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第二讲 随机变量及其概率分布

第二讲 随机变量及其概率分布. E1 抛硬币：可能出现正面或反面； E2 从一批产品中任取 10 件，抽到的废品数可能是 0,1,2, … ,10 中的一个数； E3 掷骰子：可能出现 1,2,3,4,5,6 点. 2.1 随机变量的概念. 定义 设随机试验的样本空间为 S ＝ {e i } ，如果对样本空间的每一个元素 e i ，都有一实数 X(e i ) 与之对应，对所有的元素 ，就得到一个定义在空间 S 上的实单值函数 X(e) ，称 X(e) 为 随机变量 ，简写为 X 。. 2.2 离散型随机变量及其分布律.

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第二讲 随机变量及其概率分布

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Presentation Transcript

  1. 第二讲 随机变量及其概率分布 E1抛硬币：可能出现正面或反面； E2从一批产品中任取10件，抽到的废品数可能是0,1,2,…,10中的一个数； E3掷骰子：可能出现1,2,3,4,5,6点 2.1 随机变量的概念

  2. 定义 设随机试验的样本空间为S＝{ei}，如果对样本空间的每一个元素ei，都有一实数X(ei)与之对应，对所有的元素 ，就得到一个定义在空间S上的实单值函数X(e)，称X(e)为随机变量，简写为X。

  3. 2.2 离散型随机变量及其分布律 如果随机变量X只能取有限个或可列无穷多个数值，则称X为离散型随机变量。

  4. X x1 x2 … xk … P p1 p2 … pk … 定义 设X为一个离散型随机变量，它所有可能取的值为xk(k=1,2,…)，而pk (k=1,2,…)是X取值xk时相应的概率，即 或写成 则称上式或表格表示的函数为离散型随机变量X的概率分布，或称为X的分布律。

  5. 2.3 连续型随机变量 对于可以在某一区间内任意取值的随机变量，它的值不是集中在有限个或可列无穷个点上，这就是连续型随机变量。

  6. 2.4 概率分布函数 定义 设X是一随机变量，x是任意实数，函数 称为X的概率分布函数,简称为分布函数。（对连续和离散随机变量都适用）

  7. 根据分布函数的定义，可得下面的基本性质： 性质1：满足

  8. 性质2：F(x)是单调非减函数，即当 则有

  9. 性质3：

  10. 性质4：随机变量X在区间 上取值的概率为

  11. 性质5：

  12. 性质6：F(x)右连续，即

  13. 对于离散随机变量的分布函数，除满足以上性质外，还具有阶梯形式，即对于离散随机变量的分布函数，除满足以上性质外，还具有阶梯形式，即

  14. 2.5 概率密度函数 概率密度函数定义为概率分布函数F(x)对x的导数，即 有时简称为密度函数。

  15. 对于离散随机变量，其概率密度函数为(只含有冲激函数）对于离散随机变量，其概率密度函数为(只含有冲激函数）

  16. 如果概率分布函数F(x)对x的导数定义的概率密度函数既有连续函数又有冲激函数，则成为混合型随机变量：如果概率分布函数F(x)对x的导数定义的概率密度函数既有连续函数又有冲激函数，则成为混合型随机变量：

  17. 根据概率分布函数的性质，可得到概率密度的性质：根据概率分布函数的性质，可得到概率密度的性质： 性质1：概率密度函数非负

  18. 性质2：概率密度函数在(x1,x2)区间积分，得到该区间的取值概率性质2：概率密度函数在(x1,x2)区间积分，得到该区间的取值概率

  19. 性质3：概率密度函数在整个取值区间积分为1，即性质3：概率密度函数在整个取值区间积分为1，即

  20. 2.6 二维随机变量及其分布 1.二维随机变量及其分布函数 定义 设随机试验E的样本空间S={e}，X=X(e)和Y=Y(e)是定义在样本空间S上的两个随机变量，由X和Y构成的矢量(X,Y)称为二维随机矢量或二维随机变量。

  21. 定义 设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x和y，令 则称FXY(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，或称二维分布函数。

  22. 二维分布函数FXY(x,y)的性质： 性质1：

  23. 性质2：对于任意固定的x和y，分布函数满足

  24. 性质3：对于每个变量，FXY(x,y)都是单调非减的，即性质3：对于每个变量，FXY(x,y)都是单调非减的，即 当y2>y1时 当x2>x1时

  25. 如果二维随机变量的可能取值为有限个或可列无穷个，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。如果二维随机变量的可能取值为有限个或可列无穷个，则称(X,Y)为二维离散型随机变量。

  26. 对于二维离散型随机变量，有 pij称为(X,Y)的联合概率分布列，简称为分布列。

  27. 2.二维概率密度 定义 若二维分布函数FXY(x,y)连续并存在二阶偏导数，则定义 为(x,y)的二维联合概率密度，简称为二维概率密度。

  28. 二维概率密度具有以下性质： 性质1：

  29. 性质2：

  30. 性质3：

  31. 例：设(X,Y)的联合密度函数 求

  32. 3.边缘分布 定义 设FXY(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数，令 则称FX (x)、 FY(y)分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数，简称为X和Y的边缘分布函数。

  33. 将 分别称fX(x)和fY(y)为X和Y的边缘概率密度函数。

  34. 4.随机变量的独立性 定义 设X、Y为两个随机变量，如果对任意实数x和y，事件 和 相互独立，即 则称X和Y相互独立。

  35. 5.条件分布 在 的条件下，随机变量Y的条件概率分布函数和条件概率密度函数可分别表示为

  36. 2.7 n维随机变量及其分布 定义 n维随机变量 的n维（联合）分布函数为

  37. 定义 设 为n维随 机变量 的n维分 布函数，如果它的n阶混合偏导数存在，那么定义 为n维随机变量的n维概率密度。

  38. n维随机变量相互统计独立的充要条件为：对于所有的 满足

  39. 2.8 随机变量的数字特征 2.8.1 数学期望 对于连续随机变量X，它的概率密度为fX(x)，则其数学期望定义为

  40. 对于离散随机变量X，假定它有n个可能取值，各个取值的概率为对于离散随机变量X，假定它有n个可能取值，各个取值的概率为 ，则数学期望定义 为

  41. 混合型随机变量的数学期望就是两部分数学期望的和。混合型随机变量的数学期望就是两部分数学期望的和。

  42. 均值具有如下性质： 性质1： 其中c为常数

  43. 性质2：若c为常数，则有

  44. 性质3：若X、Y是任意二个随机变量，则有

  45. 性质4：若X、Y是二个相互独立的随机变量，则有性质4：若X、Y是二个相互独立的随机变量，则有

  46. 性质5：切比雪夫不等式：若X随机变量， 是其数学期望，则有 推广为比安内梅不等式（对任意a）：

  47. 2.8.2 方差 连续随机变量X的方差定义为

  48. 离散随机变量X的方差定义为：

  49. 方差的性质： 性质1：若c为常数，则

  50. 性质2：若X是随机变量，c是常数，则有

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