第 20 章 氣體動力論
第 20 章 氣體動力論. 20.1 理想氣體模型 20.2 壓力之動力論詮釋 20.3 溫度之動力論詮釋 20.4 理想氣體比熱 20.5 能量均分 20.6 馬克士威 – 波茲曼速率分佈. 資料來源：朱達勇 普通物理學 (Benson). 20. 1 理想氣體模型. 氣體動力論有下列關於氣體分子的假設： 1. 氣體含有非常多個以隨機速度運動的相同分子。 2. 分子沒有內部結構，故動能為純移動動能（稍後會再加入分子的旋轉或振動的可能性）。
第 20 章 氣體動力論
E N D
Presentation Transcript
第20章 氣體動力論 20.1 理想氣體模型 20.2 壓力之動力論詮釋 20.3 溫度之動力論詮釋 20.4 理想氣體比熱 20.5 能量均分 20.6 馬克士威–波茲曼速率分佈 資料來源：朱達勇 普通物理學 (Benson)
20.1 理想氣體模型 氣體動力論有下列關於氣體分子的假設： 1. 氣體含有非常多個以隨機速度運動的相同分子。 2. 分子沒有內部結構，故動能為純移動動能（稍後會再加入分子的旋轉或振動的可能性）。 3. 分子間及分子與容器壁間只有簡短的彈性碰撞而無其他的交互作用。它們只有在很近的距離下才會有很強的排斥力，而碰撞的時間比碰撞間隔時間要小很多，故排斥力形成的位能變化可以忽略掉。
20.2 壓力之動力論詮釋 考慮裝在邊長為 L的正方體容器中的氣體，如圖 20.1a 所示。 欲算出垂直於 x 軸的面所產生的壓力，為簡化起見，設開始時分子間並不互相碰撞。 一個分子，其速度之 x分量為 υ1x，當它與器壁作彈性碰撞，如圖 20.1b 所示，速度的 y 與 z 分量不會改變，而 x分量改變方向，故分子之線動量改變了：
圖20.1 (b)氣體分子與牆壁作彈性碰撞時，速度垂直於牆壁的分量會改變方向， 而平行分量則完全不變。
由於分子運動完全隨機的，即沒有偏好的方向，所以可預期由於分子運動完全隨機的，即沒有偏好的方向，所以可預期 將Συ2ix＝ Nυ2x＝ Nυ2/3 代入 20.1 式，得總平均力為： 而施予面積 A＝ L2牆上所產生的壓力 P＝F/A是： 式中，V＝ L3。
20.3 溫度之動力論詮釋 熱力學中溫度的概念僅是溫度計上的讀數而已，動力論則提供此概念更深入的物理基礎。把 20.2 式改寫成下面形式： 再與理想氣體定律：PV＝ NkT比較，可得分子的平均動能：
例題 20.2 求 (a) 空氣分子在 300 K 的平均移動能；(b) 300 K 下 O2與 N2的方均根速率。
20.4 理想氣體比熱 理想氣體模型將氣體粒子視為一種無結構的硬球，它只有移動動能。此模型對 He、Ne、Ar 等單原子惰性氣體近似正確。 N 個這種分子的總能量可由 20.5 式得出： 式中以 R＝kNA及N＝ nNA 而得之，可知理想氣體之內能僅與溫度有關。由絕熱自由膨脹實驗（19.4 節）也可得到同樣的結論。
當 n 莫耳的氣體在定容下加熱，氣體不作功 W＝ 0。由第一定律（ΔU＝ Q－ W）可知，所有熱轉成內能：Qυ＝ΔU，下標代表熱是在定容下吸收的。 由 19.11 式 Qυ＝ nCυ ΔT，Cυ為定容莫耳比熱，因此： 通常，此方程式只限於定容過程。然而理想氣體的內能僅為溫度的函數，因此，20.8 式適用於理想氣體的任何過程，即使並非定容。
比較 20.8 式與 20.7 式ΔU ＝ 3/2 nRΔT，得理想單原子氣體的定容莫耳比熱為： 單原子理想氣體 Cυ的值約為 3 cal/mol．K。利用 20.9 式：Cp－ Cυ＝ R，可得： 單原子理想氣體 兩者的比值為：
例題 20.3 (a) 定容時；(b) 定壓時；欲將 2 莫耳的氦氣由 0℃ 升高到 100℃ 需多少熱能？(c) 在 (b) 部分所作的功多大？
20.5 能量均分 由 20.5 節知，分子平均移動能為 而 υ2x＝ υ2y＝ υ2z，故 對應各速度分量之平均移動動能都等於 ½kT。因為分子可以沿三個彼此無關方向移動，我們說它有三個移動自由度，分子的ㄧ個自由度為其擁有的位能或動能。
在總能量的數學表示式中，每一個自由度都為獨立的項目，可用位置座標或速度分量的平方來表示。依馬克士威爾的能量均分定理。在總能量的數學表示式中，每一個自由度都為獨立的項目，可用位置座標或速度分量的平方來表示。依馬克士威爾的能量均分定理。 每一自由度都有平均能量 ½kT。
我們可解釋為：以兩原子連線為軸的轉動慣量 Iz與 Ix、Iy比起來幾乎可以忽略掉。 若我們加上此一假設，則這種分子共有五個自由度，故其平均能量為： 而 N 個分子或 n 莫耳的分子共有能量： （剛性旋轉子）
由ΔU＝ nCυΔT及 Cp＝ Cυ＋ R，莫耳比熱與兩種比熱的比值變成：
20.6 馬克士威–波茲曼速率分佈 到現在為止我們只提到分子的平均速率，然而每個分子的速率應會分佈於很大範圍內，1859 年馬克士威（James Clerk Maxwell）證明：氣體中有 N個分子，每個質量為 m，其速率可依公式 分佈，其中A ＝ 4πN (m/2πkT)3/2。f (υ) 函數稱之為馬克士威–波茲曼分佈。
圖20.8 馬克士威—波茲曼速率分佈。在 dυ 範圍內的分子數 dN 為 dN ＝ f (υ)dυ。當溫度升高，曲線變得較寬而高峰也右移至較高速率。
20.7 平均自由徑 如圖 20.9 所示，分子由於碰撞，其行徑為不規則的路線，只有在兩次碰撞間才為直線。 1858 年克勞秀士考慮碰撞效應而引入平均自由徑（mean free path；λ）的觀念，定義為分子在兩次碰撞間所走的平均距離。 設所有的分子皆為半徑 r 的硬球，先看某個分子的運動。 將其他分子當作靜止，若兩分子的運動中心線距離小於 2r，如圖 20.10a 所示，它們將會碰撞。
圖20.9 分子與其他分子相撞造成的不規則移動路徑。
因為遇到的分子數即為碰撞的次數，故： 平均自由徑為兩次碰撞間的平均距離，與平均時間τ之關係為，λ＝ υτ。由上式可知 上式中σ＝πd 2。若以馬克士威的速率分佈考慮其它分子的運動，可得 小了 2 的因數。
例題 20.4 令分子之直徑為 0.3 nm，找出 300 K、1 atm 下空氣分子的 (a) 平均自由徑，(b) 碰撞頻率。