מי מפחד מגאוס ?

1. מי מפחד מגאוס ? קובץ זה נועד אך ורק לשימושם האישי של מורי הפיזיקה ולהוראה בכיתותיהם. אין לעשות שימוש כלשהו בקובץ זה לכל מטרה אחרת ובכלל זה שימוש מסחרי; פרסום באתר אחר (למעט אתר בית הספר בו מלמד המורה); העמדה לרשות הציבור או הפצה בדרך אחרת כלשהי של קובץ זה או כל חלק ממנו.

2. קרל פרידריך גאוס קרל פרידריך גאוס חיי במאות 18 19. נולד בגרמניה, היה מגדולי המתמטיקאים של כל הזמנים. גאוס עסק באלגברה, תורת המספרים, גאומטריה דיפרנציאלית, תורת הכבידה, תורת החשמל ומגנטיות, אסטרונומיה ועוד.

3. גאוס הגדיר מושג הנקרא: שטף חשמלי. ננסה להבין מושג זה

4. המקור של המושג "שטף" בא מתורת הנוזלים, באותה תקופה מדענים רבים עסקו בתורת הנוזלים והגזים.

5. S1 S2 זהו מושג המדבר על נפח הזורם דרך שטח חתך, ליחידת זמן. נפח הזורם שטף זמן

6. נחקור , מושג זה נניח לשם פשטות, שמהירות הזורם קבועה. מהו נפח הזורם שיעבור דרך שטח החתך S בפרק זמן Δt? S

7. בתרשים, נוכל לראות , שבפרק זמן Δt ,נפח הזורם שעובר דרך שטח החתך, מוגדר בתיבה. שטח חתך התיבה S Lאורך התיבה זורם כלשהו

8. למעשה, אורך התיבה שווה, למהירות הזורם כפול פרק הזמן. שטח חתך התיבה S vt

9. שטח חתך התיבה S vt L אורך התיבה השטף שווה למכפלת שטח החתך במהירות הזורם

10. שטח חתך התיבה S L אורך התיבה vt ואם השטח לא ניצב לזורם?

11. vt L= אורך המקבילון שטח חתך המקבילון S בתרשים, נוכל לראות , שבפרק זמן Δt ,נפח הזורם שעובר דרך שטח החתך, מוגדר במקבילון.

12. vt L= אורך המקבילון שטח חתך המקבילון S למה שווה נפח המקבילון?

13. vt L= אורך התיבה α α b acosα a שטח חתך התיבה S·cosα שטח חתך המקבילון S=ab ניתן לראות שנפח המקבילון שווה לנפח התיבה, שאורכה L ושטח הבסיס שלו שווה ל S·cosα

14. vt L= אורך התיבה α α b שטח חתך המקבילון S=ab acosα a שטח חתך התיבה S·cosα עכשיו קל לחשב את נפח התיבה, ואת השטף

15. ככל שהזווית בין שטח החתך למהירות הזורם תגדל, כך השטף ילך ויקטן, כי פחות זורם עובר דרך השטח

16. מקרה פרטי: כאשר שטח החתך מקביל למהירות הזורם, נקבל שהשטף שווה לאפס.

17. מקרה פרטי נוסף: כאשר שטח החתך ניצב למהירות הזורם, השטף יהיה מכסימלי.

18. התבנית של השטף, מזכירה מכפלה סקלרית. הבעיה היחידה , שהשטח הוא לא ווקטור! אולי כן? ואולי לא? מבולבלים? המדענים לא!

19. ניתן לדמיין, ווקטור שגודלו שווה לשטח, וכיוונו ניצב למשטח. ואז α היא תמיד הזווית בין ווקטור המהירות לווקטור הניצב למשטח. והתוצאה היא גודל סקלרי!

20. ומה קורה אם מהירות הזורם לא אחידה ?

21. במידה ומהירות הזורם אינה אחידה דרך שטח החתך, אז יש לחלק את השטח לאלמנטיי שטח קטנים כך שבכל חלק, בקירוב טוב , תיהיה מהירות אחת. לכל חלק קטן יש לחשב את השטף בנפרד ואז לסכום אותם. v3 Φ3 Φ2 v2 Φ1 v1 Φ6 v6 Φ5 v5 Φ4 v4

22. כמות הזורם צפיפות נפחית =זרם שטף = זמן השטף עצמו עזר בחישוב הזרם. יחידות הזרם הן: ק"ג לשניה יחידות הצפיפות הן : ק"ג לנפח יחידות השטף הן : נפח לזמן

23. S1 S2 במידה ומחשבים שטף של משטח סגור היה ברור שזרם הנכנס למעטפת יוצר שטף שלילי וזרם היוצא מהמעטפת יוצר שטף חיובי. לכן אם סה"כ השטף הכולל היה חיובי זה אומר שבתוך המעטפת יש מקור זרם. ואם סה"כ השטף שלילי זה אומר שיש בולען זרם. ואם סה"כ השטף שווה לאפס ניתן להסיק שאין מקור או בולען במעטפת.

24. מעכשיו, כל פעם כשנסתכל על זרם המים היוצאים מהברז, נבין מדוע הזורם הולך ונהיה צר בקצה. הרי, טיפות המים מאיצות בגלל הכבידה, לכן מהירותם בקצה התחתון גדולה יותר. וסה"כ השטף הכולל צריך להיות שווה לאפס. S1 S2

25. ? איך כל זה מתקשר לחשמל?

26. גדולתו של גאוס, שהוא לקח מושג מתחום הנוזל והעביר אותו לתחום האלקטרוסטטיות. הרי, בחשמל הסטטי, שום דבר לא זורם! אבל את גאוס המתמטיקאי, זה לא הטריד. גאוס, פשוט דימה את ווקטור השדה החשמלי כווקטור המהירות בזורם.

28. גאוס הגדיר שטף חשמלי: מכפלה סקלרית ואם השדה לא קבוע, נחלק את השטח לאלמנטי שטח קטנים, כך שבקירוב טוב, השדה יהיה קבוע באותו איזור.

29. למה גאוס עשה זאת?

30. גאוס המתמטיקאי, הסתכל על מטען נקודתי, ושם לב לביטוי של השדה:

31. E גאוס, דמיין מעטפת כדורית סגורה מסביב למטען הנקודתי. על פני המעטפת גודל השדה קבוע, וניצב לפניה.

32. הוא הבין, שאם הוא ידמיין מעטפת כדורית גדולה יותר, השטח שלה אמנם יגדל, אבל השדה על פניה יקטן.

33. שטח פני מעטפת כדור הוא חשב על מכפלת השדה בשטח כל המעטפת: וכידוע, שדה של מטען נקודתי: נציב:

34. מכפלת השדה בשטח כל המעטפת, הוא גודל התלוי בגודל המטען שנמצא במעטפת !!! ועבור מעטפת כדורית , שעוטפת את אותו מטען, נקבל תמיד גודל קבוע !! שטח של מעטפת כדורית

35. מכפלת השדה בשטח, הזכירה לגאוס את הגדרת השטף, כיוון שהתבנית דומה. במקרה של המטען הנקודתי, ווקטור השדה ניצב לפני השטח, והוא שווה בכל נקודה על פני השטח, לכן נקבל מקרה פרטי של השטף, פשוט מכפלת גודל השדה בגודל כל השטח

36. אפשר לומר שהשטף דרך מעטפת כדור שבמרכזו נמצא מטען נקודתי, תלוי בכמות המטען ולא תלוי ברדיוס הכדור! לשתי המעטפות הכדוריות, אחת ברדיוס R והשנייה ברדיוס 2R אותו שטף כולל!

37. הקבוע תלוי בכמות המטען הכלוא בתוך המעטפת הסגורה. לגאוס היה נוח יותר, להגדיר קבוע חדש קבוע הדיאלקטריות של הריק

38. ברור, שמדובר במקרה פרטי מאוד! הרי מדובר במטען נקודתי , נבחרה מעטפת כדורית , קונצנטרית למטען, כך שהשדה ניצב לפני המעטפת.

39. כמובן שיש חשיבות למשטח הסגור, הרי כמות קווי השדה הפורצת החוצה תהיה קבועה עבור כל המעטפות הסגורות שעוטפות את המטען הנקודתי.לכל מעטפת שטח אחר, אך גם גודל השדה על פניה שונה. החישוב הכולל של מכפלת השדה בשטח נותן משהו קבוע.

40. מה יקרה, אם נבחר מעטפת אחרת מסביב למטען הנקודתי? הרי ,עבור המטען הנקודתי, בחרנו מעטפת כדורית כך שהשדה ניצב לפני המעטפת הסגורה, אך מה קורה אם השדה אינו ניצב? בואו ,נבחר מעטפת אחרת

41. הפעם השדה לא קבוע, לא בגודל ולא בכיוון על פני המעטפת! איך נחשב את השטף?!

42. אם נחלק את שטח המעטפת, לאלמנטיי שטח קטנים, נוכל לראות שבכל אלמנט שטח יש שדה בקירוב טוב קבוע, היוצר זווית כלשהי עם המשטח כל פירמידה דמיונית שקודקודה נמצא במטען, והחותכת את מעטפת המשטח הכדורי, חותכת גם את המשטח הסגור.

43. אפשר לראות, שהשטף על פני אלמנט השטח הקטן שבמעטפת, שווה לשטף שייווצר על פני אלמנט שטח שהוא חלק ממעטפת כדורית. חלק ממעטפת כדורית

44. כיוון שהשטף על פני מעטפת כדורית לא תלוי ברדיוס המעטפת, נוכל להסיק, שהשטף הכולל על פני מעטפת סגורה כלשהי, שווה לשטף על פני מעטפת כדורית חלק ממעטפת כדורית

45. מסקנה: השטף החשמלי הכולל לכל משטח סגור העוטף את המטען הנקודתי יהיה קבוע ופרופורציונלי למטען בתוך המעטפת. ולא משנה צורת המשטח!

46. אם יש לנו מטען שלילי, אז השטף שלו יהיה שלילי.

47. ואם יש יותר ממטען אחד, מה אז?

48. נבחן שני מטענים נקודתיים וחיוביים q1 q2 נעטוף כל מטען במעטפת סגורה, הרי הצורה של המעטפת אינה חשובה, סה"כ השטף על פני המעטפת נמצא בפרופורציה למטען.

49. שטף הוא גודל סקלי q1 q2 לכן השטף הכולל על שתי המעטפות , פשוט שווה לסכום השטפים.

50. אם נבחר מעטפת גדולה הכוללת את שני המטענים q1 q2 השטף הכולל על פני המעטפת הגדולה נמצא בפרופורציה למטען הכולל בתוך המעטפת