第一章复数与复变函数

复变函数 第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的幂级数表示法第五章解析函数的罗朗展示与孤立奇点第六章残数理论及其应用第七章保形变换

复变函数论多媒体教学课件 第一章复数与复变函数第一节复数第二节复平面上的点集第三节复变函数第四节复球面与无穷远点 Department of Mathematics

第一章复数与复变函数 第一节复数 • 1 复数域 • 2 复平面 • 3 复数的模与辐角 • 4 复数的乘幂与方根 • 5 共轭复数 • 6 复数在几何上的应用举例 Department of Mathematics

1、复数域： （1）复数的有关概念每个复数具有的形状，其中和，的实部和虚部，分别称为和是虚数单位；。分别记作，

（2）复数的四则运算 复数的四则运算定义为：复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域(对加、减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以看成实数域的扩张.

2 复平面 复数域C也可以理解成平面RxR，我们称C为复平面. 作映射：则在复数集C与平面RxR之建立了一个1-1对应（双射）. 平面上横坐标轴我们称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等. 必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的．

复数的模与辐角（1）模与辐角及辐角主值

（2）复数的三角形式 非零复数的三角表示定义为：（3）复数加法的几何表示复数加、减法的几何表示如下图：

基本不等式 关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：

（4）三角表示的乘法 利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法，设则有其中后一个式子应理解为集合相等.

同理，对除法，也有： 其中后一个式子也应理解为集合相等.

（5）复数的指数形式及运算

4、复数的乘幂与方根 利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

进一步，有： 可以看到，k=0,1,2,…,n-1时，可得n个不同的值，即z有n个n次方根，其模相同，辐角相差一个常数，均匀分布于一个圆上.这样，复数的乘幂可以推广到有理数的情形.

5、共轭复数

6、曲线的复数方程

7、例题分析 例1试用复数表示圆的方程：其中a,b,c,d是常数. 解：利用得：其中，

例2 设、是两个复数，证明：

例3 设、是两个复数，求证：

例4 作出过复平面C上不同两点a,b的直线表示式.

例5 求所有值： 解：由于所以有有四个根.

1.思考题 2. 作业

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