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数理统计

数理统计. 一、数理统计的基本概念. 二、参数估计. 三、假设检验. 一、数理统计的基本概念. （一）总体、个体和样本. 1. 总体：研究对象的全体，记为 X. 2. 个体：组成总体的每个元素。. 3. 样本：从总体中按某种方式抽取若干个个体 所组成的集合 . 个体的个数称为样本容量 ( 大小 ). 容量为 n 的样本记为 ( X 1 , X 2 , ‥ ,X n ). 4. 简单随机样本：来自总体 X 的 n 个相互独立且与 总体同分布的随机变量 X 1 , X 2 , ‥ ,X n . 简称样本. 样本观察值：.

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Presentation Transcript

  1. 数理统计 一、数理统计的基本概念 二、参数估计 三、假设检验

  2. 一、数理统计的基本概念 （一）总体、个体和样本 1.总体：研究对象的全体，记为X . 2. 个体：组成总体的每个元素。 3.样本：从总体中按某种方式抽取若干个个体 所组成的集合.个体的个数称为样本容量(大小). 容量为n的样本记为(X1, X2,‥,Xn). 4.简单随机样本：来自总体X的n个相互独立且与 总体同分布的随机变量X1, X2,‥,Xn .简称样本. 样本观察值：

  3. 5.样本(X1, X2,‥,Xn)的联合分布函数 设总体X的分布函数为F(x),则样本(X1, X2,‥,Xn) 的联合分布函数为 (1)若总体X 具有密度函数f (x),则样本的联合密度 函数为 (2)若离散总体X 具有分布律： 则样本的联合分布律为

  4. 6.分位数(点) 设总体X的分布函数为F(x),满足 的点 称为X的上 分位数. 若满足 的点 称为X的下 分位数.

  5. （二）统计量 1.定义 不含总体分布中任何未知参数的样本X1, X2,‥,Xn 的任意函数 g(X1, X2,‥,Xn )称为统计量. 2.常用统计量 设X1, X2,‥,Xn是来自总体X的一个样本,x1,x2,‥,xn 是这一样本的观察值. (1)样本平均值 (2)样本方差

  6. (3)样本标准差 (4)样本k阶原点矩 一阶： 二阶： (5)样本k阶中心矩 二阶： （样本方差） 3.抽样分布 统计量的分布称为样本分布.

  7. 1. 分布 (2)数字特征： （三）三大抽样分布 (1)定义 设X1, X2,‥,Xn 相互独立,且都服从 则随机变量 所服从的分布 称为自由度为n的 分布,记为 (3)分位数

  8. 2. t 分布 (1)定义 设 且X与Y 独立同 分布,则随机变量 所服从的分布称为 自由度为n的t分布,记为 (近似) (2)性质: 当n足够大时, (3)数字特征：ET=0,n>0, DT= (4)分位数 密度函数的图形关于y 轴对称,形状与标准正态 分布相类似.

  9. (2)性质: 若 则 (4)分位数 3. F分布 (1)定义 设 且X与Y独立同 分布,则随机变量 所服从的分布称 为自由度为(n1,n2)的F分布,记为 若 则 (3)数字特征：

  10. 相互独立,并且 （四）正态总体的常用统计量 1.单个正态总体的抽样分布 设X1, X2,‥,Xn是来自正态总体 的一个样本, 分别是样本均值和样本方差,则

  11. 2.两个正态总体的抽样分布 设X1, X2,‥,Xn1是来自正态总体 的一个样本, X1, X2,‥,Xn2是来自正态总体 的一个样本, 且两个样本相互独立,设它们的样本均值和方差为 则

  12. 当 时， 其中

  13. （五）最大、最小次序统计量的分布 设总体X的分布函数为F(x), X1, X2,‥,Xn是来自 总体X的样本, 则统计量 和 的分布函数分别是

  14. 重要结论 1.无论总体X是否正态分布，只要样本X1, X2,‥,Xn 取自X，且 则 2.三大抽样分布的有关性质： (1)若 则 (2)若 则X与Y相互独立,则 (3)对于 有

  15. (4)对于 有 (5) 若总体X的k阶原点矩 存在,X1, X2,‥, Xn取自X的样本，则

  16. 考点与例题分析 有关数理统计的基本概念 考点一：求样本容量n,或与样本均值 和样本 方差 有关的概率(记住统计量的分布). 考点二：求统计量的数字特征(利用统计量和数 字特征的性质). 考点三：求统计量的分布.

  17. 考点一：求样本容量n,或与样本均值和样本方差 有关的概率 例1 在天平上重复量称一重为a的物品,假设各次 称量结果相互独立且服从正态分布 若以 表示n次称量结果的算术平均值,则为使 n的最小值应不小于自然数________.

  18. 由 得 取 解

  19. （1）已知 求概率 （2）未知 求概率 已知 未知 例2 从正态总体 中抽取样本X1, X2,‥,X10 ， 解 由统计量的分布知

  20. （2）未知 因此 （1） 已知 （查表）

  21. 考点二：求统计量的数字特征 注意利用统计量的性质和随机变量的性质 例3 设总体 X1, X2,‥,Xn是来自X的样本, 记 则 且 解 因 从而 故

  22. 例4 设 为来自总体N(0,1)的简单 随机样本， 为样本均值，记 求：（I） 的方差 （II） 与 的协方差 分析 先将 表示为相互独立的随机变量求和， 再用方差的性质进行计算 解 由题设，知 相互独立，且 ，

  23. （I）

  24. （II）

  25. 考点三：求统计量的分布. 利用 分布，t分布和F分布的典型结构、正态总 体下常用统计量的性质求解. 正态总体 的三个抽样分布：

  26. 例5 设总体X~N(0,1),从中取一个容量为6的样本 (X1, X2,‥,X6),设Y=(X1,+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2, 试决定常数C，使随机变量CY服从 分布. 解因X1,+X2+X3~N(0,3), 故 同理 于是有

  27. 则 例6 设 ： 解 由t分布的性质知 、 因此选（C）. 再由F分布的性质知 、

  28. 例7 设总体 X1, X2,‥,Xn是来自X的简单 样本， 是样本均值，记 服从自由度为n-1的t分布的随机变量是

  29. 例8(05)设 为来自总体N(0,1)的 为样本方差，则 简单随机样本， 为样本均值， 正态总体 的三个抽样分布：

  30. 解 由正态总体抽样分布的性质知， 可排除(A);又 可排除(C);而 不能断定(B)是正确. 因为 且 相互独立，于是 故应选(D).

  31. 二、参数估计 点估计 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念 单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计

  32. （一）点估计 1.定义 样本的某个函数 作为总体 分布中未知参数 的估计，则 称为 的点估计. 2.估计量与估计值 统计量 作为 的估计时,称为 的估计量，它的一组样本观测值 称为 的估计值. 3.矩法估计 • 用样本的矩(原点矩或中心矩)或矩的函数代替 • 相应总体的矩或矩的同一函数而求得未知参数的 • 一种估计方法.

  33. (2) 矩估计法的步骤： • 求出总体的矩 • 列矩估计方程 • 解上述方程(或方程组) 4. 最大似然估计 (1)定义 设总体X的概率分布为 为未知参数,则取自X的样本(X1, X2,‥,Xn)的联合 分布称为似然函数.

  34. 若有 使得 则 称为 的最大似然估计值 称为 的最大似然估计量 • (2)最大似然估计的求解步骤：(最值问题) • 写出似然函数 • 取对数的对数似然函数 • 分别对未知参数求偏导数,得似然方程 • 求解方程得驻点，确定最大值点

  35. （二）估计量的评选标准 1.无偏性 设 为 的估计量,若 则称 为 的无偏估计. 2.有效性 设 均为 的无偏估计, 如果 则称 比 有效.若 的无偏估计 的方差达到最小，则称 为 的最小方差估计. 有 若对 3.一致性 则称 为 的一致估计.

  36. （三）区间估计 设 为正态总体X的未知参数, X1, X2,‥,Xn是来自 X的样本,对给定的 如果两个统计量 满足 则称随机区间 为 的置信水平为 的置信 区间. 和 分别称为置信水平为 的双侧置信 区间的置信下限和置信上限. 单侧：

  37. 2.正态总体未知参数的双侧置信区间表 单个正态总体： ( 已知， 未知) 待估参数 ( 已知， 未知) 待估参数 两个正态总体： ( 已知， 未知) 待估参数 ( 已知， 未知) 待估参数 对应的统计量：

  38. （四）重要结论 1. 分别为总体EX,DX的无偏估计量. 2. 由大数定理易知 也是EX,DX的一致估计量. 3.若 则 为 的一致估计. 4.若 为 的矩估计, g(x)为连续函数,则 为 的矩估计. 5.若 为 的最大似然估计, g(x)为单调函数,则 为 的最大似然估计估计.

  39. 6.若 为 的置信水平为 的置信区间, g(x)为单调增加(减少)的函数,则 为 的置信水平为 的置信区间.

  40. 考点与例题分析 考点一：矩估计和最大似然估计.

  41. 例1.设总体X的概率分布为 0 1 2 3 其中 是未知参数,利用总体X的如下样 本值：3，1，3，0，3，1，2，3 求 的矩估计和最大似然估计值.

  42. 分析：矩估计用 计算即可； 最大似然估计的关键是写出似然函数，对离散型 情形，就是在对应样本观测值处的联合分布律. 解 得 即 令

  43. 似然函数为 取对数： 求导： 令 即 舍去 解得 故得所求最大似然估计值为

  44. 例2 (06) 设总体X的概率密度为 其中 是未知参数 X1, X2,‥,Xn是来自X的简单样本,记N为样本值x1, x2,‥,xn中大于0小于1的数， (1)求 的矩估计；(2)求 的最大似然估计. 分析(1)先求出X的期望，再列矩估计方程即可. (2)先写出似然函数，再用似然估计法计算.

  45. 考点二：评估量评选标准 估计量的无偏性就是计算估计量的期望； 比较无偏估计量的有效性,就是计算估计量的方差； 一致性是求估计量与参数之差的绝对值的概率的 极限，即依概率收敛的问题.

  46. 例3 设X1, X2,‥,Xn是来自X的一个样本,且设 确定常数c使 为 的无偏估计. 解 方法一：因X1, X2,‥,Xn相互独立同分布,所以

  47. 方法二：因X1, X2,‥,Xn相互独立同分布,所以 从而有

  48. 例4(0713)设总体X的概率密度为 其中 是未知参数 X1, X2,‥,Xn是来自X的 简单样本, 是样本均值, (1)求参数 的矩估计量 (2)判断 是否为 的无偏估计量,并说明理由.

  49. 解 (1) 令 其中 解方程得 的矩估计量为

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