雅典时期的希腊数学

1. 雅典时期的希腊数学 • 范晓玲（06号） • 数学系05数学教育

2. 雅典时期的希腊数学 埃利亚学派 芝诺 德漠克利特认为万物的始源只有两个原子与虚空．“原子” (atom，拉丁文atomu3来自希腊文5?。A。s，是不可分割的思)是不可分的物质粒子，永远处于运动状态之中．这种见解给宗教以毁灭性的打击． 在数学方面，德设克利特应用了原子的观点．他认为线段、面积和立体，是由有限个不可再分的原子构成的．计算体积就等于将这些原子集合起来．这种不接严格的想法骤然看来好象不大合理，但是这种“原子法”和前面授到安提丰的“穷蜗法”却是古代数学家发现新结果的重要线索．阿基米德说德滨克利特是第一个得出圆锥或棱锥体积是等底等高的圆柱或棱柱的1／3的人．这命题的最早证明属于位多克萨斯(Eudox—us，别6。5。97约公元前408—355年)．阿基米德自己也用过这种方法寻找问题的答案，然后再用严密的理论使其精确化，直到16世纪的刻L勒，将园看作无数顶点在圆心上的三角形的和，还带有“原子法”的遗风*

3. 智人学派 公元前5世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”(sophist school,或译巧辩学派、哲人学派)应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。在数学上，他们提出“三大问题”： ①三等分任意角； ②倍立方，即求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍； ③化圆为方，即求作一正方形，使其面积等于一已知圆。 问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。这个学派的安提丰(约公元前430)提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8，16，32、……边形，这样继续下去，安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽(约263年前后)的割圆术思想不谋而合。

4. 柏拉图学派 公元前4000年，古希腊哲学进入系统化阶段，其代表人物有柏拉图和亚里士多德。 公元前427年柏拉图生于雅典的一个名门望族。他的父亲名叫阿里斯东，母亲叫柏里克蒂娥尼，是改革家梭伦的后裔。 柏拉图本名阿里斯托克利，据说因为他生有一个阔额头，所以得了个浑号“柏拉图”，后来这个名字也就叫出了名。 柏拉图青年时代，正当伯罗奔尼撒战争，18岁时他应征入伍。他青年时期象其他贵族子弟一样受过良好的教育，富于文学兴趣和才能。20岁时成为苏格拉底的学生。 公元前399年苏格拉底被已经腐败的雅典民主派处死，柏拉图因此受到沉重的打击。 苏格拉底被处死后，柏拉图不得不暂离雅典，大约从28至40岁，他作了一次海外游历。

5. 拉斐尔·圣齐奥 (1483-1520) 所绘油画《雅典学派》

6. 亚里斯多德 亚里斯多德，古希腊著名哲学家、自然科学家，西方文艺理论的真正奠基者。公元前384年生于爱琴海北岸的哈尔基迪凯半岛上的达吉罗斯，其父是马其顿国王阿明塔斯二世的御医。母亲法伊斯提来自优卑亚岛的哈尔基斯。亚里斯多德早年丧父，由监护人“抚养”。17岁赴雅典就读于柏拉图的“学园”，受教20年。为学员中出类拔萃者。 柏拉图去世后，亚里斯多德曾受马其顿王之聘，教育太子亚历山大。回雅典后，亚里斯多德在吕刻翁自立学园，专心教育和著述，经常在走廊边走边讲授，后世称他的弟子为“逍遥学派”。恩格斯称他是古代“最博学的人”。

7. 三大几何作图问题 ①三等分任意角； ②倍立方，即求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍； ③化圆为方，即求作一正方形，使其面积等于一已知圆。 问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题。这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。这个学派的安提丰(约公元前430)提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8，16，32、……边形，这样继续下去，安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽(约263年前后)的割圆术思想不谋而合。 欧多克斯Eudoxus （409～356 BC)

8. （2）关于无限的迷思 芝诺与运动悖论 这个时期的希腊数学中心还有以芝诺(约公元前496～前430)为代表的埃利亚学派，他提出四个悖论，给学术界以极大的震动。这四个悖论是： 他提出四个悖论，给学术界以极大的震动。这四个悖论是： • 芝诺 Zeno • 约495 BC ~ 430 BC

9. Zeno of Elea ①二分说，一物从甲地到乙地，永远不能到达。因为想从甲到乙，首先要通过道路的一半，但要通过这一半，必须先通过一半的一半，这样分下去，永无止境。结论是此物的运动被道路的无限分割阻碍着，根本不能前进一步。

10. ②阿基琉斯(善跑英雄)追龟说，阿基琉斯追乌龟，永远追不上。因为当他追到乌龟的出发点时，龟已向前爬行了一段，他再追完这一段，龟又向前爬了一小段。这样永远重复下去，总也追不上。

11. 时刻t 芝诺悖论: 飞矢不动 ③飞箭静止说，每一瞬间箭总在一个确定的位置上，因此它是不动的。

12. ④运动场问题，芝诺论证了时间和它的一半相等。

13. （3）逻辑结构的倡导 雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要应归功于柏拉图、亚里士多德和他们的学派。 柏拉图本人虽未得到很多具体的数学成就，但对数学研究的方法却颇多贡献。普洛克鲁斯将分析法与归谬法归功于柏拉图。柏拉图给出了许多几何定义，并坚持对数学知识作演绎整理，这在他的代表著作《理想国》中有明白陈述。 亚里士多德也深入研究了作为数学家推理的出发点的基本原理，并将它们区分为公理和公设。亚里士多德最大的贡献就是将前人使用的数学推理规律规范化和系统化，从而创立独立的逻辑学，其中的基本逻辑原理矛盾律和排中律，成为数学中间接证明的核心，亚里士多德的形式逻辑被后人奉为演绎推理的圣经，在当时则为几里得演绎几何体系的形式奠定了方法论的基础