วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู่

1. วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู่วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู่

2. กฎเกณฑ์การนับเบื้องต้นกฎเกณฑ์การนับเบื้องต้น ผลการเรียนรู้ที่คาดหวังรายคาบ 1. สามารถใช้หลักการคำนวณวิธีเขียนแผนภาพต้นไม้แก้ปัญหาได้ 2. สามารถใช้กฎเกณฑ์การนับเบื้องต้นในการหาจำนวนเหตุการณ์อย่างง่ายได้

3. การเลือกสิ่งของ 1 สิ่ง จากเซต หรือเซต จะมีวิธีเลือก เท่ากับ วิธี นิยาม

4. ตัวอย่าง อาหารคาว 7 ชนิด ของหวาน 3 ชนิด ถ้าต้องการรับประทานอาหาร คาวหรือหวานก็ได้ 1 ชนิด จะรับประทานได้กี่วิธี นักเรียนคิดว่าการเลือกในตัวอย่างนี้มีกี่กรณี 2 กรณี คือ กรณีเลือกอาหารคาวและเลือกอาหารหวาน กรณีเลือกอาหารคาวจะเลือกได้ 7 ชนิด ดังนั้น จะได้ n (A) = 7 กรณีเลือกอาหารหวานจะเลือกได้ 3 ชนิด n (B) = 3 ดังนั้น จะได้

5. ถ้าในการคิดแบบแบ่งเป็นกรณี การหาจำนวนวิธีทั้งหมดให้นำจำนวนวิธี แต่ละกรณีมาบวกกัน ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดในข้อนี้ คือ 7+3 = 10 วิธี จากตัวอย่างว่ามีวิธีการคิดต่างจากตัวอย่างอื่นๆอย่างไร

6. ตัวอย่างเกี่ยวกับการจัดเรียงตัวเลขตัวอย่างเกี่ยวกับการจัดเรียงตัวเลข 1) จำนวนเต็มบวกซึ่งมี 4 หลักมีทั้งหมดกี่จำนวน 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 พัน ร้อย สิบ หน่วย 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

7. ให้นักเรียนพิจารณาแต่ละหลัก ดังนี้ 10 จำนวน หลักหน่วยมีเลขที่เป็นไปได้กี่จำนวน 10 จำนวน หลักสิบมีเลขที่เป็นไปได้กี่จำนวน 10 จำนวน หลักร้อยมีเลขที่เป็นไปได้กี่จำนวน หลักพันมีเลขที่เป็นไปได้กี่จำนวน 9 จำนวน เพราะถ้าเป็นเลข 0 จะได้เลขเพียง 3 หลัก ดังนั้น จำนวนเต็มบวกซึ่งมี 4 หลัก มีทั้งหมด = 9 x 10 x 10 x 10 = 9,000 จำนวน

8. 2) จำนวนคี่บวกซึ่งมี 4 หลักมีทั้งหมดกี่จำนวน 1, 3, 5, 7, 9 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 พัน ร้อย สิบ หน่วย 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

9. โจทย์ข้อนี้มีเงื่อนไขอะไรเพิ่มเติมโจทย์ข้อนี้มีเงื่อนไขอะไรเพิ่มเติม จำนวนคี่ เลขจำนวนคี่ดูจากอะไร หลักหน่วยต้องเป็นเลขคี่ ให้นักเรียนพิจารณาแต่ละหลัก ดังนี้ 5 จำนวน หลักหน่วยมีเลขที่เป็นไปได้กี่จำนวน 10 จำนวน หลักสิบมีเลขที่เป็นไปได้กี่จำนวน 10 จำนวน หลักร้อยมีเลขที่เป็นไปได้กี่จำนวน 9 จำนวน หลักพันมีเลขที่เป็นไปได้กี่จำนวน ดังนั้น จำนวนคี่บวกซึ่งมี 4 หลัก มีทั้งหมด = 9 x 10 x 10 x 5 = 4,500 จำนวน

10. 3) จำนวนเต็มบวกซึ่งมี 4 หลักและหลักหน่วยเป็น 0 มีทั้งหมดกี่จำนวน 0 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 หลักพัน หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

11. โจทย์ข้อนี้มีเงื่อนไขอะไรเพิ่มเติมโจทย์ข้อนี้มีเงื่อนไขอะไรเพิ่มเติม หลักหน่วยต้องเป็น 0 ให้นักเรียนพิจารณาแต่ละหลัก ดังนี้ 1 จำนวน หลักหน่วยมีเลขที่เป็นไปได้กี่จำนวน 10 จำนวน หลักสิบมีเลขที่เป็นไปได้กี่จำนวน 10 จำนวน หลักร้อยมีเลขที่เป็นไปได้กี่จำนวน 9 จำนวน หลักพันมีเลขที่เป็นไปได้กี่จำนวน ดังนั้น จำนวนเต็มบวกซึ่งมี 4 หลักและหลักหน่วยเป็น 0 มีทั้งหมด = 9 x 10 x 10 x 1 = 900 จำนวน

12. 4) จากเลข 0 - 9 สามารถสร้างเลข 4 หลัก โดยห้ามใช้เลขซ้ำกัน ได้ทั้งหมดกี่จำนวน ห้ามใช้เลขซ้ำ โจทย์ข้อนี้มีเงื่อนไขอะไรเพิ่มเติม ใช้เลขได้ 7 ตัว เพราะใช้เลข ใน 3 หลักแรกไปแล้ว 3 ตัว ใช้เลขได้ 9 ตัว คือ 1-9 ยกเว้น 0 หลักพัน หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย ใช้เลขได้ 8 ตัว เพราะใช้เลขใน หลักพันและหลักร้อยไปแล้ว 2 ตัว ใช้เลขได้ 9 ตัว เพราะใช้เลข ในหลักพันไปแล้ว 1 ตัว ดังนั้น สามารถสร้างเลข 4 หลัก โดยห้ามใช้เลขซ้ำกัน ได้ทั้งหมด = 9 x 9 x 8 x 7 = 4,536 จำนวน

13. 5) จากเลข 0-9 สามารถสร้างจำนวนคู่ 4 หลัก โดยห้ามใช้เลขซ้ำกันได้ทั้งหมด กี่จำนวน โจทย์ข้อนี้มีเงื่อนไขอะไรเพิ่มเติม ห้ามใช้เลขซ้ำและเป็นจำนวนคู่ ต้องการเลขเป็นจำนวนคู่ ดังนั้น ต้องพิจารณาที่หลักหน่วยก่อน ซึ่งเลขที่ใช้ได้ คือ 0, 2, 4, 6, 8 ให้นักเรียนพิจารณาที่เลข 0 ถ้าเลข 0 อยู่ในหลักหน่วย หลักพันจะใช้เลขได้ 9 ตัว คือ 1- 9 แต่ถ้าเลข 0 ไม่อยู่ในหลักหน่วย หลักพันจะใช้เลขได้เพียง 8 ตัว คือ ยกเว้น 0 และเลขที่ใช้ในหลักหน่วย ดังนั้น ในการคิดต้องแบ่งกรณี ดังนี้

14. กรณีที่ 1 เลข 0 อยู่ในหลักหน่วย จะได้ ใช้เลขได้ 9 ตัว คือ 1-9 ยกเว้น 0 ได้ 1 จำนวน คือ 0 หลักพัน หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย ใช้เลขได้ 8 ตัว เพราะใช้เลขในหลัก พันและหลักหน่วยไปแล้ว 2 ตัว ใช้เลขได้ 7 ตัว เพราะใช้เลขในหลักพัน หลักร้อย และหลักหน่วย ไปแล้ว 3 ตัว ดังนั้น ได้จำนวนวิธี = 9 x 8 x 7 x 1 = 504 จำนวน

15. กรณีที่ 2 เลข 0 ไม่อยู่ในหลักหน่วย จะได้ ได้ 4 จำนวนคือ 2, 4, 6, 8 ใช้เลขได้ 8 ตัว คือยกเว้น 0 และเลขที่ใช้ในหลักหน่วยแล้ว หลักพัน หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย ใช้เลขได้ 8 ตัว เพราะใช้เลขในหลัก พันและหลักหน่วยไปแล้ว 2 ตัว ใช้เลขได้ 7 ตัว เพราะใช้เลขในหลักพัน หลักร้อย และหลักหน่วย ไปแล้ว 3 ตัว ดังนั้น ได้จำนวนวิธี = 8 x 8 x 7 x 4 = 1,792 จำนวน จากกรณีที่ 1 และ 2สามารถสร้างเลขจำนวนคู่ 4 หลัก โดยห้ามใช้เลขซ้ำกันได้ทั้งหมด = 504 + 1,792 =2,296 จำนวน จากตัวอย่างข้างต้นจะทำให้เห็นความแตกต่างระหว่างการใช้เลขซ้ำได้ กับการห้ามใช้เลขซ้ำ

16. แบบฝึกทักษะที่ 4 (ข) วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู่

17. 27.หนังสือเล่มหนึ่งมีทั้งหมด 60 หน้า มีที่พิมพ์ผิดทั้งหมดอยู่ 2 แห่ง อยากทราบว่าที่พิมพ์ผิดทั้ง 2 แห่งนี้จะอยู่ในหน้าหนังสือได้ ทั้งหมดกี่วิธี มีที่พิมพ์ผิดทั้ง 2 แห่ง อยู่หน้าเดียวกันได้ พิมพ์ผิด 2 พิมพ์ผิด 1 วิธี 60 60 จำนวนวิธีทั้งหมด 3,600 = มีที่พิมพ์ผิดทั้ง 2 แห่งไม่อยู่หน้าซ้ำกัน พิมพ์ผิด 2 พิมพ์ผิด 1 วิธี 3,540 60 59 = จำนวนวิธีทั้งหมด

18. 28. มีจดหมาย 5 ฉบับ จะทิ้งในตู้ไปรษณีย์ 7 ตู้ ได้กี่วิธี ถ้าจดหมายแต่ละฉบับ ไม่ซ้ำตู้กัน จำนวนวิธีทั้งหมดเท่ากับ ฉบับที่ 3 เลือก ทิ้งได้ 5 ตู้ ฉบับที่ 1 เลือก ทิ้งได้ 7 ตู้ ฉบับที่ 2 เลือก ทิ้งได้ 6 ตู้ ฉบับที่ 4 เลือก ทิ้งได้ 4 ตู้ ฉบับที่ 5 เลือก ทิ้งได้ 3 ตู้ วิธี

19. 29. มีผู้ชาย 5 คน ผู้หญิง 5 คน ทุกคนจะจับคู่เต้นรำในเพลงๆ หนึ่งได้กี่วิธี โดยผู้ชายต้องจับคู่กับผู้หญิง ข ก ค ง วิธีทำ จ A PUM MAY YU AOR ยุเลือกเป็น คนที่ 3 ดังนั้นยุเลือก ได้แค่ 3 คน นั่นคือ 3 วิธี อ้อเลือกเป็น คนที่ 4 ดังนั้นอ้อเลือก ได้แค่ 2 คน นั่นคือ 2 วิธี ปุ้มเลือกเป็น คนสุดท้าย ดังนั้นปุ้มเลือก ได้แค่ 1 คน นั่นคือ 1 วิธี เอเลือกเป็นคนแรก ดังนั้นเอสามารถเลือก ก, ข, ค, ง, จ ได้ นั่นคือเลือกได้ 5 วิธี เมย์เลือกเป็นคนที่ 2 ดังนั้นเมย์จะเลือก ได้แค่ 4 คน นั่นคือเลือกได้ 4 วิธี ดังนั้น มีวิธีจับคู่ทั้งหมด 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 วิธี

20. 30. ชาย 4 คน หญิง 4 คน ยืนสลับกันแบบชาย 2 คน หญิง 2 คน เป็นแถวยาว ได้กี่วิธี ที่ตำแหน่งที่2ผู้ชายยืนได้3 เพราะว่าที่ตำแหน่งแรกมีคนยืนแล้ว 3 2 1 2 1 = 576 3 4 4 ที่ตำแหน่งที่1 ผู้ชายยืนได้4 คน ช ชญ ญช ชญ ญ วิธีทำ กรณี 1 ชายเป็นหัวแถว ตำแหน่งการยืน 4 3 2 1 2 1 3 4 จำนวนวิธีในกรณีที่ชายเป็นหัวแถว ที่ตำแหน่งที่4ผู้หญิงยืนได้3 คนเพราะว่าที่ตำแหน่ง3มีคนยืนแล้ว ที่ตำแหน่งที่3ผู้หญิงยืนได้4 คน ญ ญช ชญ ญช ช กรณี 2 หญิงเป็นหัวแถว 43 43 21 21 จำนวนวิธีในกรณีที่หญิงเป็นหัวแถวมีจำนวนเท่ากับ 576 ดังนั้นจำนวนวิธีในการยืนทั้งหมดเท่ากับ576+576=1152 วิธี

21. 31. จะมีวิธีที่นำชาย 4 คน หญิง 4 คน มาเรียงแถวสลับกันแบบชาย 2 คน หญิง 2 คน โดยชายต้องยืนหัวแถว วิธีทำ เนื่องจากโจทย์กำหนดให้ชายต้องยืนหัวแถว จะเห็นว่าเหมือนข้อ 4 เพียงแต่กำหนดมาเลยว่าชายต้องยืนหัวแถวเท่านั้น ช ชญ ญ ชชญ ญ ตำแหน่ง การยืน 4 3 4 3 2 1 2 1 = 576 ดังนั้น จะได้จำนวนวิธีทั้งหมด = 576 วิธี

22. 32. กำหนดเซตของตัวเลขทั้งหมด 0 , 1 , 2 , …, 9 จงสร้างเลข 5 หลัก โดยใช้ เลขซ้ำกันได้ ร้อยสิบหน่วย หมื่น พัน จำนวน -- สร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน 1,2,3,4,5,6,7,8,9 เป็น 0 ไม่ได้เพราะถ้าเป็น 0 จะไม่ได้ 5 หลัก 9 10 10 10 10 ดังนั้นสร้างได้ทั้งหมด

23. 6.(ต่อ) กำหนดเซตของตัวเลขทั้งหมด 0 , 1 , 2 , …, 9 จงสร้างเลข 5 หลัก โดยใช้ เลขซ้ำกันได้ หมื่น พัน ร้อยสิบหน่วย 10 10 10 จำนวน -- สร้างเลขคี่ได้ทั้งหมดกี่จำนวน 9 5 1,2,3,4,5,6,7,8,9 เป็น 0 ไม่ได้ เลขคี่ คือ1,3,5,7,9 ดังนั้นสร้างได้ทั้งหมด

24. (ต่อ) กำหนดเซตของตัวเลขทั้งหมด 0 , 1 , 2 , … , 9 จงสร้างเลข 5 หลัก โดยใช้ เลขซ้ำกันได้ หมื่น พัน ร้อยสิบหน่วย 10 10 10 จำนวน -- สร้างเลขคู่ได้ทั้งหมดกี่จำนวน 9 5 1,2,3,4,5,6,7,8,9 เป็น 0 ไม่ได้ เลขคู่ คือ 0,2,4,6,8 ดังนั้นสร้างได้ทั้งหมด

25. 33. กำหนดเซตของตัวเลขทั้งหมด 0 , 1 , 2 , …, 9 จงสร้างเลข 5 หลัก โดยใช้ เลขซ้ำกันไม่ได้ ร้อยสิบหน่วย หมื่น พัน จำนวน -- สร้างได้ทั้งหมดกี่จำนวน 9 9 8 7 6 1,2,3,4,5,6,7,8,9 เป็น 0 ไม่ได้ จากเลข 10 ตัวใช้ไป 1 ตัวเหลือ 9 ตัว จากเลข 10 ตัวใช้ไป 2 ตัวเหลือ 8 ตัว จากเลข 10 ตัวใช้ไป 3 ตัวเหลือ 7 ตัว จากเลข 10 ตัวใช้ไป 4 ตัวเหลือ 6 ตัว ดังนั้นสร้างได้ทั้งหมด

26. 34. กำหนดเซตของตัวเลข 1,2,…,9 จงสร้างเลข 5 หลัก โดยใช้เลขซ้ำกันได้ จำนวนวิธีทั้งหมด 9 9 9 9 9 = 59049 จำนวน -จำนวนวิธีทั้งหมดที่สร้างได้ หลักที่1 2 3 4 5 จำนวนตัวเลขที่ สามารถลงได้ 9 9 9 9 9 สบาย สบาย ยังมีต่อนะครับ

27. 34.(ต่อ) กำหนดเซตของตัวเลข 1,2,…,9 จงสร้างเลข 5 หลัก โดยใช้เลขซ้ำกันได้ 9 9 9 9 5 -สร้างเลขคี่ได้ทั้งหมดกี่จำนวน ( ในแต่ละหลักสามารถซ้ำได้) 1,3,5,7,9 หลักที่ 1 2 3 4 5 จำนวนตัวเลขที่ สามารถลงได้ 5 9 9 9 9 สามารถสร้างเลขคี่ได้ทั้งหมด = 32805 จำนวน

28. 34.(ต่อ) กำหนดเซตของตัวเลข 1,2,…,9 จงสร้างเลข 5 หลัก โดยใช้เลขซ้ำกันได้ 9 9 9 9 4 อย่าพึ่งขี้เกียจนะ มอ....... -สร้างเลขคู่ได้ทั้งหมดกี่จำนวน 2,4,6,8 หลักที่ 1 2 3 4 5 จำนวนตัวเลขที่ สามารถลงได้ 4 9 9 9 9 สามารถสร้างเลขคู่ได้ทั้งหมด = 26244 จำนวน

29. 34.(ต่อ) กำหนดเซตของตัวเลข 1,2,…,9 จงสร้างเลข 5 หลัก โดยใช้เลขซ้ำกันได้ 9 9 9 9 = 9 9 9 9 1 -สร้างเลขที่หารด้วย 5 ลงตัว มี 5 เพียงตัวเดียว หลักที่ 1 2 3 4 5 จำนวนตัวเลขที่ สามารถลงได้ 1 สามารถสร้างเลขที่หารด้วย 5 ลงตัว ได้ทั้งหมด = 6561 จำนวน

30. 35 . กำหนดเซตของตัวเลข 2,3,5,6,7,9 9.1 จงสร้างเลข 3 หลัก ไม่ซ้ำกัน สามารถเลือกตัวเลขได้ 6 จำนวน คือ 2,3,5,6,7,9 หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย สามารถเลือกตัวเลขได้ 4 จำนวน เพราะใช้ในหลักร้อยและหลักสิบไปแล้ว สามารถเลือกตัวเลขได้ 5 จำนวน เพราะใช้ในหลักร้อยไปแล้ว 1 จำนวน ดังนั้น จำนวนวิธีในการสร้างเลข 3 หลัก = x 6 x 5 4 = 120 จำนวน

31. 35 . กำหนดเซตของตัวเลข 2,3,5,6,7,9 35.2 จงสร้างเลข 3 หลัก ไม่ซ้ำกันและเลขที่สร้างมีค่าน้อยกว่า 400 สามารถเลือกตัวเลขได้ 2 จำนวน คือ 2 , 3 ไม่สามารถเลือก 5,6,7,9ได้ เพราะมีเงื่อนไขว่าต้อง น้อยกว่า 400 หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย สามารถเลือกตัวเลขได้ 4 จำนวน เพราะใช้ในหลักร้อยและหลักสิบไปแล้ว สามารถเลือกตัวเลขได้ 5 จำนวน เพราะใช้ในหลักร้อยไปแล้ว 1 จำนวน ดังนั้น มีจำนวนที่น้อยกว่า 400 อยู่ = x 2 x 5 4 = 40 จำนวน

32. 35 . กำหนดเซตของตัวเลข 2,3,5,6,7,9 35.3 จงสร้างเลข 3 หลัก ไม่ซ้ำกันและเป็นเลขคู่ ต้องสร้างเลขคู่ นั่นคือ หลักหน่วยต้องเป็นเลขคู่ ดังนั้น สามารถเลือกตัวเลขได้ 2 จำนวน คือ 2 , 6 สามารถเลือกตัวเลขได้ 4 จำนวน เพราะใช้ในหลักหน่วยและหลักสิบไปแล้ว หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย สามารถเลือกตัวเลขได้ 5 จำนวน เพราะใช้ในหลักหน่วยไปแล้ว 1 จำนวน ดังนั้น มีจำนวนที่เป็นเลขคู่อยู่ = x 2 x 5 4 = 40 จำนวน

33. 35 . กำหนดเซตของตัวเลข 2,3,5,6,7,9 35.4 จงสร้างเลข 3 หลัก ไม่ซ้ำกันและเป็นเลขคี่ ต้องสร้างเลขคี่ นั่นคือ หลักหน่วยต้องเป็นเลขคี่ ดังนั้น สามารถเลือกตัวเลขได้ 4 จำนวน คือ 3 , 5 , 7 , 9 สามารถเลือกตัวเลขได้ 4 จำนวน เพราะใช้ในหลักหน่วยและหลักสิบไปแล้ว หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย สามารถเลือกตัวเลขได้ 5 จำนวน เพราะใช้ในหลักหน่วยไปแล้ว 1 จำนวน ดังนั้น มีจำนวนที่เป็นเลขคู่อยู่ = x 4 x 5 4 = 40 จำนวน

34. 35 . กำหนดเซตของตัวเลข 2,3,5,6,7,9 35.5 จงสร้างเลข 3 หลัก ไม่ซ้ำกันและเป็นจำนวนที่ 5 หารลงตัว จำนวนที่ 5 หารลงตัวต้องมี หลักหน่วยเป็น 0 หรือ 5 จากโจทย์สามารถเลือกตัวเลขได้ 1 จำนวน คือ 5 สามารถเลือกตัวเลขได้ 4 จำนวน เพราะใช้ในหลักหน่วยและหลักสิบไปแล้ว หลักร้อย หลักสิบ หลักหน่วย สามารถเลือกตัวเลขได้ 5 จำนวน เพราะใช้ในหลักหน่วยไปแล้ว 1 จำนวน ดังนั้น จำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัวมีทั้งหมด= 1 x x 5 4 = 40 จำนวน

35. 36. กำหนดเซตของตัว { 1,2,3,4 } เราสามารถสร้างจำนวนเต็มบวกได้ทั้งหมดกี่จำนวนถ้าตัวเลขใช้ไม่ซ้ำกัน สามารถเลือกได้ 4 ตัว คือ 1,2,3,4 4 จำนวน สามารถเลือกได้ 4 ตัว คือ 1,2,3,4 จำนวนเต็มบวกหลักเดียว 43=12 จำนวนเต็มบวกสองหลัก 12 จำนวน สามารถเลือกได้ 4 ตัว คือ 1,2,3,4 สามารถเลือกได้ 3ตัว เพราะใช้ไปแล้ว 1 ตัว สามารถเลือกได้ 3ตัว เพราะใช้ไปแล้ว 1 ตัว สามารถเลือกได้ 1ตัว เพราะใช้ไปแล้ว 3 ตัว จำนวนเต็มบวกสามหลัก 43 2=24 24 จำนวน สามารถเลือกได้ 4 ตัว คือ 1,2,3,4 สามารถเลือกได้ 2ตัว เพราะใช้ไปแล้ว 2 ตัว สามารถเลือกได้ 3ตัว เพราะใช้ไปแล้ว 1 ตัว 43 2 1=24 จำนวนเต็มบวกสี่หลัก 24 จำนวน สามารถเลือกได้ 2ตัว เพราะใช้ไปแล้ว 2 ตัว ดังนั้นสามารถสร้างจำนวนเต็มบวกได้ทั้งหมด = 4+12+24+24 =64 วิธี

36. 37 . จงหาว่าจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 100 และ 1000 โดยที่แต่ละหลักไม่ซ้ำกันมีกี่จำนวน เนื่องจากว่าจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 100 และ 1000 เป็นเลข 3 หลัก ดังนั้นจะได้ว่า ใช้เลขได้ 9 ตัว คือ 1-9 ยกเว้น 0 ใช้เลขได้ 8 ตัว เพราะ ใช้เลขไปแล้ว 2 ตัว ใช้เลขได้ 9 ตัว เพราะ ใช้เลขไปแล้ว 1 ตัว ดังนั้นสามารถสร้างจำนวนได้ทั้งหมด 9 × 9 × 8 =648 วิธี

37. 38. จะมีเลขจำนวนเต็มกี่ตัวระหว่าง 1000 กับ 9999 ที่มีเลข 3 ปนอยู่ สามารถเลือกได้ 9 ตัวที่ไม่ใช่เลข 3 สามารถเลือกได้ 9 ตัวที่ไม่ใช่เลข 3 สามารถเลือกได้ 9 ตัวที่ไม่ใช่เลข 3 หลักพันเลือกได้ 1 ตัว คือเลข 3 หลักร้อยเลือกได้ 1 ตัว คือเลข 3 เลข 3 เลข 3 หลักสิบเลือกได้ 1 ตัว คือเลข 3 หลักหน่วยเลือกได้ 1 ตัว คือเลข 3 เลข 3 เลข 3 _ _ _ _ คือ  มีเลข 3 ปนอยู่ 4 หลัก = 1 จำนวน คือ 3333 สามารถเลือกได้ 8 ตัว ที่ไม่ใช่เลข 3 และ เลข 0 เลข 3 1 1 1 1 เลข 3 สามารถเลือกได้ 9 ตัว ที่ไม่ใช่เลข 3 เลข 3 เลข 3 = 9 จำนวน  มีเลข 3 ปนอยู่ 3 หลัก เลข 3 คือ 1 1 1 9 เลข 3 เลข 3 เลข 3 เลข 3 สามารถเลือกได้ 9 ตัว ที่ไม่ใช่เลข 3 คือ 1 1 9 1 = 9 จำนวน เลข 3 = 9 จำนวน คือ 1 9 1 1 คือ 8 1 1 1 = 8 จำนวน นำแต่ละวิธี มาบวกกัน คือ 1 1 9 9 สามารถเลือกได้ 9 ตัว ที่ไม่ใช่เลข 3 = 81 จำนวน  มีเลข 3 ปนอยู่ 2 หลัก สามารถเลือกได้ 9 ตัว ที่ไม่ใช่เลข 3 = 81 จำนวน คือ 1 9 9 1 จากการอธิบายลักษณะเดียวกับข้างต้น คือ 1 9 1 9 ได้ทั้งหมด 3168 จำนวน = 81 จำนวน เลข 3 สามารถเลือกได้ 9 ตัว ที่ไม่ใช่เลข 3 คือ 8 1 9 1 = 72 จำนวน คือ 8 9 1 1 = 72 จำนวน จะได้ = 72 จำนวน คือ 8 1 1 9 คือ 1 9 9 9 = 729 จำนวน  มีเลข 3 ปนอยู่ 1 หลัก = 648 จำนวน คือ 8 1 9 9 คือ 8 9 1 9 = 648 จำนวน คือ 8 9 9 1 = 648 จำนวน ดังนั้น มีจำนวนเต็มระหว่าง 1000 กับ 9999 ที่มีเลข 3 ปนอยู่ทั้งหมด 3168 จำนวน

38. 39. ชายคนหนึ่งได้ตัวเลขมา 5 ตัว 1,3,4,6,8 เอามาเรียงเพื่อซื้อฉลากกินแบ่งเลขท้าย 3 ตัว ราคาใบละ 10 บาท ปรากฏว่าถูกรางวัลเลขท้าย 3 ตัวได้รับรางวัล 1000 บาทอยากทราบว่าชายคนนี้กำไรหรือขาดทุน = 5 5 5 จำนวนรางวัลเลขท้ายที่เป็นไปได้ เลขท้ายตัวที่ 1 2 3 5 5 5 สามารถเลือกเลขได้ 5 ตัว สามารถเลือกเลขได้ 5 ตัว สามารถเลือกเลขได้ 5 ตัว ดังนั้น มีจำนวนเลขท้ายที่เป็นไปได้ = 125 นั่นคือต้องซื้อฉลากกินแบ่ง 125 ใบ เป็นเงิน 125 10 = 1250 บาท แต่ถูกรางวัลได้เงินมา 1000 บาท ดังนั้นขาดทุน 1250 - 1000 = 250 บาท

39. 40. ป้ายทะเบียนรถประกอบด้วยภาษาอังกฤษและตัวเลขดังนี้ ตัวอักษร ( 26 ) ตัวเลข ( 10 ตัว ) จะสร้างทะเบียนรถได้ทั้งหมดกี่คัน ( ตัวอักษรและตัวเลขสามารถซ้ำได้ ) 26 26 26 10 10 10 ดังนั้นจำนวนวิธีในการสร้าง = 26 x x 26 26 x 10 x x 10 10 = 1,757,6000 คัน