線形代数学

線形代数学 ４．行列式吉村　裕一

今Sの面積を　　　の関数と考え、 4.1　面積、体積(1) 　　平面　　上の二点A,Bをとるとき、座標原点Oと結ぶ線分OA、OBの位置ベクトルを以下のように表す。と表し、以下のような性質を持つ (ⅰ)(ⅱ)任意のλに対して (ⅲ)(ⅳ)

4.1　面積、体積(2) 行列式の表し方任意のに対しであるのでよってと求まる。３次の行列式についても同様にして求めることができる。

4.2　行列式（1） ・行列式の定義 n次正方行列Aに対する行列式を次のように定義するこの行列式は次の性質をみたす関数として定義する１　(交代性)任意のi≠jに対し２　(多重線形性)任意のiに対し３　(単位の定義)単位行列Iに対し

(ⅰ)n個の列ベクトルのどれか２つが等しければ、行列式は０である。(ⅰ)n個の列ベクトルのどれか２つが等しければ、行列式は０である。 (ⅱ)λをスカラーとするとき (ⅲ)　任意のスカラーλと任意のi≠jに対し　　を　　　　　　でおきかえても行列式の値は変わらない。 (ⅳ)ｎ次行列式はAの関数として唯１つ存在しその形は (ⅴ) 4.2　行列式（2）主な定理

備考は(1 2 ･･･ n)を　　　　　　　に並べ替えるのに必要なだけ(－１)のべきを作ったもの例：

4.2　行列式（3） (ⅵ)n個のn次元ベクトル　　　　　　の関数　　　　　　　　が行列式の定義の条件のうち　１　(交代性)任意のI≠jに対し２　(多重線形性)任意のIに対しをみたしているとき、が成立する。

4.2　行列式（3） • サラスの方法

4.3　行列式とその性質(１) 余因子定義：行列式detAにおいて　　を交差点とする行ベクトルと列ベクトルを除いて　　　　　　　　作る小行列を赤枠部分を除いて作った行列とし、それに（i,j)に対応する符号　　　　　　をかけたものをとおき、detAの（i,j)-余因子（または余因数）といいこれを用いてdetAを以下のように表せる。

4.3　行列式とその性質(2) 余因子を並べて作った行列をとおき、Aの余因子行列という。また、detA≠0ならAは正則であり、逆行列　　を次のように表すことができる。また、連立一次方程式において、係数行列Aの行列式が0でないならば解xは以下の式より求まる。：Aの列ベクトル

4.4　行列の積と行列式(1) 定理 (1)　　２つのn次正方行列A、Bに対し (2)Aが正則ならdetA≠0 (3)Aを(m,n)-行列､Bを(n,m)-行列としたとき(m,m)-行列AB　　　　の行列式は (i) m>nならば　det(AB)=0 (ii) m<nならば　det(AB)=

4.4　行列の積と行列式(2) グラムの行列式 m個のｎ次元ベクトル　　　　　　にたいして次の行列式をグラムの行列式という。が一次独立であるためにはグラム行列式が0でなければいけない。

宿題 1．次の行列式を計算せよ。 2．次の行列は正則かどうか調べ正則であるならば逆行列を調べよ。 3．行列式を用いて次の方程式を解け

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