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《 数学实验 》 4. 符号变量与符号表达式 微积分基本运算 级数求和与泰勒展开式 常微分方程符号解. . 符号变量的定义. syms 符号变量 1 符号变量 2 … 例 1. 将 函数 f= y e – x 和 y = sin (x) 进行复合 , 并指定 t 为新的自变量 . syms x y t; f=y*exp(-x); g=sin(x); compose(f,g,y,x,t) ans=sin(t)*exp(-t). 例 2. 转换数值变量为符号变量
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《 数学实验》4 符号变量与符号表达式 微积分基本运算 级数求和与泰勒展开式 常微分方程符号解
符号变量的定义 syms符号变量1 符号变量2 … 例1. 将函数f= ye – x和y =sin(x) 进行复合,并指定t为新的自变量. syms x y t; f=y*exp(-x); g=sin(x); compose(f,g,y,x,t) ans=sin(t)*exp(-t) 例2.转换数值变量为符号变量 A=[1/3,1/4;1/5,1/7] B=sym(A) B = [ 1/3, 1/4] [ 1/5, 1/7] 2/22
符号表达式的创建 ①f=sym('表达式'） 例如： f=sym('a*x^2+b*x+c') ②syms 符号变量1 符号变量2 … f=表达式 例3：求f=1/sin(x)的反函数. f=sym(‘1/sin(x)’); finverse(f) ans= asin(1/x) 例4.符号多项式运算 syms x f=2*x^2+3*x-5;g=x^2+x-7; h1 = f+g,h2 = expand(f*g ) factor(h2) h1=3*x^2+4*x-12 h2 = 2*x^4+5*x^3- 16*x^2-26*x+35 ans =(x-1)*(2*x+5)* (x^2+x-7) 3/22
符号表达式中变量替换 A1=subs(A, ‘old’, ‘new’)修改表达式 用‘new’置换符号表达式A中的’old’ 得到新的符号表达式A1。 例5. 求符号多项式的值 syms a x f=a*x^2+3*x+4； f1=subs(f,a,2) subs(f1,x,5) f1 = 2*x^2+3*x+4 ans = 69 4/22
将符号矩阵转化为数值矩阵 调用格式：double(A) numeric(A) 例6. A=sym([1/3,2/5;10/7,2/5]) numeric(A) A = [ 1/3, 2/5] [ 10/7, 2/5] ans = 0.3333 2.5000 1.4286 0.4000 5/22
复杂表达式的化简 syms x y z a b c f=(x+y)*(a+b^c)^z/(x+a)^2 pretty(f) • 常用化简命令: • 降幂排列:collect(P,x); 2. 展开:expand(P); • 3.重叠: horner(P); 4. 因式分解: factor(P); • 5. 化简: simplify(P) 6/22
微积分基本运算 • limit(f,x,a) —求f表达式在x->a时的极限 • limit(f,x,a,’right(left)’) —求单侧极限 • diff(f) — 对缺省变量求微分 • diff(f,v) — 对指定变量v求微分,适用对多元 函数求偏导数 • diff(f,v,n) —对指定变量v求n阶微分 7/22
int(f) — 对f表达式的缺省变量求积分 • int(f,v) — 对f表达式的v变量求积分 • int(f,v,a,b) — 对f表达式的v变量在（a,b)区间求 定积分 • quad(f,v,a,b) — 对f表达式的v变量在（a,b)区间 求数值积分 例7.求极限 syms x; limit((x-2)/(x^2-4),2) ans=1/4 8/22
例8. 验证对k=1,2,3,4成立 [diff(sin(x),1),sin(x+pi/2)] ans =[ cos(x), cos(x)] [diff(sin(x),2),sin(x+pi)] ans =[ -sin(x), -sin(x)] [diff(sin(x),3),sin(x+3*pi/2)] ans = [ -cos(x), -cos(x)] [diff(sin(x),4),sin(x+2*pi)] ans =[ sin(x), sin(x)] 9/22
例9.计算f = 1/(5+4cos(x)) 关于x的导数 syms x f=1/(5+4*cos(x)) ezplot(f) f1=diff(f,x,1) ezplot(f1) int(f1) ans = 1/(5+4*cos(x)) 10/22
例10. 计算不定积分 syms x int('exp(a*x)*sin(b*x)') g=simplify(ans) g = exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x))/(a^2+b^2) diff(g) f=simplify(ans) f = exp(a*x)*sin(b*x) 11/22
例11.绘函数(a = 1, b = 3 )在 [0,3.2]上的图形. 并计算 syms a b x f=exp(a*x)*sin(b*x) f1=subs(f,a,1),f1=subs(f1,b,3) ezplot(f1,0,3.22) F1=simplify(int(f1,1,2)) double( F1 ) ans = -3.1806 12/22
计算定积分: 例12. f=inline('exp(x).*sin(3*x)') quad(f,1,2) ans = -3.1806 13/22
例13.求函数 的渐近线、 极值、拐点，并作图. syms x n=3*x^2+6*x-1； d=x^2+x-3; f=n/d; limit(f,inf) ans=3 roots=solve(d) roots=[-1/2+1/2*13^(1/2)] [-1/2-1/2*13^(1/2)] 14/22
ezplot(f) hold on plot([-2*pi 2*pi],[3 3],’g’) plot(double(roots(1))*[1 1],[-5 10],’r’) plot(double(roots(2))*[1 1],[-5 10],’r’) title(‘水平渐近线和垂直渐近线’) hold off 15/22
f1=diff(f); c=solve(f1) ans= [-8/3-1/3*13^(1/2)] [-8/3+1/3*13^(1/2)] ezplot(f) hold on plot(double(c),double(subs(f,c)),’ro’) title(‘函数的极大值和极小值’) text(-5.5,3.2,’局部极小值’) text(-2.5,2,’局部极大值’) hold off 16/22
f2=diff(f1); q=solve(f2); double(q) ans=-5.2635 -1.3682-0.8511i -1.3682+0.8511i q=q(1); ezplot(f,[-9 6]) hold on plot(double(q),double(subs(f,q)),’ro’) title(‘函数的拐点’) text(-7,2,’拐点’) hold off 17/22
级数求和运算 S=symsum(f，n，a，b) 例14.计算级数 syms k n S=symsum(k,k,1,n)；S1=simple(S) S1 =1/2*n*(n+1) S=symsum(k^2,k,1,n);S2=simple(S) S2 =1/6*n*(n+1)*(2*n+1) 18/22
泰勒级数展开 taylor(f,n,x) —将函数f在原点展开为自变量x的 n-1次麦克劳林多项式. taylor(f,n,x,a) —将函数f在a点展开为自变量x 的n-1次泰勒多项式.其结果为: 19/22
例15.将函数 展开为7次麦克劳林多 项式. syms x f=1/(5+4*cos(x)) T=taylor(f,8) ans= 1/9+2/81*x^2+5/1458*x^4+49/131220*x^6 20/22
微分方程符号解 命令格式：dsolve(‘eq1’,···,’con1’,···,’x’) y的一阶导数—— Dy, y的二阶导数—— D2y y = dsolve('Dy=1/(1+x^2)-2*y^2','y(0) = 0','x') y = 2*x/(2*x^2+2) 符号解： y(x)= x / (1 + x 2) 21/22
例16 P’ =0.02P ( 1 – P/500) 初始条件: P(0)=76 syms P t P=dsolve('DP=0.02*P*(1-P/500)','P(0)=76') P = 500/(1+106/19*exp(-1/50*t)) ezplot(P,0,200),pretty(P) 500 --------------------- 106 1 + --- exp(- 1/50 t) 19 22/22
