PISA 數學能力層次與教學深入

1. PISA 數學能力層次與教學深入 國立臺南大學 教育系 林素微

2. 情境脈絡 ★必須是15歲學生會接觸到的範圍

3. 內容領域

4. （1）改變和關係 • 在日常生活情境上，常有現象改變的過程。有些改變的過程可描述為數學的函數，例如：線性、指數、周期性。這些關係可分成不同的類別，通常是用資料分析來決定所呈現的關係。 • 數學關係通常是方程式或不等式的形態。我們可由不同表徵得到關係，包含符號、代數、圖表和幾何圖形。 • 不同的表徵有不同的性質，可適用不同的目的。因此在處理各種情境與作業時，表徵間的轉換通常是很重要的。

5. （1）改變和關係 • 在電腦化測驗中，可以動態圖像的呈現，並提供給學生多個表徵間的動態連結、以及操弄函數的機會。例如， • 跨時間的改變（如生長或移動）可以直接透過動畫和模擬的描繪，並透過函數，圖形和數據來連結。 • 強化改變之數學模型的尋找和使用，個體得以藉由軟體進行探索和描述改變的運作，這些軟體可以進行函數繪圖、參數操弄、數值表格的產生、幾何關係的試驗、資料數據的組織和繪圖、以及公式的計算。

6. （2）空間與形狀 • 常在音樂、影像、交通、建築物和藝術中呈現。 • 探討形狀和結構需要在分析形狀的成分時尋找相似和相異處，並在不同表徵和不同維度下辨識形狀。 • 為達此目的，我們需要理解幾何圖形以及相關的性質，學習透過空間、建築物、和形體來引導思考。 • 換句話說，我們應理解形體、影像或視覺表徵間的關係，如城市的真實面貌和該城市的地圖與照片間的差異。它也包含三維物體的二維表徵、陰影的形成與意涵、視角的確認和運作。

7. （2）空間與形狀 • 電腦化評量提供學生機會得以操弄形狀的動態表徵，並能夠透過旋轉操弄來提升準確的心理圖像來探索三維幾何物件內部以及物件之間的關係。 • 學生可以使用地圖縮放和旋轉功能，來要建立某地區的心理圖像並應用這些工具來協助思考。 • 他們可以選擇和使用虛擬工具來進行平面圖、圖片、模型的測量（例如，角度和線段），以及應用數據進行計算。

8. （3）數量 • 在日常生活中的數學概念，最容易被理解的應就屬於「數量」的部分了。 • 數量涉及了對於不同方式表徵數字的理解和處理。這個概念專注在生活情境上的量化需求，重要層面包含相對大小的理解、數的組型覺察、使用表徵數量的數字、和真實世界物體的數量特徵（計數和測量）。 • 此外，數量中重要的一個層面是數量推理，數量推理的基本成分是數感、以不同方式表徵數字、理解運算的意義、對數字大小有感覺、數學精緻的運算、心算和估算。

9. （3）數量 • 電腦化評量提供學生有機會利用現代科技強大的計算能力優勢。 • 電腦可以降低受試者在計算上的負擔，進而更專注於解題時的意義和策略，藉由對解題歷程的分析，可以更清楚的釐清學生是在概念上的錯誤還是因為粗心而造成的錯誤。

10. （4）不確定性 • 目前「訊息社會」常以相當精確程度、科學化和確定性提供大量的訊息。而日常生活中我們多數面對的是不確定性的選舉結果、倒塌的橋、股市崩盤、不準確的天氣預報、不佳的人口成長預測、和其他許多不確定性的實例。 • 主要兩個相關議題：數據與機會。這些現象所對應的數學主題是有關統計與機率的研究。 • 自九年一貫課程實施以來，課綱的每次改版都增加了在特定的重要數學概念與活動如資料蒐集、資料分析與呈現（視覺化）、機率與推論等的內容，加重了統計與機率的比重。

11. （4）不確定性 • 電腦化評量給予學生處理大量資料數據的機會，並進而提供計算能力和數據處理能力。 • 學生有機會選擇適切的工具來處理、分析，並表徵資料數據，以及從資料中取樣。 • 多個表徵的連結允許學生檢核並以不同的方式描述這些數據。應用模擬產生隨機變數的能力使學生可以探索機率的相關情境，例如事件的可能性與樣本的屬性等。

12. 評量15歲學生數學素養之內容主題 數與單位 算術運算 百分比、比和比例 估算 資料蒐集、表徵與解釋 資料的變動與描述 樣本與抽樣 機會與機率 • 函數 • 代數式 • 方程式與不等式 • 座標系統 • 平面與立體幾何圖形內部以及之間的關係 • 幾何測量

13. 真實世界(Real world) 數學世界(Mathematical world) 數學解法 Mathematical solutions 真實解法 Real solutions 5 5 4 數學問題 Mathematical problem 真實世界問題 Real-world problem 1,2,3 2003數學素養 • PISA檢驗學生在各種情境中提出、形成、以及解決和解釋數學問題時能否有效地分析、推理、以及溝通數學概念的能力。這樣的問題解決需要學生運用學校教學以及生活經驗所習得的技能和能力。在PISA中，一個學生運用來解決真實生活問題的基本歷程稱之為數學化（mathematisation）。

14. PISA數學素養的理論基礎 • 數學化(mathematising)有五個重要的特徵： 1.數學化的歷程開始於一個真實情境中的問題。 2.解題者嘗試去找出相關的數學，並且依據重要的數學概念重新組織問題。 3.逐漸調整現實(trimming away the reality)，轉化成數學語言 4.進行問題解決 5.針對真實世界探究嚴格數學解法的意涵。

15. 情境(Situations) 脈絡(CONTEXT) 數學概念(Overarching ideas) 內容(CONTENT) 問題(PROBLEM) 與 解決(SOLUTION) 問題形式 (Problem format) 歷程(Process) 能力群組 (COMPETENCY CLUSTER) 能力(Competencies) 數學領域的組織

16. 能力(the competencies) • 針對mathematisation，PISA提出學生在此種歷程中需運用到數種不同的能力(competencies)： • 思考及推理Thinking and Reasoning • 包含提出問題的數學特徵(題目中有…??如果是這樣，有多少…?我如何找出….?)；了解可能的答案型態為何；區辨不同描述(定義、理論、預測、假設、案例、條件)的異同；並且了解及處理給定數學概念的範圍和限制。

17. 能力(the competencies) • 論證Argumentation • 包含了解數學論證為何以及這些論證和其他種類的數學推理的差別；不同型態數學論證的發展和評量；對於啟思靈感的掌握(這可不可能發生，為什麼？)以及產生及陳述數學論證。

18. 能力(the competencies) • 溝通Communication • 包含以多種方式表達數學事件的個人想法，透過口頭和書寫的方式並且理解他人以書寫或者口語的陳述。

19. 能力(the competencies) • 建模Modelling • 包含針對特定的場域和情境的結構，將真實轉化成數學結構；確認模式；針對某一個模式進行反思、分析、和提供批判；溝通模式及其結果(包含此結果的限制)；監控及控制建模的歷程。

20. 能力(the competencies) • 運用符號、形式化及科技的語言及運算Using symbolic, formal and technical language and operations • 包含符號和形式語言的解碼和詮釋，以及理解其和自然語言的關係；從自然語言轉化成符號和形式語言；處理包含符號和公式的陳述；運用變項、解決方程式和計算。

21. 能力(the competencies) • 使用輔助工具Use of aids and tools • 包含能了解、能運用各種有助於數學活動的輔助工具(包含資訊科技工具)並且知道這些工具的限制。

22. 能力(the competencies) • 表徵Representation, • 包含解碼和編碼、轉化、解釋和區辨不同數學物件和情境的表徵；不同表徵間的內部關係；根據情境和目的在各種表徵之間進行選擇和調整。

23. 能力(the competencies) • 擬題及解題Problem posing and solving • 包含各種數學問題的擬定、形成和定義；並以各種方式解決不同型態的數學問題。

24. 能力群組(competency clusters) • PISA的數學問題通常會以上述的一種或多種能力來進行認知活動，可以統整成三個能力群組(competency clusters)。稱為 • 複製(reproduction)、 • 連結(connection)、 • 反思(reflection)。

25. (1)複製群組reproduction cluster • 此能力群組基本上包含習過知識的複製。一般而言，他們包含標準化評量以及課室評量中最常測量的能力 。如事實、一般問題表徵的知識，等值的辨識，熟悉數學物件以及特性的再蒐集，例行程序的比現，標準算則及技術性技巧的應用，在標準的型態中操弄概念完備的符號，以及計算的進行。 • 思考及推理Thinking and Reasoning • 包含擬定最基本的問題(有多少…？)以及理解答案的可行性；區辨定義和說法之間的差異；了解和處理啟蒙學習(第一次接觸時)的數學概念。

26. (1)複製群組reproduction cluster • 論證Argumentation • 包含標準的數量歷程的後續處理及判斷，此數量歷程包含計算過程陳述和結果。 • 溝通Communication • 包含在簡單的數學事件中以口語及書寫方式進行理解和表達個人的想法。簡單數學事件指的是重複熟悉物件的命名及基本特質、列出算式和結果；通常不會超過一種方式。

27. (1)複製群組reproduction cluster • 建模Modelling • 包含辨識、重組、建立及開發一個結構良好、熟悉的模式；在模式(及其結果)及真實之間進行詮釋，以及根據模式的結果進行基本的溝通。 • 擬題及解題Problem posing and solving • 以固定的型態辨識及再複製標準基本的應用問題的方式來擬題；以標準的取向和程序解決此類問題；通常僅有一種方式。

28. (1)複製群組reproduction cluster • 表徵Representation, • 包含熟悉數學物件的解碼、編碼和權勢熟悉的、以練習過的表徵；倘如涉及表徵的轉化，則此表徵之間的轉化僅包含於轉換本身是表徵必須建立的部份。

29. (1)複製群組reproduction cluster • 運用符號、形式化及科技的語言及運算Using symbolic, formal and technical language and operations • 包含在熟悉脈絡和情境中接觸的例行基本符號和形式語言的解碼和詮釋，處理包含符號的、以及公式的敘述；在例行程序中運用變項、解方程式和使用計算機。 • 使用輔助工具Use of aids and tools • 能理解和能使用熟悉的輔助工具。

30. 解方程式7x-3=13x+15 • 7,12,8,14,15,9的平均數是多少？ • 1000元存進銀行，年利率是4%，一年後全部領回多少錢？

31. M432: 反應時間 • 在一個短跑競賽的事件裡，「反應時間」是指鳴槍後到運動員開始起跑的時間，「最後時間」包含了反應時間和起跑後到終點的跑步時間。

35. (2)連結群組connection cluster • 連結群組的能力是建立在複製能力群組之上，在此問題解決不是例行的，但仍然包含了熟悉和半熟悉的情境，這些能力如下： • 思考及推理Thinking and Reasoning • 包含了擬題(我如何發現？包含了哪一個數學概念…？) 以及了解答案(以統計圖表、圖示、代數等方式提供) 的對應意涵，區辨定義和說法以及說法與說法之間的差異，在與第一次接觸或後續已練習的脈絡略有不同的情境下進行數學概念的了解與處理。

36. (2)連結群組connection cluster • 論證Argumentation • 包含了簡單的數學推理，而不用區辨證明與證明、論證和推理之間的差異，不同型態的數學論證的繼續完成，掌握啟思的靈感(如 “什麼可能發生或不發生？”，或“如果是這樣，理由為何？”, “我知道什麼以及我想要得到什麼？”).

37. (2)連結群組connection cluster • 溝通Communication • 包含了解和傳達個人對於數學事件的口頭或者書寫的想法，從複製較熟悉物件的命名以及基本特性，以及解釋計算和其結果(通常不只一種方式)，到解釋包含關係的事件。它也包含理解他人對此數學事件的書寫或者口頭的描述。

38. (2)連結群組connection cluster • 建模Modelling • 包含將想要建模的場景或者情境結構化；在賣絡中將真實轉化成為數學結構，此數學結構不會太複雜，但絕不是學生所慣常且熟悉的結構。它也包含模式及真實之間的來回解釋，包含模式結果的溝通層面。

39. (2)連結群組connection cluster • 擬題及解題Problem posing and solving • 包含問題擬定和形成(超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題和標準化取向及程序的問題解決)，以及更多較獨立的問題解決歷程，需在不同的數學領域及表徵和溝通(略圖、統計圖表、圖示、文字和照片)型態之間進行連結。

40. (2)連結群組connection cluster • 表徵Representation, • 包含數學物件熟悉及較不熟悉表徵的解碼、編碼以及詮釋；數學物件不同表徵之間的選擇和轉換；以及這些不同型態的表徵之間的轉化和區辨。 • 運用符號、形式化及科技的語言及運算 Using symbolic, formal and technical language and operations • 包含在較不熟知的脈絡及情境中針對基本符號和形式語言的解碼和詮釋，以及處理包含符號和公式的陳述和說法，包含運用變項、解決方程式以及運用較熟悉的程序進行計算等。

41. (2)連結群組connection cluster • 使用輔助工具Use of aids and tools • 包含在脈絡中知道以及運用較熟悉的輔助工具，此種方式和學習及練習的方式不太相同。 • 此類群組的試題通常需要從不同大概念(overarching ideas)、或者從不同的數學課程主題、或者連結不同的問題表徵進行某種整合及連結的證據。 • 評量連結能力的試題可能會用以下的關鍵敘述詞：統整、連結以及習得教材的初步延伸。

42. 問題示例： • 小莉家離學校2公里，而小丁是5公里。 請問小莉家和小丁家的距離有多遠？

43. 問題示例： • 以下是某個國家日報上的兩則廣告，幣制是以zeds為單位 A大樓 辦公室出租 58-95平方公尺 每個月475zeds 100-120平方公尺 每個月800zeds B大樓 辦公室出租 35-260平方公尺 每年每平方公尺90zeds • 如果有一家公司有興趣要在這個國家租一個110平方公尺的辦公室，要租A或B哪一棟大樓的租金較便宜？請呈現你的想法。

44. 問題示例： • 一家披薩店提供兩種相同厚度不同大小的披薩，較小的披薩直徑為30公分，定價30元；較大的披薩直徑為40公分，定價40元。 • 問題1： 哪種披薩比較划算，請寫出你的理由。

45. (3)反思群組reflection cluster • 此能力群組包含包含學生對於問題解決必要的歷程以及運用的反思性( reflectiveness)，這些反思性能力和學生計畫解題策略以及在問題情境中實施這些策略有關，相對於連結群組，反思群組的情境包含較多元素或者可能是更為「原始」(或者非熟悉)。

46. (3)反思群組reflection cluster • 思考及推理Thinking and Reasoning • 包含擬題 ( “我如何找出...?”, “哪些數學涵括在...?”, “什麼是問題情境中必要的層面…?”) 並且理解對應的答案 (如以統計圖表、代數、圖示，關鍵點的標示等等)；區辨特定案例的定義、理論、臆測、假設、以及說法的差別，並且具有反思性或或積極的地釐清這些區隔；理解並且楚給定數學概念的範圍和限制，並且將答案進行類推。

47. (3)反思群組reflection cluster • 論證Argumentation • 論證涵括簡單的數學推理，包含區辨證明和論證、證明和推理的差異；能夠後續完成或者評估不同型態的數學論證；並且能夠運用啟思法 (e.g. “什麼可能或不可能發生？”, “我知道什麼，以及我想要得到什麼？”, “哪一個特性是必要的？”, “這些物件如何相關？”).

48. (3)反思群組reflection cluster • 溝通Communication • 溝通包含理解以及表達個人對於數學事件口頭或者書寫的想法，數學事件從複製熟悉物件的名稱和基本特定，以及詮釋計算及其結果(通常以一種以上的方式進行之)，來解釋事件包含複雜的關係，如邏輯關係。它也包含理解他人對於相同事件書寫或者口語的表達。

49. (3)反思群組reflection cluster • 建模Modelling • 包含將想要建模的場景或者情境結構化；在賣絡中將真實轉化成為數學結構，此數學結構可能較為複雜，而且和學生所慣常且熟悉的結構有很大的差異。它也包含模式及真實之間的來回解釋，包含模式結果的溝通層面：蒐集資訊和資料，監控建模的歷程以及確認導致的模式。它也包含針對各個模式或者建模進行分析、提供批判、以及投入較複雜的溝通。

50. (3)反思群組reflection cluster • 擬題及解題Problem posing and solving • 包含問題擬定和形成(遠超出習過標準簡單問題複製的範疇及以封閉型態呈現的應用問題)，解決此類問題時除了運用標準化取向及程序，同時也以更為原始的問題解決歷程，其中需在不同領域和表徵和溝通型態(略圖、統計圖表、圖示、文字和照片)中進行連結。它也包含對於策略和解法的反思。