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應用數學報告

應用數學報告. B966C0022 鍾文哲 通訊 3A. 工程數學之應用. 傅立葉轉換 (Fourier Transform) 是一種目前十分重要而且廣泛應用於各行業的數位訊號分析技術，當儀器測量所得的數位訊號為時間 - 振幅的數據時，您可以使用傅立葉轉換將此一訊號轉換為頻率 - 振幅，從而進行此一訊號的頻率特性的分析，反之若您有頻率 - 振幅的數據，您可使用逆傅立葉轉換，將此一訊號數據轉換為時間 - 振幅的數據。. 工程數學之應用.

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  1. 應用數學報告 B966C0022 鍾文哲 通訊3A

  2. 工程數學之應用 • 傅立葉轉換(Fourier Transform)是一種目前十分重要而且廣泛應用於各行業的數位訊號分析技術，當儀器測量所得的數位訊號為時間-振幅的數據時，您可以使用傅立葉轉換將此一訊號轉換為頻率-振幅，從而進行此一訊號的頻率特性的分析，反之若您有頻率-振幅的數據，您可使用逆傅立葉轉換，將此一訊號數據轉換為時間-振幅的數據。

  3. 工程數學之應用 • 一物體由某高度自由落入水中後，其下沉之阻力為 WV / 5 ，其中 W 為物體重量，V 為下沉速度。 試以V、重力加速度g及時間t寫出其在水面下之運動方程式。 • W=mgma=F= mg - mg v/5=> dv/dt + g/5 v = g (為線性一階ODE)=> [exp(g/5 t) v ]' = g exp(g/5 t)=> exp(g/5 t) v = 5 exp(g/5 t) + c

  4. 工程數學之應用 • 一 RLC 串聯電路系統，電流為 i(t)，電容上的電荷為 q(t)，外加電壓 E = 0V，此 RLC 串聯電路之暫態電荷 ( transient charge ) 為此電路系統微分方程式之通解 q(t)。 • 由 Kirchhoff's Voltage Law  知：υR + υL + υc = 0 • 　　→ R i + L( di／dt ) + ( 1／C ) q = 0 • 　　→ R( dq／dt ) + L( d2q／dt2 ) + ( 1／C ) q = 0 • 　　→ ( d2q／dt2 ) + ( R／L )( dq／dt ) + ( 1／LC ) q = 0 ～ 二階 o.d.e. • 　　特徵方程式：λ2 + ( R／L ) λ + ( 1／LC ) = 0 • λ = { - ( R／L ) ± √ [ ( R／L )2 - ( 4／LC ) ] }／2 • = ( - R／2L ) ± √ [ ( R／2L )2 - ( 1／LC ) ] • * • 　　通解分為三種狀況：相異實根、重根、共軛複根

  5. 工程數學之應用 • CASE 1. 相異實根：( R／2L )2 - ( 1／LC ) > 0 • 　　此系統為「過阻尼 ( over-damping )」系統。 • λ = λ1、λ2 ～ 相異實根 • λ1 = ( - R／2L ) + √ [ ( R／2L )2 - ( 1／LC ) ] • λ2 = ( - R／2L ) + √ [ ( R／2L )2 - ( 1／LC ) ] • q = k1e λ1t + k2eλ2t ～ over-damping # • * • CASE 2. 重根：( R／2L )2 - ( 1／LC ) = 0 • 　　此系統為「臨界阻尼 ( critical-damping )」系統。 • λ = λo、λo ～ 重根 • λo = ( - R／2L ) • q = ( k1 + k2t )eλot ～ critical-damping # • * • CASE 3. 共軛複根：( R／2L )2 < ( 1／LC ) • 　　此系統為「欠阻尼 ( under-damping )」系統。 • λ = λo ± jω ～ 共軛複根 • λo = ( - R／2L ) • ω = √ [ ( 1／LC ) - ( R／2L )2 ] • q = eλot ( k1cos ωt + k2sin ωt ) ～ under-damping #

  6. 自然中的數學 • 在同一時間，太陽照射物體會產生影子，而影子與物體呈一三角形，且有固定角度θ。可先利用人或一長竿求得物體與影長的關係，在沒有先進的測量儀器輔助下，可測得大數甚至高樓的高度。 物體 θ 影

  7. 自然中的數學 • 聲音有分高低，也就是音樂中有不同音階。拿幾個玻璃杯，裡面裝些水： • 音階差是兩數目差，音階就是數目，樂曲就是數學。

  8. 自然中的數學 • 入學分班，學生經過智力測驗後，由高分至低分作S型分班，往後考試，每個班級亦或是全校，作成績統計並構圖，成績高低與人數呈現高斯分佈。 人數 分數

  9. 自然中的數學 • 生活中大大小小的事物，從桌椅、到整棟房子，充滿了直角。直角為幾何中非常特殊的一個角，像直角三角形，其中構成直角的兩邊其長度的平方和為其斜邊長的平方。 a2+b2=c2 c a b

  10. 自然中的數學 • 一張紙可以對摺幾次？由實驗驗證中推導出一道公式L=πt/(2n+4)(2n-1)。T是紙張厚度，n是單項對摺次數，L是紙張所需最小長度。 • 而要成功將厚度0.13公厘的紙對摺12次，所需只大約要1.2公里。 (泡綿模擬紙張單向對摺兩次)

  11. 參考資料 • http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1106102513742 • http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1009031410677 • http://www.mathland.idv.tw/life/foldpaper.htm • 鸚鵡定理-跨越兩千年的數學之旅(究竟出版)

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