Чист о пън и натиск

1. Чист опън и натиск 1. Въведение Чист опън (натиск) имаме, когато единственотовътрешно усилие е нормална сила (N0). Когато N>0 натоварването наричаме опън, а когато N<0 - натиск. Опън и натиск се различават формално по знакаси само за къси пръти. При дълги натиснати пръти може да възникне загуба на устойчивост. Това явление ще разгледаме по-късно. За сега ще считаме, че в натиснатите пръти няма опасност от загуба на устойчивост.

2. d Р Р d чист опън d Р Р чист опън Външните сили създаващи опъна или натиска могат да бъдат приложени по различен начин. Съгласно принципа на Сен-Венан конкретните особености на приложение на силите се разпространяват по оста на пръта на един характерен размер. Изчислителната схема изключва тези особени зони. фиг.1

3. N=xdF=P Р F- напречно сечение м2 2. Напрежения и деформации • Опитно е установено и с помощта на Теория на еластичността е потвърдено, че при чист опън (натиск) напречните сечения остават равнинни и след натоварването – хипотеза на Бернули. • В напречните сечения възникват само нормални напрежения (фиг.2). Те са едни и същи за всички площадки от напречното сечение. • От условието за равновесие се получава следната формула (1) за определяне на нормалните напрежения при опън (натиск). x (1)

4. b’ b P P l l’ При разпъване със сила Р на прът с дължина lи напречен размер b се получават изменение на първоначалните му размери. Дължината се увеличава и става l’ , а напречният размер bсе намалява на b’ (фиг.3). При натиск се получава скъсяване, а напречният размер се увеличава. l= l’- lнаричаме абсолютно удължение (скъсяване) b=b’- bнаричаме абсолютно напречно свиване (раздуване) Опитът показва, че lи b са винаги с противоположни знаци.

5. Въвеждаме понятията: • надлъжна деформация (2) и • напречна деформация (3). • Те са относителни величини. (3) (2) (4) Опитите показват, че в еластичната област, отношението на напречната деформация към надлъжната е постоянна величина за всеки материал. Това отношение се нарича коефициент на Поасон (4). За различни видове стомани този коефициент, определен опитно, е в границите 0,230,33. По-късно ще докажем, че µ< 0,5 за всякакви материали

6. Преобладаващата част от материалите използвани в техниката се подчиняват на закона на Хук (5) докато деформациите са малки. (5) Константата на пропорционалност Е се нарича модул на Юнг (модул на линейните деформации; модул на еластичност от първи род). Той се определя опитно и е в границите: за стомани Е (1,962,26).1011 Ра за чугуни Е (0,881,57).1011 Ра за дуралуминий Е (0,670,72).1011 Ра

7. Абсолютното удължение на прът натоварен с постоянна сила се получава от (1), (2) и (5) (6) Произведението EFсе нарича коравина на опън (натиск) Ако едновременно със силовото въздействие и температурата на целия прът се променя с  t удължението се пресмята по формула (7). (7). където : t– коефициент на температурно разширение. Той се определя опитно и за стомани е : t(1,151,4).10-5 [1/ C] В (7) се предполага, че Е не зависи от t, което е достатъчно точно до около 300C.

8. При нехомогенно напрегнато състояние, когато се отчитат разпределени по оста на пръта натоварвания (например от собственото тегло на пръта) удължението се пресмята чрез интегриране. (8)

9. t  n  р   х р Fx F 3. Напрежения по площадка в общо положение Нека от опънатия прът отделим част с една наклонена площадка, чиято нормала сключва ъгъл  с оста x(фиг.4). Върху наклонената площадка ще действа пълно напрежение р, чието направление трябва да е успоредно на оста x. фиг.4 Отусловието за равновесие се получава:

10. Ако пълното напрежение разложим по осите на местната координатна система в дадена точка от наклоненото сечение ще получим: (9) Вижда се, че при чист опън в наклонената площадка действа както нормално, така и тангенциално напрежение. Нека заместим ъгъла с различни стойности: в сечения перпендикулярни на оста няма тангенциални напрежения • =0 = х = х,max; =0 в сечения успоредни на оста няма нормални и тангенциални напрежения – нишките не си взаимодействат.  =90=0; =0 в сечения под 45  тангенциалните напрежения са максимални  =45= -=0,5х

11. +90+90= - в площадки сключващи 90 тангенциалните напрежения са равни по големина и с противоположни знаци – закон за взаимност на тангенциалните напрежения фиг.5

12. В M ds.sin   x  B B1 А ds С ds.cos ds  d В1 +d AA1 90- P P A1 С1 • Тангенциалните напрежения предизвикват ъглови деформации. • Разглеждаме две отсечки АВ и АС с дължина dsсключващи помежду си ъгъл 90 и ориентирани на ъгъл  спрямо оста х на пръта (фиг.6). • След натоварване с опънови сили правият ъгъл ВАС ще се промени на В1А1С1. M1

13. Съвместяваме А с А1. Заместваме дъгата ВВ1 с отсечка перпендикулярна на АВ поради това, че d е малък. Въвеждаме спомагателна точка М и изразяваме надлъжната и напрена деформации

14. Понеже ъгъл е произволен изпускаме индекса. Въвеждаме понятието модул на плъзгане G (10). (10) Той се нарича още модул на еластичност от втори род или модул на ъгловите деформации. За стомана той има стойности в границите: (7,948,34).1010 Ра

15. Използвайки въведеното понятие получаваме закон на Хук за ъгловите деформации (11) аналогичен на (5). (11) Уравнения (9) представляват параметрични уравнения на окръжност. Повдигаме двете уравнения на втора степен и ги събираме. Получаваме т.н. Окръжност на Мор (12) фиг.7. (12)

16. t  n  р   max   2  /2 натиск опън фиг.7

17. 4. Изпитване на материалите на опън и натиск • (лабораторни упражнения) • 5. Фактори влияещи на механичните показатели • (самостоятелно) • 6. Статически неопределими системи при опън-натиск • (примери) • Силово въздействие • Температурноизменение • Дефекти при изработка