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Vetores II. Combinação Linear. Dados n vetores v 1 , v 2 ,..., v n e n escalares a 1 , a 2 ,..., a n o vetor v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + ... + a n v n , é a combinação linear dos vetores v 1 , v 2 ,..., v n com coeficientes a 1 , a 2 ,..., a n. Exemplo 1. Exemplo 2. Exemplo 2.

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Presentation Transcript
combina o linear
Combinação Linear
  • Dados n vetores v1, v2,..., vn e n escalares a1, a2,..., an
  • o vetor v = a1v1 + a2v2+ ... + anvn, é a combinação linear dos vetores v1, v2,..., vn com coeficientes a1, a2,...,an
exemplo 21
Exemplo 2
  • Como w=0=0u + 0v, dizemos que 0 é combinação linear de u e v, com coeficientes zeros
exemplo 31
Exemplo 3
  • Observando a figura, podemos escrever:

w = -2/3v + 0u

exemplo 4
Exemplo 4
  • Observe que o vetor AC = AB + AD possui a mesma direção que a diagonal AC
  • Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será um losango
exemplo 41
Exemplo 4
  • Sabe-se que em um losango ABCD, a bissetriz do ângulo BÂD contém a diagonal AC. Assim, o vetor AC = AB+ AD também possui a mesma direção da bissetriz do ângulo BÂD
exemplo 42
Exemplo 4
  • Se | AB| ≠ | AD|, o vetor AC não possui a mesma direção da bissetriz de BÂD. Para obter um vetor que possua a mesma direção da bissetriz de BÂD basta usar o vetor v = tAB°+ tAD° , t єR*
exemplo 5
Exemplo 5
  • Observe o paralelepípedo
exemplo 51
Exemplo 5
  • AG = AB + BC + CG Dizemos então que AG é combinação linear dos vetores AB, BC e CG
  • Como BC = AD e CG = AE, então: AG = AB+ AD+ AE. Assim, podemos também dizer que AG é combinação linear dos vetores AB, AD e AE
paralelismo
Paralelismo
  • Definição: Os vetores v1, v2, ..., vnsão colineares (paralelos), se possuem representantes em uma mesma reta. Neste caso indicamos v1 // v2// v3//...// vn
  • No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo 2 temos w // u e w // v, embora u e v não sejam paralelos
paralelismo1
Paralelismo
  • Definição: Os vetores v1, v2, ..., vnsão colineares (paralelos), se possuem representantes em uma mesma reta. Neste caso indicamos v1 // v2// v3//...// vn
  • No exemplo 1, temos v // w, e no exemplo 2 temos w // u e w // v, embora u e v não sejam paralelos
propriedade 1
Propriedade 1
  • Os vetores u e v são paralelos se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear do outro.
  • Prova: Considere os seguintes casos:
    • 1) u = 0 = v; u = tv, tєR
    • 2) u =0 e v ≠ 0; temos u = 0 v
    • 3) u ≠ 0 e v ≠ 0. Como u // v, temos uº = ± vº . Daí, | u | uº = ± | u | (v /| v |) , ou seja, u = ±(| u |/| v |) v. Assim, se u e v têm mesmo sentido podemos escrever u = (| u |/| v |) v. E se u e v têm sentidos contrários temos u = -(| u |/| v |) v
slide19
Por outro lado, suponha que podemos escrever u como combinação linear de v, ou seja, u = tv.
  • Pela definição de produto de um número real por vetor, temos que u e v têm a mesma direção, logo são paralelos.
vetores coplanares
Vetores Coplanares
  • Os vetores v1, v2,..., vnsão coplanares, se possuem representantes em um mesmo plano
  • Observe que a colinearidade de vetores é um caso particular da coplanaridade de vetores
  • Nos exemplos de 1 a 4, os vetores envolvidos são coplanares
exemplo 44
Exemplo 4
  • Observe que o vetor AC = AB + AD possui a mesma direção que a diagonal AC
  • Se | AB| = | AD|, este paralelogramo será um losango
exemplo 52
Exemplo 5
  • Observe o paralelepípedo
propriedade 11
Propriedade 1
  • Os vetores u, v e w são coplanares se, e somente se, podemos escrever um deles como combinação linear dos outros.
  • Prova: 3 possíveis casos
caso 1
Caso 1
  • Um deles sendo o vetor nulo, digamos u = 0
  • Podemos escrever: u= 0v + 0w.
caso 2
Caso 2
  • Dois deles são paralelos, digamos u // v e v ≠ 0
  • Assim, u = mv = mv + 0w, m R
caso 3
Caso 3
  • Quaisquer dois desses vetores não paralelos
  • Considere a figura, onde α é um plano que contém representantes dos vetores u, v e w
slide30
Tomemos OA= v, OB= u e OC= w. Tracemos pelo ponto C uma reta paralela ao vetor OB= u,
  • que intercepta a reta OA no ponto P. Assim, w = OC = OP+ PC
slide31
Como OP // OA e PC //OB temos: w = mv + nu, m,n R
  • Por outro lado, suponhamos que w = mv + nu, n,m R. Assim, pela definição de adição de vetores, temos que u, v e w são coplanares.
depend ncia linear
Dependência Linear
  • Um Vetor: v é linearmente dependente, se v = 0
  • Dois vetores: u e v são linearmente dependentes se eles são paralelos
  • Três vetores: u, v e w são linearmente dependentes se eles são coplanares
depend ncia linear1
Dependência Linear
  • Mais de três vetores do espaço (R3), são sempre linearmente dependentes
  • Quando os vetores do espaço não são linearmente dependentes (LD), dizemos que são linearmente independentes (LI)
exemplo1
Exemplo
  • 1)AB é ?
  • 2)AB+BC+CA é ?
  • 3)AD e AE são ?
  • 4) AB e ½ AB são ?
exemplo2
Exemplo
  • 1)AB é LI
  • 2)AB+BC+CA é LD
  • 3)AD e AE são LI
  • 4) AB e ½ AB são LD
exemplo3
Exemplo
  • 5)AB, AD e AE são ?
  • 6)AE, AB e DC são ?
  • 7)AB, AD e FF são ?
  • 8)AB, BF, BC e AG são ?
exemplo4
Exemplo
  • 5)AB, AD e AE são LI
  • 6)AE, AB e DC são LD
  • 7)AB, AD e FF são LD
  • 8)AB, BF, BC e AG são LD
propriedades 1
Propriedades - 1
  • Se um vetor v é LI, então dado u // v, temos que existe um único escalar m tal que u=mv
  • Como v é LI e u // v pela propriedade 1 de Paralelismo, temos que u=mv
  • Suponha u=m’v => (m-m’)v = 0
propriedades 2
Propriedades - 2
  • Se dois vetores v1 e v2 são LI, então dado v coplanar com v1 e v2, temos que existe um único par de escalares (m, n), tal que v = mv1 + nv2
propriedade 2 prova
Propriedade – 2 (prova)
  • Como v, v1 e v2 são coplanares e, v1 e v2 são LI, temos pela prova da propriedade 1 de vetores coplanares, que v= mv1 + nv2
  • Para mostrar que esses escalares são únicos, suponha que existam m’e n’, tais que: v= m’v1+ n’v2
  • Então (m- m’ )v1 + (n- n’)v2=0
propriedade 2 prova1
Propriedade – 2 (prova)
  • Se m – m’≠ 0 , podemos escrever v1= (n-n’)/(m-m’) v2
  • Daí, v1 // v2, o que contradiz o fato de v1 e v2 serem LI. Logo, m – m’ = 0 , m = m’
  • A prova para n e n’ é análoga
propriedade 3
Propriedade - 3
  • Se três vetores v1, v2 e v3 são LI, então dado um vetor v qualquer, temos que existe único trio de escalares (m, n, p), tal que v = mv1+ nv2+ pv3
propriedade 3 prova
Propriedade – 3 (Prova)
  • Suponha que v1, v2 e v3 são LI, temos então os seguintes casos:
  • 1) v=0. Logo, v= 0v1+0v2+0v3
  • 2) v paralelo a um dos vetores, digamos v//v1. Então v=mv1+0v2+0v3
propriedade 3 prova1
Propriedade – 3 (Prova)
  • 3) v coplanar com dois dos vetores, digamos v, v1 e v2 são coplanares. Assim, v=mv1+nv2 = mv1+ nv2+ 0v3
  • 4) v não é coplanar com quaisquer dois dos vetores (próximo slide)
propriedade 3 prova2
Propriedade – 3 (Prova)
  • αé o plano paralelo ao plano OA1A2 passando por ponto A
  • B é o ponto de interseção da reta OA3 com o plano α
  • Temos:v = OA = OB + BA
propriedade 3 prova3
Propriedade – 3 (Prova)
  • Como OB // v3 r e BA é coplanar com v1 e v2, temos: OB=pv3, BA=mv1+nv2
  • Logo v=mv1+nv2+pv3
  • Para provar que estes escalares são únicos usamos a mesma metodologia da prova da propriedade 2
base coordenadas de vetor
Base – Coordenadas de Vetor
  • Dado um vetor v LI, dizemos que { v } é uma base para o conjunto de vetores paralelos a v
  • Dados dois vetores v1 e v2 LI, dizemos que { v1, v2 } é uma base para o conjunto de vetores coplanares com v1 e v2
base coordenadas de vetor1
Base – Coordenadas de Vetor
  • Dados três vetores v1, v2 e v3 LI, dizemos que { v1, v2, v3 } é uma base para o conjunto de vetores do espaço ( R3)
  • Dizemos que uma base é ortogonal, quando seus vetores são ortogonais quando comparados dois a dois
base coordenadas de vetor2
Base – Coordenadas de Vetor
  • Dizemos que uma base é ortonormal, se ela for ortogonal e seus vetores unitários
  • Costumamos representar uma base ortonormal por { i , j, k}
  • Fixada uma base { v1,v2,v3} do espaço, pela propriedade 3 de Dependência linear, todo vetor v, temos v = mv1+ nv2+ pv3, onde m, n e p são únicos
base coordenadas de vetor3
Base – Coordenadas de Vetor
  • Dizemos que mv1 , nv2 e pv3são as componentes de vna direção dos vetores v1, v2 e v3, respectivamente
  • Os escalares m, n e p são as coordenadas de v em relação à base {v1, v2 , v3}
  • Geralmente, representamos o vetor v através de suas coordenadas, ou seja, v = (m, n, p)
exemplo5
Exemplo
  • Considere o cubo e fixemos a base {AB,AC,AE}
exemplo6
Exemplo
  • AB =1AB+ 0AC+ 0AE, daí AB = (1,0,0)
  • Analogamente, AC = (0,1,0) e AE = (0,0,1)
exemplo7
Exemplo
  • Podemos concluir então que, dada uma base qualquer {v1,v2,v3}, as coordenadas desses vetores em relação a esta base são: v1= (1,0,0), v2 =(0,1,0) e v3= (0,0,1)
exemplo8
Exemplo
  • 2)AF =1AB+ 0AC+ 1AE, daí AF = (1,0,1). Observe que se a base considerada for {AB,AE,AC}, temos AF = (1,1,0)
  • 3)AG = 0AB+1AC+1AE , daí AG = (0,1,1)
exemplo 24
Exemplo 2
  • Consideremos v = (-1,1,1) em relação base {AB,AC,AE} do exemplo anterior. Assim, v = -AB + AC + AE = AH
  • Analogamente ao que foi feito para o conjunto dos vetores no espaço, podemos fazer para conjuntos de vetores coplanares e colineares. Assim, um vetor num conjunto de vetores coplanares tem duas coordenadas e um vetor num conjunto de vetores colineares tem uma coordenada
propriedade 12
Propriedade 1
  • Seja {v1, v2, v3} uma base do espaço. Considere os vetores u, v e w, dados por suas coordenadas em relação a esta base
  • 1) Se u=(a1, a2 , a3), v=(b1, b2 , b3) e t є R então:
    • a) u = v  a1=b1, a2 =b2 e a3=b3
    • b) u + v = ( a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
    • c) t u = (t a1, t a2 , t a3 )
propriedade 1 prova
Propriedade 1 (prova)
  • a) Como u = a1v1+a2v2+a3v3 e v=b1v1+b2v2 +b3v3, temos:
    • (a1-b1)v1+ (a2-b2 ) v2+ (a3- b3 ) v3= 0
  • Daí, 0=(a1-b1, a2- b2 , a3- b3 )
  • Logo, a1-b1=0 , a2-b2=0 e a3- b3=0
propriedade 1 prova1
Propriedade 1 (prova)
  • De maneira análoga podemos mostrar os itens b) e c)
  • Observe que os vetores u = (0, 0, 0) e v = ( b1, b2 , b3) são LD, visto que o vetor nulo é paralelo a todo vetor do espaço
propriedade 2
Propriedade 2
  • Sejam u = ( a1, a2 , a3) e v = (b1, b2, b3) vetores não nulos, u e v são LD se, e somente se, existe um t єR tal que :
  • a1 = t b1
  • a2 = t b2
  • a3 = t b3
propriedade 2 prova2
Propriedade 2 (prova)
  • Se u e v são LD, então u // v . Como v é LI, podemos escrever: u = t v , ou seja,
  • a1 = t b1
  • a2 = t b2
  • a3 = t b3
propriedade 2 prova3
Propriedade 2 (prova)
  • Por outro lado, se existe t єR , tal que
  • a1 = t b1
  • a2 = t b2
  • a3 = t b3
  • então u = t v . Logo u // v e portanto u e v são LD
propriedade 31
Propriedade 3
  • Três vetores u=(a1, a2, a3), v=(b1, b2, b3) e w=(c1, c2, c3) são LD se, e somente se
propriedade 32
Propriedade 3
  • Esta propriedades pode ser demonstrada através de propriedades de determinantes
  • Concluímos que se t não existe na propriedade 2, ou se Delta é diferente de zero, na propriedade 3, temos que os vetores considerados são LI
exerc cios
Exercícios
  • Considere u = 2i –j +2k, v= 5i +5j -2k e w =3i +6j
  • Verifique se os vetores são LD em cada um dos itens
  • u
  • u e v
  • 0
exerc cio
Exercício
  • u e 0
  • u e (4,-2,4)
  • u, v e w
  • u, v, (1,2,3) e (2,1,4)
  • u, v, (7,4,0)
exerc cios1
Exercícios
  • Considere u = 2i –j +2k, v= 5i +5j -2k e w =3i +6j
  • Verifique se os vetores são LD em cada um dos itens
  • u -> LI
  • u e v -> LI
  • 0 -> LD
exerc cio1
Exercício
  • u e 0 -> LD
  • u e (4,-2,4) -> LD
  • u, v e w -> LI
  • u, v, (1,2,3) e (2,1,4) ->LD
  • u, v, (7,4,0) -> LD
exerc cio2
Exercício
  • Considere o prisma, no qual a base é um hexágono regular – Verdadeiro ou Falso
  • FM pode ser escrito como

combinação linear de FA,FE e GM

  • GM e 2AH são coplanares
  • F=E+LM
sistemas de coordenadas cartesianas
Sistemas de Coordenadas Cartesianas
  • Um sistema de coordenadas cartesianas no espaço é um conjunto formado por um ponto O e uma base { v1, v2, v3} e denotado por {O, v1, v2, v3}
sistema de coordenadas
Sistema de coordenadas
  • O ponto O é chamado origem do sistema e os eixos que passam por O e tem as direções de v1, v2 e v3, respectivamente, são chamados de eixo das abscissas, ordenadas e cotas.
sistema de coordenadas1
Sistema de coordenadas
  • Considere um sistema de coordenadas cartesianas {O, v1, v2, v3} e
  • seja P um ponto arbitrário do espaço
  • Chamamos coordenadas do ponto P em relação ao sistema {O, v1, v2, v3}, as coordenadas do vetor OP
  • Se OP = (a1, a2 , a3), então P=(a1, a2 , a3).
  • Os números a1, a2 , a3 são denominados abscissa, ordenada e cota do ponto P, respectivamente
exemplo10
Exemplo
  • OP=1/2v1+2v2+v3
  • OP=(1/2,2,1) logo P=(1/2,2,1)
  • OQ=(1/2,2,0)
  • OR= -2/3v3 = (0,0,-2/3)
  • OO=(0,0,0)
propriedade 13
Propriedade 1
  • Considere um sistema de coordenadas {O, v1, v2 , v3}, v = (a, b, c), P(x1, y1, z1) e Q(x2 , y2 , z2 ):
  • QP=(x1-x2, y1-y2, z1-z2 )
propriedade 1 prova2
Propriedade 1 (prova)
  • Escrevemos o vetor QP como combinação linear dos vetores OQ e OP
  • QP=-OQ+OP
  • QP=-(x2 , y2 , z2 )+ (x1, y1, z1)
  • QP=(x1-x2, y1-y2, z1-z2 )
propriedade 21
Propriedade 2
  • P+v=A=(x1+a, y1+b, z1+c)
propriedade 2 prova4
Propriedade 2 (Prova)
  • Utilizando a definição de soma de um ponto com um vetor, temos que PA=v
  • Assim, o vetor OA=OP+PA=(x1+a,y1+b,z1+c)
propriedade 33
Propriedade 3
  • O ponto médio de PQ é o ponto M dado por
  • M=((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)
propriedade 3 prova4
Propriedade 3 (prova)
  • Escrevendo OM=OQ+QM
  • OM= OQ+1/2QP
  • Representando os vetores OQ e QP através de suas coordenadas, obtemos:
  • OM=(x2,y2,z2)+ ½(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
exemplo 25
Exemplo 2
  • Considere o paralelogramo ABCD, onde A=(1,0,2), B=(1,-1,2), C(0,2,-2)
  • Devemos determinar as coordenadas dos vetores AB e BC, do vértice D e do ponto médio de AB
exemplo 26
Exemplo 2
  • Aplicando as propriedades temos:
  • AB = (1 -1, -1 - 0, 2 - 2) = (0,-1,0)
  • BC = (-1,3,-4)
  • D = A + AD = A + BC = (0,3,-2)
  • M=(1, -1/ 2, 2)