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5 二次型

5 二次型. §1 二次型及其标准形. 对应. 对应. 投影变换. 例 2 阶方阵. 例 2 阶方阵. 以原点为中心逆时针 旋转 j 角 的 旋转变换. 解析几何中,二次曲线的一般形式 ax 2 + bxy + cy 2 = 0 通过选择适当的的旋转变换 使得 mx' 2 + ny' 2 = 0 . 定义: 含有 n 个变量 x 1 , x 2 , …, x n 的二次齐次函数 称为 二次型 .. 一、二次型.

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5 二次型

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  1. 5 二次型 §1 二次型及其标准形

  2. 对应 对应 投影变换 例2阶方阵 例2阶方阵 以原点为中心逆时针 旋转j 角的旋转变换

  3. 解析几何中,二次曲线的一般形式 ax2 + bxy + cy2 = 0 通过选择适当的的旋转变换 使得 mx' 2 + ny' 2 = 0 . 定义:含有 n个变量 x1, x2, …, xn的二次齐次函数 称为二次型. 一、二次型

  4. 令 aij = aji,则 2aijxi xj = aijxi xj+ ajixi xj,于是

  5. 对称阵

  6. 对称阵的 二次型 二次型 的矩阵 对称阵A 的秩也叫做二次型f 的秩. 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.

  7. 例1 (1)已知二次型 , 试写出f 的矩阵A,并求f的秩。 (2)写出矩阵 对应的二次型。 解 (1) 由于R(A)=3,所以f 的秩为3

  8. (2) 令 ,由于 , 所以,B对应的二次型为:

  9. 二、线性变换 非退化的线性变换 对于二次型,寻找可逆的线性变换 使二次型只含平方项,即 f = k1y12 + k2y22 + … + knyn2 定义:只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式). 如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn只在−1,0,1三个数中取值, 即f = y12 + … + yp2 −yp+12− … −yr2 则上式称为二次型的规范形. 说明:这里只讨论实二次型,所求线性变换也限于实数范围. 简记为x = C y , 于是f = xTAx =(C y)T A (C y) = yT(CTAC) y

  10. 定义:设 A, B都是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵P满足 P−1AP = B , 则称矩阵A和 B 相似.(P.100定义1) 定义:设 A, B都是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵C满足 CTAC = B , 则称矩阵A和 B 合同.(P.113定义3) 显然, • BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B 即若 A为对称阵,则 B也为对称阵. • R(B) = R(A) . 经过非退化线性变换后,二次型 f的矩阵由 A变为与 A合同 的矩阵CTAC,且二次型的秩不变.

  11. 若二次型 f 经过非退化线性变换x = C y 变为标准形,即 问题:对于对称阵 A,寻找可逆矩阵 C,使 CTAC 为对角阵, (把对称阵合同对角化).

  12. 定义:如果n 阶矩阵A 满足 ATA = E,即A−1 = AT, 则称矩阵A为正交矩阵,简称正交阵. 定理:设A 为 n 阶对称阵,则必有正交阵 P,使得 P−1AP= PTAP = L, 其中 L是以 A的 n个特征值为对角元的对角阵(不唯一). (P.105定理3) 定理:任给二次型 f (x)= xTAx(其中A = AT) ,总存在 正交变换x = P y,使 f化为标准形 f (P y) = l1y12 + l2y22 + … + lnyn2 其中 l1 , l2 , … , ln 是 f 的矩阵 A的特征值. 推论:任给二次型 f (x)= xTAx(其中A = AT) ,总存在 可逆变换x = C z,使 f (Cz) 为规范形.

  13. 推论:任给二次型 f (x)= xTAx(其中A = AT) ,总存在 可逆变换x = C z,使 f (C z) 为规范形. 证明:f (P y) = l1y12 + l2y22 + … + lnyn2 若R(A) = r,不妨设 l1,l2,…, lr不等于零, lr+1 = … = ln =0, 令 则 K可逆,变换 y = Kz 把 f (P y) 化为 f (PKz) = (PKz)TA (PKz) = zTKTPTAPKz = zTKTΛKz 其中

  14. 例2:求一个正交变换 x = P y,把二次型 f = -2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 化为标准形. 解:二次型的矩阵 根据§4.4例题的结果,有正交阵 使得 于是正交变换 x = P y把二次型化为标准形 f = -2y12 + y22 + y32

  15. 如果要把 f化为规范形,令 ,即 可得 f的规范形:f = -z12 + z22 + z32

  16. 作 业 P114 1.(3); 3.(2); P120 3.(1);

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