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第一讲 几何证明选讲

第一讲 几何证明选讲. （ 1 ）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理。 （ 2 ）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。 （ 3 ）会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。. （ 4 ）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）. （ 5 ）了解下面定理

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第一讲 几何证明选讲

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  1. 第一讲 几何证明选讲

  2. （1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理。（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理。 （2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。 （3）会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

  3. （4）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）（4）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆） （5）了解下面定理 定理：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点、l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为β（π与l平行，记β=0），则：

  4. ①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆； ②β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线； ③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线。 根据广东高考数学考试说明规定：系列4-1《几何证明选讲》是选考内容之一，本专题只出一道题，考查题型为填空题，分值为5分。

  5. 第一节 相似三角形的判定及其有关性质

  6. 一、相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的两个一、相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的两个 三角形叫做两个相似三角形. 相似三角形对应边的比值叫 做相似比（或相似系数）.

  7. 二、相似三角形的判定： 1.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的 延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2.两角对应相等的两个三角形相似。 3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 4.三边对应成比例的两三角形相似。

  8. 直角三角形相似的判定： 1.如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。 2.如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。 3.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

  9. 三 、相似三角形的性质： 1.相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 2.相似三角形周长的比等于相似比。 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4.相似三角形外接圆的直径比，周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

  10. 四、有关比例的几个重要定理 1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一边。

  11. 2、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 3、直角三角形的射影定理。 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。

  12. 平行线分线段成比例定理的运用 例1图 图16-1-1 • 如图,已知AB∥EF∥CD, • 求证: • 若AB=8cm,CD=12cm,求EF的长. 思路分析:由于BC是ABC与DBC的公共边,且AB∥EF∥CD,利用平行线分三角形成相似三角形的定理可证，进而可求EF的长.

  13. 在DBC中, ∵EF∥CD, ∴ 解:（1） 在ABC中, ∵EF∥AB, ∴ 两式相加,得

  14. （2）由（1）得 所以 cm 点评: 本题抓住BC是ABC与DBC的公共边，再利 用平行线分三角形成相似三角形的定理获证。

  15. 三角形内（外）角平分线性质的证明 证明：三角形的内角平分线分对边成两段的长度比 等于夹角两边长度的比。已知，如图，AD是 的角平分线 , 求证：

  16. [思路分析]：要证比例式，可以考虑利用平行线，于是可[思路分析]：要证比例式，可以考虑利用平行线，于是可 以过点C作 , 与BA的延长线交于点E，这样 就能用平行截割定理。

  17. 证明：过点C作 ，与BA的延长线交于点E， ∵ ∴ 又 ∵ AD是 的角平分线， ∴

  18. ∴ ∴ 由平行截线定理知： 即

  19. [点评]： 在几何证明中，如果题目给的条件较为分散，可 以通过添加辅助线，使分散的条件适当集中。如果能熟练 掌握几个基本图形，把所要证明的图形转化为基本图形， 可使证明思路更明确，更快捷。

  20. 相似三角形的判定和性质的运用 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD， E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M． （1）求证：△EDM∽△FBM； （2）若DB=9，求BM．

  21. ∴CB∥DE， ∴ ∴△EDM∽△FBM． 证明：（1）∵E是AB中点， ∴AB=2BE，AB=2CD， ∴CD=EB， 又AB∥CD， ∴四边形CBED是平行四边形，

  22. （2）△EDM∽△FBM， ∴ ， ∴F是BC中点，DE=2FB， ∴DM=2BM， ∴BM=DB=3

  23. 直角三角形的性质的应用 解:CD2=ADBDAD=4/3 , AC2=AD2+CD2=52/9AC= 在RtABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于点D,CD=2,BD=3, 则AC=.

  24. 本 节 完

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