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給學生一個驚豔的經驗 ： 以探索為核心的幾何臆測與論證活動

給學生一個驚豔的經驗 ： 以探索為核心的幾何臆測與論證活動. 鄭英豪 臺北市立教育大學　數學資訊教育學系. 先從 PISA( 數學素養 ) 的考題說起. 追蹤並報告 十五 歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準 個人能在 多樣不同的情境之下 ，將情境問題 轉化 成數學問題、 使用 數學及 詮釋 數學的能力 包括數學 推理 及 使用 數學概念、程序、事實、工具來 解釋 、 描述 及 預測 現象 我們不知道為什麼第一，也不知道為什麼退步，因為我們完全不知道 素養是什麼. PISA 幾何題：例 1. 這是哪一種錐體？. PISA 幾何題：例 1.

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給學生一個驚豔的經驗 ： 以探索為核心的幾何臆測與論證活動

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  1. 給學生一個驚豔的經驗：以探索為核心的幾何臆測與論證活動給學生一個驚豔的經驗：以探索為核心的幾何臆測與論證活動 鄭英豪 臺北市立教育大學　數學資訊教育學系

  2. 先從PISA(數學素養)的考題說起 • 追蹤並報告十五歲學生在接近中等教育結束時的數學素養水準 • 個人能在多樣不同的情境之下，將情境問題轉化成數學問題、使用數學及詮釋數學的能力 • 包括數學推理及使用數學概念、程序、事實、工具來解釋、描述及預測現象 • 我們不知道為什麼第一，也不知道為什麼退步，因為我們完全不知道素養是什麼

  3. PISA幾何題：例1 這是哪一種錐體？

  4. PISA幾何題：例1 需要的數學知識小學學過吧？

  5. PISA幾何題：例2 這是小學問題

  6. PISA幾何題：例3 截補策略？ 直接比較？

  7. PISA幾何題：例4 讀文辨圖？

  8. PISA幾何題：例5 圖形周長？

  9. PISA幾何題：例6 積木體積？

  10. PISA試題的意義 幾何素養不是幾歲時學會什麼的問題 PISA考驗的是 • 學過的幾何知識，以及經驗過的幾何方法能不能用出來的問題 尤其是 • 人在幾何情境中，有效解決問題的知識憶取與思維運作歷程

  11. 反思幾何教學的迷思 • 我們習慣以「年級」當作指標來度量學生的數學「程度」 • 幾年級學過什麼、幾年級要（該）學什麼 • 也就是… • 知識、能力被「序列化」、「年級化」 • 漸漸地… • 時間還沒到的不用教、還沒教的不用會 • 但是 • 知識真的不是這樣形成與被實際運用的

  12. 我的關心 • 幾何思考究竟是什麼？包含哪些成分？ • 幾何思考如何教學？如何統整成分實施？ • 我不相信幾何思考是可以用層次編序教學培養出來的 • 幾何的循序漸進與數與量的算術本質上不同

  13. 幾何教與學的內涵…有哪些說法(1) van Hiele說思維層次： • visual/recognition • 分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。 • descriptive/analysis • 以構成要素分析圖形，發現一群圖形共有的性質。 • relational/ordering • 提出或理解非正式論證，以邏輯聯繫已發現的性質。 • formal/deduction • 演繹證明定理，並且建立定理的網路結構。 • rigor/axiomatic • 學生在不同的公設系統中建立定理並且分析比較這些系統。

  14. 幾何教與學的內涵…有哪些說法(2) Duval說了解成分： • 知覺的(perceptual) • 看到幾何圖形時辨識到的構形與關係 • 序列的(sequential) • 依次序逐次作出基本單元而組合成整個圖形的瞭解 • 論說的(discursive) • 對一個幾何圖形基本的名稱、假設、已知條件的瞭解 • 操作的(operational) • 對圖形進行分解組合、放大縮小、平移旋轉等操作以獲得解題或論證靈感的瞭解

  15. 視覺 2 4 1 3 構圖 推理 5(A) 5(B) 幾何教與學的內涵…有哪些說法(3) Duval又說幾何歷程： • 視覺(visualization) • 對於圖形空間表徵的認知 • 表象圖形(線條與原型形狀的組構物) • 洞察幾何意義(角、平行垂直、等距等積) • 根據文字敘述的圖形再現 • 構圖(construction) • 根據作圖工具對圖形的再製過程 • 推理(reasoning) • 進行論說的過程

  16. 幾何教與學的內涵…有哪些說法(4) Fischbein區分幾何物件意識： • 知覺影像(perceptual image) • 看到形狀、線條組、資訊的直接指涉 • 圖形概念(figural concept) • 看見幾何結構，線段、角、關係…

  17. 幾何教與學的內涵…有哪些說法(5) Vinner& Tall區分幾何概念意識： • 概念心像(concept image) • 心念中的第一連結物件 • 有名字的形狀、看起來像的形狀 • 概念定義(concept definition) • 抽象意念對應的幾何結構 • 具有一定特性的形狀

  18. 從來沒有誰說幾何的教與學是 先形狀、元素、關係 然後才推理證明 幾何的學習歷程本質上就是 一直在「運思」，只是 運思的對象(形體、構形)愈來愈廣雜 運思的嚴密(邏輯、演繹)愈來愈凸顯

  19. 幾何運思活動的體驗與設計 大家來經驗一下 一塊正方形的蜂蜜蛋糕，要均分給 4個人 • 可以怎麼分？ • 還可以怎麼分？ • 為什麼每一塊都一樣？

  20. 可能引發的漸次策略 • 四等分 • 平分，再平分 • 等形平分 • 等積平分 • 等積分割 • 正方形的

  21. 推向推論與論證 • XXX 這樣分可以嗎？為什麼？ • 等積的方法 • 等形的方法 ＝ ＝ ＝ ＝

  22. 孩子有哪些巧思

  23. 這樣做照顧了…van Hiele思維層次 • visual/recognition • 分辨、稱呼、比較及操弄正方形與子圖 • descriptive/analysis • 描述子圖的構成，指出均分的意義 • relational/ordering • 提出各子圖為均分的原因 • formal/deduction • rigor/axiomatic

  24. 這樣做照顧了…Duval了解成分 • 知覺的(perceptual) • 看到正方形與各種四等分子圖 • 序列的(sequential) • 依四等分的建構策略，逐步作出等分子圖 • 論說的(discursive) • 論說與理解均分的原因 • 操作的(operational) • 對正方形及已得子圖進行分解組合，獲得預期目標

  25. 這樣做照顧了…Duval幾何歷程 • 視覺(visualization) • 將四等分轉換成圖形影像 • 視覺化各種四等分圖形 • 構圖(construction) • 作各種四等分的子圖 • 推理(reasoning) • 再分割的推論 • 判斷是否均分

  26. 這樣做照顧了…Fischbein幾何物件意識 • 知覺影像(perceptual image) • 看到正方形與分割線 • 看到各自的子圖 • 圖形概念(figural concept) • 看見子圖及其之間的幾何結構 • 看見子圖與正方形的相對關係 • 看見子圖等積截補的過程（動態心像）

  27. 這樣做照顧了…Vinner& Tall幾何概念意識 • 概念心像(concept image) • 單一切截 • 四等分 • 平分再平分 • 概念定義(concept definition) • 多樣切截 • 等積的四分之一 • 等形的四個部分

  28. 這樣的活動是在作什麼？ Boero：數學家的數學活動內涵 數學情境 形成臆測 形成命題 檢驗探究 嘗試推論 組織論述 形式證明

  29. 這是一種統整的幾何活動 • 提供一個學生可以操作的開放式情境 • 提出構圖與視覺活動 • 視覺式構圖、視覺推理 • 以多樣的作品引發更進一步的操作 • 挑戰所做是否滿足要求 • 提出推理與視覺活動 • 判斷其他作品的正確性 • 論述指定作品的正確性 • 量的取向 • 形的取向

  30. 也可以設計成這樣…(程序性反駁) • 提出一個偽命題的似真特例 • 直角三角形斜邊上的高＝斜邊長一半 • 要求學生構圖舉例，記錄資訊 • 做出各種直角三角形，量出並記錄邊與角 • 區分正、反例 • 找出正例的條件通性，修正原命題的前提 • 等腰直角三角形斜邊上的高＝斜邊長一半 • 找出所有例的共通結果，修正原命題結論 • 直角三角形斜邊上的高＝兩股積/斜邊長 • 要求學生檢驗一般性或證明命題 2 1

  31. 結語一：幾何的整合式學習活動成分 • 觀察與辨識 • 已有的圖形與子圖、構形(元素)、相(絕)對關係 • 構圖的順序 • 先決定什麼、依什麼條件、下一個是什麼 • 推理與猜想 • 形變換的結果、怎樣可以達到目的 • 語彙與表達 • 說到別人聽得懂、懂別人所說

  32. 中小學幾何教學的困境 • 我們其實教了很多東西

  33. 我們也有很高階的幾何問題

  34. 學校課程中的幾何挑戰也很難 A M B 1 x 2 N C D 已知度量與關係，求度量 M//N，∠1=30°, ∠2=45°。求 x 已知關係，求證/檢驗關係 四邊形ABCD中， AB//CD，AB＝CD。 求證ABCD是平行四邊形

  35. 但實際上…五年級學生記住的幾何性質

  36. …小學生的幾何知識調查 橢圓、半圓歸類為圓形 不會留意圖形是否具有封閉性 受到整體視覺的影響 正方形就一定要是水平的呈現 有弧度的角也可算是正方形 菱形與正方形相互混淆 長方形就一定要長長的， 長方形與平行四邊形上學生容易產生混淆 兩邊短短底邊長長的銳角三角形才會是三角形 面積、體積、周長三者混淆 體積與重量的概念無法區辨清楚 牛奶盒學生會說盒子是「高高的」不是「寬寬的」

  37. 而且…國中生眼力也差不多

  38. …國中生也沒多會算 v v u p u p w

  39. …學了證明也一樣 如圖，請證明：「設A為圓心，AB為半徑，AB的垂直平分線交圓周於一點C。則△ABC為正三角形。」

  40. 連背性質都背不準 1 2 3 4

  41. 編織的問題：跳躍與斷裂 少了那不起眼卻又關鍵的一步 似乎聽得懂，但是 學生「會」（動機、能力）做嗎？ 教材中會用色彩凸顯幾何資訊讓學生具焦在應注意的資訊上，這個動作，學生自己「會」做嗎？ 忽略了語言、表徵與數學內涵的差異性 用文字與口語傳遞幾何資訊時，真正被理解的幾何資訊是什麼？ 對應在幾何脈絡中的樣貌是什麼？

  42. 結語二：回歸構形的教學焦點 • 幾何單元真正的學習對象是構形而非圖形 • 幾何世界是由線段、角、點所構成的 • 圖形是構形的組合介面而非思維目的 • 幾何性質是構形間的關係而非圖形的特性 • 所有的構形關係都不是為圖形而開發的 • 構形應在複雜中被辨識而非典型呈現 • 構形與其關係要讓學生看得見而非聽得到 • 老師愛講愛寫，學生只好聽聲音看文字

  43. 總結：數學教師的挑戰：編織學習脈絡 • 「圖形」與「構形」 • 輪廓外觀 vs. 邊、角 • 「描述」與「推論」 • 時鐘是圓形，所以是線對稱 vs. 鐘面數字不對稱 • 「命名」與「定義」 • 角柱的側面是長方形（正方形） • 圓柱有沒有邊 • 「探索」與「解題」 • 在開放性情境中 vs. 在限定問題中

  44. 謝謝各位的聆聽

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