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5-5 一阶电路的全响应

5-5 一阶电路的全响应. 全响应：由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应。. 下面讨论 RC 串联电路在直流电压源作用下的全响应。已知： u C (0 - )= U 0 。 t =0 时开关闭合。. R. i. + U s -. + u C (0 - )= U 0 -. t=0. C. 为了求得电容电压的全响应，以 u C ( t ) 为变量，列出电路的微分方程. 其解为. 代入初始条件 u C (0 + )= u C (0 - )= U 0 ，可得. 求得. 则：. 上式可改写为.

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5-5 一阶电路的全响应

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  1. 5-5 一阶电路的全响应 全响应：由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应。 下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下的全响应。已知：uC(0-)=U0。 t=0时开关闭合。

  2. R i + Us - + uC(0-)=U0 - t=0 C 为了求得电容电压的全响应，以uC(t)为变量，列出电路的微分方程

  3. 其解为 代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0，可得 求得 则：

  4. 上式可改写为 也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以叠加的一种体现。

  5. uC(t) uC(t) U0 US <U0 U0 US <U0 US US uCp(t) uCzS(t) U0 -US uCh(t) uCzi(t) t t uC(t)=uCh(t)+uCp(t) uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)

  6. iL R + uC - + uS - iS C G L 5-6 一阶电路的三要素法

  7. 若用r(t)来表示电容电压uC(t)和电感电流iL(t)，上述两个电路的微分方程可表为统一形式若用r(t)来表示电容电压uC(t)和电感电流iL(t)，上述两个电路的微分方程可表为统一形式 r(0+)表示电容电压的初始值uC(0+)或电感电流的初始值iL(0+)；  =RC 或 =GL=L/R；w(t)表示电压源的电压uS或电流源的电流is。其通解为

  8. t=0+代入，得： 因而得到 一阶电路任意激励下uC(t)和iL(t)响应的公式 推广应用于任意激励下任一响应

  9. 在直流输入的情况下，t时，rh(t)0， rp(t)为常数，则有 因而得到 r(0+)——响应的初始值 r()——响应的终值， ——时间常数=RC, =L/R 三要素：

  10. r(t) r(t) r(0+) r() r()<r(0+) r()>r(0+) r() r(0+)   t t 三要素公式的响应波形曲线 可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值r()，响应的快慢取决于的时间常数。

  11. 注意：（1）直流激励； （2）一阶电路任一支路的电压或电流的（全）响应； （3）适合于求零输入响应和零状态响应。 直流激励下一阶电路的全响应取决于r(0+)，r()和 这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，而不必建立和求解微分方程。这种方法称为三要素法。

  12. 三要素法求直流激励下响应的步骤： 1.初始值r(0+)的计算（换路前电路已稳定）(1) 画t=0-图，求初始状态：电容电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。 (2)由换路定则，确定电容电压或电感电流初始值，即uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)。 (3)画0+图，求其它初始值——用数值为uC(0+)的电压源替代电容或用iL(0+)的电流源替代电感，得电阻电路再计算

  13. 2，稳态值r()的计算(画终了图) 根据t>0电路达到新的稳态，将电容用开路或电感用短路代替，得一个直流电阻电路，再从稳态图求稳态值r()。 3，时间常数 的计算(开关已动作) 先计算与电容或电感连接的电阻单口网络的输出电阻Ro，然后用公式=RoC或=L/Ro计算出时间常数。 4，将r(0+),r()和  代入三要素公式得到响应的一般表达式。

  14. 注意点：三要素公式可以计算全响应、零输入响应分量和零状态响应。但千万不要认为注意点：三要素公式可以计算全响应、零输入响应分量和零状态响应。但千万不要认为 就推广到一般，得出结论，所有的响应

  15. 应该是：

  16. R R + － + － + － + － C 如求全响应。 图 内激励引起 外激励引起

  17. 从另一个角度说： 只有 电容电压 和 电感电流 ，只要知道全响应表达式，就可以把它分成零输入响应(分量)和零状态响应(分量) 。 否则，在仅知道全响应的表达式时，无法将零输入响应(分量)和零状态响应(分量) 分开。非要知道电路，画出零输入的图或零状态的图，求出零输入响应或零状态响应来才行。

  18. t=0 2 i 2A + + uC 10V 4 4 0.1F - - 例16电路原处于稳定状态。求 t  0 的uC(t)和i(t)，并画波形图。 解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+) 开关闭合前，电路已稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入4电阻中，

  19. 2 i(0+) 2A + + 10V 8V 4 - 4 - 由于开关转换时，电容电流有界，电容电压不能跃变，故 画0+图如右

  20. 2 i() 2A + + uC () 10V 4 4 - - 2，计算稳态值uC()、i() 换路后，经一段时间，重新达到稳定，电容开路，终值图如右，运用叠加定理得

  21. 2 i(t) 2A + + uC 10V 4 4 - - 3，计算时间常数 计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联 时间常数为

  22. 4，将初始值、终值及时间常数代入三要素公式，得到响应表达式： 下面看响应过程——波形

  23. i(t) 5/3 1.5 1 t uC(t) 8 7 0 t

  24. + u- t=0 2A + 4 4 uC 0.01F - i + 2i - 例17求u(t)和i(t)。已知： 解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+) 零状态电路，由换路定则得：

  25. + u (0+) - a 2A 4 4 i(0+) + 2i (0+) - b 画0+图如右,用节点法 解得： 则：

  26. + u ( ) - 2A 4 4 i( ) + 2i ( ) - 2，计算稳态值u()、i() t，电路重新达到稳定，电容开路，终值图如右，得：

  27. 4 4 Req i + 2i - 3，计算时间常数 电容相连接的电阻网络如右图，用加压求流法得： 时间常数为 代入三要素公式得：

  28. + u - t=0 + u(t) _ + 2 uC 0.5F 1A - 1 1H 2 iL 例18求u(t)。已知： 解：电路可分成两部分分别求响应，然后迭加。

  29. t=0 + + u(t) _ uC 2 - 0.5F 1A 1A 1 + + uC 1H uL 2 2 0.5F - - RC部分： 所以

  30. t=0 + + u(t) _ uC 1A 2 + - 0.5F 1A 1 uL + 1H 2 1H uL 2 - - RL部分： 所以

  31. c R1 iC(t) + b a R2 C Us - R1 + iC(t) Us C - 例19开关在a时电路已稳定。t=0倒向b,t=R1C倒向c，求t0的iC(t)并画波形 解：t<0时，uC(0-)=0。第一次换路后由换路定则得：

  32. R1 + iC(t) Us C -

  33. R1 + US(1-e-1) - iC(R1C+) R2 t=R1C时，第二次换路, 由换路定则得： 得t=R1C+图如上：

  34. iC US/R1 t

  35. 0.1H iL 6 1 + 2 t=0 + + 10V 3 0.5F 2V uC - - - 例20原电路已稳定。求t0的iL(t)和uC(t)。 解：求初始状态

  36. 0.1H iL 6 1 + + + 2 + 10V 3 2V 2V 0.5F uC - - - - 换路后，电路可分成两部分

  37. 所以

  38. 5-7 一阶电路的特殊情况分析 1.R＝0或G＝0的情况； 2.特殊情况——电路含全电容回路或全电感割集； 电容电压和电感电流不连续，即跳变——换路定则失效。 求初试值依据——瞬间电荷守恒， 磁链守恒 3.所谓“陷阱”。

  39. 5 5 1H + 10V t=0 - iL i 例如：电路原已稳定，求开关动作后的电流i。 解： 由换路定则： 得 如果认为 用三要素公式，得 取极限，得 最后，得

  40. 可见，采取极限的方法，三要素公式仍然是成立的。可见，采取极限的方法，三要素公式仍然是成立的。 对偶地，储存电场能电容的情况。 + － 2V

  41. t=0 + uC 1(t) - + uC 2(t) - C1 C2 例21已知:uC1(0-)=U1, uC2 (0-)=U2，试求uC1(0+), uC2(0+) 解：开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约束，两个电容电压必相等，即： 再根据在开关闭合前后节点的总电荷守恒定律，可得

  42. 联立求解以上两个方程，代入数据得 当U1U2时，两个电容的电压都发生了跳变，uC1(t)由U1变为uC(0+), uC2(t)则由U2变为uC(0+) 。从物理上讲，这是因为两个电容上有电荷移动所形成的结果，由于电路中电阻为零，电荷的移动迅速完成而不需要时间，从而形成无穷大的电流，造成电容电压发生跃变。

  43. C C + － + － + － C1 + － + － C2 如果，改变为等效电路的方法。 原题目的 图简化为

  44. L2 L1 iL1 iL2 R1 + R2 US t=0 - 例22原电路已稳定，试求iL1(t), iL2(t),t>0 解：（1）求初始值：换路前，电路已稳定： 换路后，全电感割集，磁链守恒

  45. … …

  46. （2）求稳态值：

  47. （3）求时间常数： （4）代入三要素公式

  48. + uC1(t) - C1 a t=0 + US - + uC2(t) - R1 R2 C2 例23图示RC分压器电路原已稳定。试求t>0时uC2(t). 为使uC2(t)无过度过程，C1取何值？ 解：将图中的电压源置零后，电容C1和C2并联等效于一个电容，说明该电路是一阶电路，三要素法仍适用。

  49. C1+C2 R1//R2 （1）求时间常数：换路后，电源置零得下图。其时间常数为 （2）求初始值：在t<0时，电路处于零状态，uC1(0-) =uC2(0-)=0。

  50. 换路后，在t=0+时刻，两个电容电压应满足KVL 此式说明电容电压的初始值不再为零，发生跃变，因为含全电容回路，换路定则失效，要用电荷守恒。对节点a可得 联立解得：

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