下一页

梁是一类很常见的杆件，在建筑工程中占有重要的地位。例如图所示的吊车梁、雨蓬、轮轴、桥梁等。梁是一类很常见的杆件，在建筑工程中占有重要的地位。例如图所示的吊车梁、雨蓬、轮轴、桥梁等。返回上一页下一页

2、梁的平面弯曲 纵向对称面 FP q M 轴线工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，这根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称面。如果作用于梁上的所有荷载都在梁的纵向对称面内，则变形后梁的轴线将在此平面内弯曲，这种弯曲称为平面弯曲。 F1 F2 返回上一页下一页

3.单跨静定梁的分类 工程中的梁的横截面一般都有竖向对称轴，且梁上荷载一般都可以近似地看成作用在包含此对称轴的纵向平面（即纵向对称面）内，则梁变形后的轴线必定在该纵向对称面内。这种梁变形后的轴线所在平面与荷载的作用面完全重合的弯曲变形称为平面弯曲，如图所示。返回上一页下一页

1.弯曲变形和平面弯曲 A B A B 1)简支梁一端为固定铰支座,另一端为可动铰支座的梁 q 返回上一页下一页

B A B A 2)悬臂梁一端为固定端,另一端为自由端的梁自由端固定端 FP q 返回上一页下一页

1.弯曲变形和平面弯曲 A B C FP q A B C 3) 外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁自由端返回上一页下一页

q FP q A C B D A B C 双杠横杆 3) 外伸梁一端或两端向外伸出的简支梁自由端自由端返回上一页下一页

梁的计算简图 简支梁外伸梁悬臂梁联合梁

二、梁的內力——剪力和弯矩 FP m FP MP MP q m A A B FA 梁截面上的内力必是的一个平行于横截面的内力FQ，称为剪力和一个作用面与横截面垂直的内力偶M，称为弯矩。 FQ M FB FA 返回上一页下一页

剪力和弯矩的正负号规定 － + － + FQ FQ M FQ FQ M M M 规定：当截面上的剪力FQ使研究对象有顺时针转向趋势时为正，反之为负。当截面上的弯矩M使研究对象产生向下凸的变形时（即上部受压下部受拉）为正，反之为负。返回上一页下一页

3.剪力与弯矩的微分关系 由于梁的内力是由作用在梁上的荷载引起的，它们之间必然会存在一定关系。这种关系可以从前面的例题中初步得出，如例4-7中，将弯矩方程对x求一阶导数，可得到剪力方程；再由剪力方程对x求一阶导数，可求得分布荷载的集度，它们之间存在着导数关系，这一关系是普遍存在的。下面就来证明这一普遍存在的关系。返回上一页下一页

q(x) q(x) y F M A B x x l dx 梁上的分布荷载q(x)是x的连续函数，并规定q(x)向上为正，向下为负。取距坐标原点为x和x+dx的微段梁为研究对象。横截面上的内力均假设成正的。因为整根梁处在静力平衡之中，因此，微段梁也必然处于平衡状态。 FQ(x+dx) M (x+dx) M (x) dx FQ(x) 返回上一页下一页

∑Fy=0 q(x) q(x) y F M FQ(x+dx) A B M (x+dx) M (x) x dx x FQ(x) l dx (4-2) ∑MO=0 略去dx的两阶微量，简化后得 (4-3) 返回上一页下一页

∑Fy=0 (4-2) ∑MO=0 略去dx的两阶微量，简化后得 (4-3) (4-4) 以上三式说明了弯矩、剪力和荷载分布集度之间存在的微分关系。返回上一页下一页

由弯矩、剪力和分布荷载集度之间的微分关系，可归纳下面几条规律：由弯矩、剪力和分布荷载集度之间的微分关系，可归纳下面几条规律：（1）梁上无分布荷载时，即q(x)=0，由可知，此时剪力FQ(x)=常数，即剪力图的斜率为零，剪力图必为一条水平直线。再由 =常数可知，M(x)是x的一次函数，即弯矩图为斜直线，特殊情况：当剪力图为零线时，弯矩图则为水平直线。返回上一页下一页

（2）梁上有均布荷载时，即q(x)=q，则由 可知，剪力图的斜率为常数，或者是x的一次函数，剪力图为一条斜直线。弯矩图是x的二次函数，即弯矩图是一条二次抛物线。当q向上时，剪力图为上斜直线，弯矩图为上凸曲线；当q向下时，剪力图为下斜直线，弯矩图为下凸曲线。返回上一页下一页

（3）若梁上某一截面的剪力为零时，根据 可知，该截面的弯矩为一极值，但就全梁来说，这个极值不一定就是全梁的最大值或最小值。（4）梁上集中力作用处，剪力图有突变。正值的集中力引起向上突变，负值的集中力引起向下的突变，突变值等于该集中力的数值。剪力的变化引起弯矩图斜率的变化，故弯矩图有尖角。返回上一页下一页

（5）梁上集中力偶作用处，剪力图没有变化，弯矩图有突变。根据我们对弯矩图设置的坐标，则顺时针转的集中力偶，引起其所在截面的弯矩向下突变，逆时针转的集中力偶，引起其所在截面的弯矩向上突变。突变值为该力偶矩的大小。（5）梁上集中力偶作用处，剪力图没有变化，弯矩图有突变。根据我们对弯矩图设置的坐标，则顺时针转的集中力偶，引起其所在截面的弯矩向下突变，逆时针转的集中力偶，引起其所在截面的弯矩向上突变。突变值为该力偶矩的大小。（6）最大弯矩的绝对值，可能发生在F(x)=0的截面上，也可能在集中力或集中力偶作用处（包含支座截面处）。以上规律对指导绘制剪力图和弯矩图是很重要的，应该熟练地运用它。表4-1对常见荷载作用下的剪力图和弯矩图的主要特征作了描述，可供参考。返回上一页下一页

4.利用微分关系绘制剪力图和弯矩图 应用弯矩、剪力和分布荷载集度之间的微分关系，不仅能用来检查所作剪力图和弯矩图是否正确，同时，也能便捷地绘制梁的剪力图和弯矩图。其步骤：（1）根据梁所受外力，将梁分成若干段，并判断各段梁的剪力图和弯矩图的形状。（2）计算特殊截面（控制截面）的剪力和弯矩值，逐段画出剪力图和弯矩图。返回上一页下一页

F q M D A C B 2m 8m 2m + + _ 例2 图示外伸梁。已知q=20kN/m， M=160kN·m， F=20kN，试绘制此梁的剪力图和弯矩图。 FB FA FQ图 (kN) 解1）求支座反力 72 · 60 · · 20 · FA=72kN ↑ FB=148kN ↑ 2）将梁分为AC、CD、BD三段 · 3)画剪力图 88 先由各段荷载的情况判断剪力图的形状，再计算控制值，然后画出剪力图。段荷载 FQ图形状 FQ图控制值（kN） AC 无水平线 FQA=72 CD均布斜直线 FQC=72 ; FQBL=-88 BD均布斜直线 FQBR=60; FQD=20 返回上一页下一页

FA=50kN ↑ FB=30kN ↑ F q M D A C B FB 2m 8m 2m FA 72 FQ图 (kN) · 60 · · 20 · + + + + · 88 _ _ 4）画弯矩图由各段荷载和FQ图的情况判断M图的形状,计算控制值, 画出弯矩图 CB段是抛物线,此段剪力图在E点为零,故E点为极值点.设CE的长为x,则： x E x :72=(8-x):88 x=5.6m ME=113.6kN·m M图 (kN·m) · 80 16 · · · · · 144 113.6 段荷载 FQ图控制值(kN) AC无 FQA=72 CD 均布 FQC=72 ;FQBL=-88 DB 均布 FQBR=60 FQD=20 M图 M控制值（kN·m）直线 MA=0；MCL=144 抛物线 MCR=-16; MB =-80 ; ME=113.6 抛物线 MD=0 返回上一页下一页

q A E B D C a a 4a 例 3 作出图示外伸梁的剪力图和弯矩图。解（1）求支座反力 FA FB ∑MA＝0， FB×4a―q×6a×2a＝0 FB=3qa ↑ ∑Fy＝0， FA＋FB―q×6a＝0 FA=3qa↑ （2）分段根据梁上的荷载情况，将梁分割成AC、AB、BD三段。各段的剪力图均为斜直线（\）。（3）画内力图 a）画剪力图返回上一页下一页

a）画剪力图 q A E B D C a a 4a FA FB + + + - - - - 段荷载 FQ图形状 FQ控制值 CA 均布斜直线 FQC=0；FQAL=-qa AB 均布斜直线 FQAＲ=2qaFQBL=-2qa BD 均布斜直线 FQBＲ=qa； FQC=0 此题中，弯矩图为对称图形，剪力图为反对称图形。只要结构对称，结构上荷载也对称，则弯矩图恒为对称，剪力图恒为反对称图形。 FQ图 2qa qa b）画弯矩图 qa 2qa M图 qa2/2 qa2/2 段荷载 M图形状 M控制值(kN·m) CA 均布抛物线 MC=0；MA=-qa2/2 AB均布抛物线 BD 均布抛物线 MD=0 ME=3qa2/2; MB=-qa2/2 3qa2/2 返回上一页下一页

RB B A D C RA 解：1. 求支座反力 2.求剪力图 Q／KN CA为均布荷载段，剪力为一斜直线 x 15 15 o 20 15 10 x O M／kNm 5 外伸梁，受力如图，试画剪力图和弯矩图。

CA段为均布荷载段，弯矩图为下凸的二次曲线：CA段为均布荷载段，弯矩图为下凸的二次曲线： AB段为无荷载段，剪力为水平线 RA＝35kn（），A点剪力发生跳跃， 3.求弯矩图

DB段为空载段，弯矩图为一斜直线： AD段为空载段，弯矩图为一斜直线 2. 作剪力图、弯矩图 D点弯矩图跳跃： MD＝20kn.m，发生跳跃（）。

第3节静定多跨梁 一、概述多跨静定梁是指若干根梁用中间铰连接在一起，并以若干支座与基础相连而组成的静定梁。所谓刚架是指由若干根直杆（梁和柱）彼此用刚结点，或一部分刚结点相连接而成的结构。返回上一页下一页

C F D E B A 多跨梁简支刚架三铰刚架悬臂刚架返回上一页下一页

多跨梁 返回返回上一页上一页下一页下一页

二、静定多跨梁的内力 静定多跨梁：当荷载作用于基本部分时，只有该基本部分受力，而与其相邻的附属部分不受力，故只要把基本部分内力算出即可；当荷载作用于附属部分时，则不仅该附属部分受力，且要通过铰接关系将力传递到与其相关的基本部分上去。静定多跨梁的内力一般的求解办法是，先从附属部分计算，再计算基本部分。各跨内力图画出以后，再将它们的内力图连在一起，便得静定多跨梁的内力图。返回上一页下一页

例 4 试绘制图示静定多跨梁的内力图。 解(1)以EF为研究对象 ∑ME=0 FF·4.5m－2kN/m(4.5m)2/2=0 FF=4.5kN (↑) ∑Fy=0 FE+FF－2kN/m·4.5m=0 FE=4.5kN (↑) (2)以CE为研究对象 ∑MC=0 FD·4.5m－10kN·2m－4.5kN·6m=0 FD=10.5kN (↑) ∑Fy=0 FC+FD－10kN－4.5kN=0 FC=4kN (↑) 返回上一页下一页

I (3)以AC为研究对象 ∑MA=0 FB·6m－20kN·3m－4kN·7.5m=0 FB=15kN (↑) ∑Fy=0 FA+FB－20kN－4kN=0 FA=9kN (↑) 返回上一页下一页

FA=9kN (↑) FB=15kN (↑) I FC=4kN(↑) FD=10.5kN(↑) FE=4.5kN(↑)FF=4.5kN (↑) (4)作弯矩图 MAB=0 MG=27kN·m(下侧受拉) MBA=MBC=6kN·m (上侧受拉) MCB=MCD=0 MH=8kN·m (下侧受拉) MDC=MDE=6.75kN·m (上侧受拉) MED=MEF=0 MI=5.06kN·m (下侧受拉) MFE=0 返回上一页下一页

FA=9kN (↑) FB=15kN (↑) I FC=4kN(↑) FD=10.5kN(↑) FE=4.5kN(↑)FF=4.5kN (↑) (5)作剪力图 FQAG=FQGA=9kN FQGB =FQBG=-11kN FQBH=FQHB=4kN FQHD=FQDH=6kN FQDE=FQED=4.5kN FQEF=4.5kN FQFE=-4.5kN 返回上一页下一页

第4节静定平面刚架 1、刚架的特点及其分类刚架是由直杆组成的有刚结点的结构。刚架由于具有刚结点，因而变形时，在刚结点处，各杆端不能发生相对移动和相对转动，各杆之间夹角保持不变。在受力时能承受和传递弯矩，所以刚架中弯矩分布比较均匀，而且由于刚架内部空间大，比较容易制作等优点，在工程中得到广泛应用。当刚架各杆的轴线都在同一平面内且外力也可简化到此平面内时，称为平面刚架。平面刚架可分为静定和超静定两类。常见的静定平面刚架有悬臂刚架、简支刚架以及三铰刚架。本节只讨论静定平面刚架。

三铰刚架 悬臂刚架简支刚架返回上一页下一页

三、平面刚架的内力 平面刚架的内力是指各杆（梁和柱）中垂直于杆轴线的横截面上的弯矩M，剪力FQ，轴力FN。在计算静定刚架时，通常可由以下四步完成。 (1) 求出各支座反力和各铰接处的约束反力取刚架整体或部分为研究对象，利用静力平衡方程求出刚架支座或铰接处的约束反力。 (2) 计算杆截面（杆端）的内力杆截面内力也是由静力平衡方程求得的。各杆轴力FN和剪力FQ的正负号规定与以前相同，弯矩不再规定正负号，只是在绘制弯矩图时，把弯矩图画在杆件的受拉一侧。返回上一页下一页

(3) 绘制刚架的内力图绘制刚架内力图的方法与绘制静定梁的内力图的方法一样，即先计算控制截面上的内力，然后根据内力变化规律及区段叠加法作出内力图。对刚架来说，杆件两端一般总是作控制截面。 (4) 内力图校核刚架的内力图必须满足静力平衡条件，也就是说，从刚架中任意取一个脱离体，其上面的外荷载和截面上的内力应构成一平衡力系，即应满足平衡方程。通常情况下，截取刚结点为脱离体，并根据已作出的M、FQ和FN图，标出截面上的内力的方向和数值，再由静力平衡方程校核内力。返回上一页下一页

解：NBA=-6 kN 例 5 绘制图所示刚架的内力图。 QBC=6 kN MBC=6×2=12kN.m (上侧受拉)

例 6 绘制图所示刚架的内力图。 4m C D 2m 15kN B 2m A 解（1）求支座反力 FAx=15kN (←) FAy=-7.5kN (↑) FB=7.5kN (↑) 2)作弯矩图内侧受拉 MCA＝ MCD＝ 30 kN·m MAC＝0 MDC＝0 30 30 FD 15 M图 (kN·m) FAx FAy 返回上一页下一页

+ 4m C － D 2m 15kN B 2m A FAx=15kN (←) FAy=-7.5kN (↑) FB=7.5kN (↑) 3)作剪力图 FQAB＝FQBA＝15kN FQBC＝ FQCB＝ 0 FQCD＝ FQDC＝-7.5kN 7.5 FD 15 FQ 图 (kN) FAx FAy 返回上一页下一页

+ 4m C D 2m 15kN B 2m A FAx=15kN (←) FAy=-7.5kN (↑) FB=7.5kN (↑) 4)作轴力图 FNAC＝FQCA＝7.5kN FNCD＝ FNDC＝0 FD 7.5 FN 图 (kN) FAx FAy 返回上一页下一页

第 12 章静定结构的内力