Construcción y justificación de CONJETURAS MATEMáTICAS A TRAVÉS DEL USO DE SOFTWARE DINÁMICO

1. Construcción y justificación de CONJETURAS MATEMáTICAS A TRAVÉS DEL USO DE SOFTWARE DINÁMICO David Benítez Mojica dbenitez@uadec.edu.mx

2. INTRODUCCIÓN Este estudio se documenta los tipos de conjeturas matemáticas que alumnos universitarios de primer año formulan dentro de un ambiente de solución de problemas donde se promueve el uso de software dinámico. Estamos particularmente interesados en analizar tanto las preguntas que los llevaron a la formulación de una conjetura en particular y los tipos de argumento utilizados para validar esa conjetura.

3. Diseño de investigación, participantes y procedimientos generales El estudio se llevó a cabo en un grupo que resolvía problemas, con dieciocho alumnos universitarios de primer año, todos voluntarios, que se interesaban en utilizar software dinámico para trabajar en un conjunto de problemas y pensar en diferentes formas de resolverlos y extender los problemas originales. El desarrollo del curso incluyó dos sesiones por semana, de dos horas cada una, durante todo un semestre.

4. Presentación de resultados y comentarios Para demostrar el trabajo de los estudiantes, nos enfocamos en las formas que utilizan para identificar y tratar una conjetura que emerge cuando trabajan en un problema que plantearemos a continuación. En particular comentamos el tipo de relaciones y argumentos que los alumnos demuestran durante el desarrollo de dos sesiones de resolver problemas.

5. El problema Sea MNO un triángulo equilátero. Se construye una recta que pase por el baricentro (B) del triángulo MNO. Se trazan tres segmentos perpendiculares a esta recta que pasen por cada uno de los vértices del triángulo: Figura 1. Entendiendo el enunciado del problema

6. Sean M', N' y O' los pies de las perpendiculares. Se construyen tres triángulos equiláteros cuyos lados sean los segmentos MM', NN' y OO'. Figura 2. Construyendo los triángulos. • ¿Existe alguna relación entre las áreas de los triángulos, cuyos lados sean los segmentos MM', NN' y OO' y el área del triángulo original?

7. Una conjetura emergente ¿Cómo se puede construir un triangulo equilátero que tenga por lado un segmento dado? ¿Cómo podemos relacionar la construcción de los tres triángulos en función del lado del triángulo dado? Discutiendo estas preguntas los llevó realizar trazos, a identificar variables y a realizar las primeras mediciones.

8. Reconocimiento visual Una importante característica al utilizar software dinámico es la precisión con la que se pueden dibujar figuras matemáticas. En este caso, los estudiantes dibujaron el triángulo MNO, los triángulos cuyos lados son los segmentos MM', NN' y OO' . Utilizaron la estrategia heurística de estudiar un caso especial.

9. En este sentido, movieron la recta que pasa por el baricentro del triángulo, de tal manera que pasara por un vértice del triángulo MNO: Figura 3:Estudiando un caso especial.

10. Los estudiantes hicieron un trazo auxiliar y lograron identificar, en este caso especial, que la suma de las áreas de los triángulos cuyos lados son los segmentos MM', NN' y OO', cubre la mitad del área del triángulo MNO (Figura 4). Figura 4. Reconocimiento visual de la relación entre las áreas de los triángulos.

11. La prueba de arrastre En este caso los estudiantes exploraron la validez de la conjetura para una familia de triángulos. Calcularon la razón entre la suma de las áreas de los triángulos, cuyos lados son los segmentos MM', NN' y OO' y el área del triángulo MNO. Con el uso del software, movieron la recta que pasa por el baricentro para generar una familia de triángulos con la misma construcción. Pudieron comprobar que la conjetura era válida para una familia de triángulos (Figura 5).

12. Figura 5: Verificar la conjetura para diferentes posiciones de la recta que pasa por el baricentro

13. Construir una macro Otra manera para verificar la conjetura era que los estudiantes construyeran un macro para reproducir la construcción para cualquier triángulo dado. Esto es, los estudiantes identificaron objetos iniciales (triángulo MNO, su baricentro (B) y una recta que pasa por B) y los objetos finales triángulos cuyos lados son los segmentos MM', NN' y OO'.

14. Al aplicar este macro a diferentes triángulos, los estudiantes confirmaron la conjetura, esto es, en todos los triángulos donde aplicaron aquella macro, observaron que la conjetura es válida en varios ejemplos. La Figura 6 muestra dos de aquellos triángulos. Figura 6: Aplicar un macro para verificar la conjetura

15. Cuantificar atributos y modelos Es fácil con el uso del software cuantificar atributos (longitudes, áreas, ángulos, etc.) de la figura y observar sus comportamientos. Por ejemplo, aparte de observar el comportamiento de las áreas de los triángulos, los estudiantes enfocaron en comparar (la proporción) entre la suma de las áreas del triángulo cuyos lados son MM', NN' y OO' y el triángulo MNO para diferentes valores, casos particular (figura 7).

16. Basado en esta información, observaron que : Figura 7: Buscando modelos

17. Prueba formal Para probar la conjetura, los estudiantes siguieron diferentes métodos que se discutieron con todo el salón. Aquí presentamos una prueba que se construyó durante la discusión de clase. La idea es hacer algunos trazos auxiliares y expresar los lados de los triángulos en función del lado del triángulo MNO. Por ejemplo, construyeron un triángulo MNO, la recta L que pasa por su baricentro, los segmentos MM', OO' y NN', perpendiculares a L; trazaron una recta paralela a MN que pase por B, la cual forma un ángulo con la recta L.

18. Construyeron una prolongación de MN que corte a L en Q. Por último, trazaron una perpendicular a MN que pase por O (Figura 8). Figura 8: Haciendo trazos auxiliares PRUEBA

19. Generalizaciones y Extensiones El profesor planteó nuevos problemas, como variantes de la situación original. Por ejemplo:   ¿Se puede extender el resultado obtenido en la solución del problema para otra clase de polígonos? Figura 9. La construcción básica

20. Si tenemos un triángulo equilátero MON con baricentro en B y una recta L que pase por B. Se trazan los segmentos MM', NN' y OO', perpendiculares a L. Se construyen polígonos regulares de n lados sobre cada uno de estos segmentos y sobre el segmento MN. Resolver el nuevo problema implica encontrar una relación entre las áreas de los eneágonos.

21. Particularización El profesor empleó casos particulares para ilustrar la nueva situación problemática. Para ello, usó el software dinámico y construyó una figura similar a la 9 y sobre ella trazó cuadrados sobre los lados MM', NN', OO' y MN. Figura 10. Un caso particular

22. El profesor construyó otros casos particulares con pentágonos y hexágonos. En cada uno de ellos hizo la relación entre las áreas. Figura 11. Estudiando otros casos particulares

23. A partir de estos casos particulares, los estudiantes conjeturaron que la relación demostrada en el caso inicial, se puede extender para otros polígonos regulares, esto es: El profesor partió de la ecuación 18 para el caso del triángulo equilátero, es decir: Simplificando, se obtiene:

24. En la expresión 19 se presenta la relación entre las áreas de los cuadrados de lados MM', NN', OO' con el cuadrado de lado MN. Es decir el resultado original se puede extender para el caso de los cuadrados. A partir de estos casos particulares, el profesor realizó una generalización. La prueba inició encontrando una relación general para el área de un polígono regular de n lados.

25. Figura 12. Construyendo una relación general

26. En la figura 12, a representa la apotema y el ángulo POM se puede calcular dividiendo entre el número de lados del polígono. Por otra parte, . Haciendo esas consideraciones, el profesor construyó las siguientes relaciones: Reemplazando (21) en (20) se obtiene:

27. En ambos lados de la ecuación (19) se multiplica por la expresión y se obtiene: Usando la expresión (22) en (23), se concluye que: