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觀測量的權

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觀測量的權 - PowerPoint PPT Presentation


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觀測量的權. 權的觀念與計算. 緒言. 觀測量含有誤差,而各觀測量的誤差大小也不相同。 為了滿足某些幾何條件,各觀測量必須加以改正。 就誤差理論而言,誤差大的其改正量也要大,誤差小的則改正量小。 觀測量的權是在比較與其他觀測量的相對價值的一種指標。權是用來在平差中控制觀測量改正的大小量。 精度愈高的權愈大,反之則權愈小。 因此,權與變異數成反比。換言之,改正量的大小與權成反比。 權是相對的,因此,協變方矩陣中的變異數與協變方,可以用餘因子 (cofactor) 代替。其關係式如下. 第 ij 個觀測量的餘因子. 參考變異數,用來決定比例. 緒言.

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slide1

觀測量的權

權的觀念與計算

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緒言
  • 觀測量含有誤差,而各觀測量的誤差大小也不相同。
    • 為了滿足某些幾何條件,各觀測量必須加以改正。
    • 就誤差理論而言,誤差大的其改正量也要大,誤差小的則改正量小。
  • 觀測量的權是在比較與其他觀測量的相對價值的一種指標。權是用來在平差中控制觀測量改正的大小量。
    • 精度愈高的權愈大,反之則權愈小。
    • 因此,權與變異數成反比。換言之,改正量的大小與權成反比。
  • 權是相對的,因此,協變方矩陣中的變異數與協變方,可以用餘因子(cofactor)代替。其關係式如下

第ij個觀測量的餘因子

參考變異數,用來決定比例

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緒言
  • 餘因子矩陣Q可寫為
    • 其中為協變方矩陣
  • 因此,權矩陣為

在非相關觀測量中權矩陣為對角矩陣

可用單位權(觀測量)變異數取代

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加權平均值
  • 觀測兩次,其中一次是另一次的二倍好,若較差的那一次的權值為1,則較好的那一次的權值應為2。
    • 在計算平均值時,權值為2的觀測量應被加兩次,而權值為1的觀測量則被加1次,再除以總次數3。
      • 例如,以EDM丈量距離其精度為以捲尺丈量的兩倍,以EDM丈量的結果為152.5m,而以捲尺丈量良的結果為151.9m,則其加權平均值為
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加權平均值
  • 假設z有m個獨立的觀測量zi,每個觀測量的標準差為σ,則觀測量平均值為
  • 若將觀測量分成兩組,一組的數量為ma另一組的數量為mb,且m=ma+mb,則平均值為
  • 總平均值則為
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加權平均值

第十章將證明加權平均為一組加權觀測之最或是值

例9.1 假設一段距離d量測三次,得下列結果:92.61, 權為3、92.60, 權為2、92.62, 權為1;試計算其權平均。

解:加權均值為

若忽略權,則三個量測之簡單平均值為:92.61

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權與標準差的關係

由誤差傳播定律知

將對各觀測量的偏導數值代入,得

同理,得

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權與標準差的關係

(9.15)與(9.16)二式中,為常數,由(9.13)式, 與 之權分別為ma與mb,而因權為相對的,故由(9.15)與(9.16)二式,可得:

可得結論:對非相關之觀測量,權與量測之變方成反比。

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加權觀測量的統計學
  • 標準偏差
    • 由定義知,當某觀測量的精度等於w個單位權觀測量的平均值時,則該觀測量的權為w。
      • 假設σ0為單位權的標準誤差,若y1、y2、…、yn維觀測量,其標準差分別為σ1、 σ2、…、 σn,權則分別為w1、w2、…、wn,則由(9.5)式,可得
slide10
加權觀測量的統計學

因為等權的標準誤差為

不等權的標準誤差則為

標準偏差則為

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加權觀測量的統計學
  • 權為w的標準誤差與加權平均的標準誤差

由權與變異數關係知

同理得標準偏差

slide12
加權觀測量的統計學

若令上式分母中的權為1,則得加權觀測量的單位權標準偏差(參考標準偏差)S0

加權平均的參考標準誤差與標準偏差分別為

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角度量測的權

在觀測條件相同下,某平面三角形的三個內角:α1、α2與α3,分別被量測了n1、n2與n3。那麼這些角度的相對權為若干?

為分析權與角度觀測次數之間關係,設S為角度單一觀測之標準偏差,三個角度之平均值如下:

平均值的變異數為

因觀測量的權與觀測變異數成反比,且為相對的,故三個角度的權為:

權與觀測次數成正比

slide14

BM A=100.00

(1)

(2)

(3)

BM X

水準網

逐差水準測量的權

右圖所示為水準網,水準線1、2與3的長度分別為2公里、3公里與4公里。

水準線長度不同,其相應的高差誤差也會不相同,因此各水準線的權也會不同。而其相對權應為若干?

因為逐差水準測量高差的標準誤差為

同一水準線為常數

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逐差水準測量的權

因此,3條水準線的權分別為:

因為權是相對的

直接水準測量的權與其線長成反比。而水準線長度與其擺設儀器次數成正比,所以權與儀器設站次數成反比

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實例

例9.2 若三角形ABC之三個角由同一個人,利用相同儀器觀測,觀測成果為:A=45º15’25", n=4, B=83º37’22", n=8, C=51º07’39", n=6;試平差改正這些角度。

解:如表9.1所示,根據觀測次數來給定權,改正數則與權成反比;三個角度量測值的和為180º00’26”,故閉合差為26”;在第三欄之改正因子裡,為計算方便且避開分數,將改正因子乘以24,而因權為相對者,故此並不影響改正。最後一列各項總和可用來重複檢核。

slide17
實例

例9.3 類似圖9.1之水準網,水準線(1), (2), (3)之線長分別為2, 3, 4公里,若三段線之觀測高差分別為:±2.120m, ±2.123m, ±2.129m,求各段高差之加權平均,與水準點BMX之高程(每一段均自BMA測至BMX)。

解:水準線(1), (2), (3)之權分別為1/2, 1/3, 1/4,又因權為相對者,上列權可乘上任意數12而得:6, 4, 3,再應用(9.13)式,高差之加權平均為:

故BMX之高程=100.000+2.123=102.123m;若不考慮加權平均,僅求簡單平均,則平均高差變為2.124m。

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實例

例9.4 利用布卷尺量得一段距離為190.741m,權設為1;又用鋼卷尺量得為190.716m,權設為2;再用EDM量得為190.710m,權設為4。試求線長之最或是值(即加權平均)與加權平均值之標準偏差。

解:

加權平均

其中

v1=190.716190.741=0.025 w1v12=1(0.025)2=0.00062

v2=190.716190.716= 0.000 w2v22=2( 0.000)2=0.000000

v3=190.716190.710=+0.006 w3v32=4(+0.006)2=0.000144

wv2=0.000769

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實例

例9.5 若自水準點A測至B,共四條不同之路線,資料如表9.2所示,為計算方便,權計算成18/li,試求高差之最或是值(加權平均)、加權平均之標準偏差、與加權觀測之標準偏差。

解:

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實例

若僅求簡單平均,則平均高差變為7.730m。

標準偏差

加權平均標準偏差

加權觀測量的標準偏差

slide21
作業
  • 9.2、9.8、9.9