Valutazioni asintotiche di integrali

1. Corso di Campi Elettromagnetici II (secondo modulo) Valutazioni asintotiche di integrali Giampiero Lovat Università “La Sapienza” di Roma

2. Introduzione Nozioni fondamentali • Infiniti, infinitesimi e serie asintotiche Integrali di Laplace • Integrazione per parti • Lemma di Watson • Metodo di Laplace Integrali di Fourier • Integrazione per parti • Metodo della fase stazionaria Metodo dello steepest-descent Sommario

3. Applicazioni Evoluzione del pacchetto d’onda Fenomeno di Stokes Altre tecniche Trasformata di Mellin Sommario

4. La soluzione di molti problemi interessanti della fisica può essere espressa in termini di integrali definiti Valutazioni asintotiche per certi integrali che contengono un parametro kgrande Storicamente, lo sviluppo di queste tecniche analitiche furono motivate dallo studio di problemi fisici concreti Successivamente, quando se ne capì la validità generale, divennero veri e propri metodi matematici Introduzione Esempi: • Funzioni speciali (rappresentazioni integrali) • Soluzioni di PDE ai valori iniziali e/o al contorno attraverso trasformate di Fourier o di Laplace

5. Tecniche di valutazione asintotica I metodi più noti per lo studio di integrali che contengono un parametro kgrande sono: Metodo di integrazione per parti Metodo di Laplace Metodo della fase stazionaria Metodo dello steepest-descent (o del punto di sella) Negli ultimi anni la soluzione di diverse PDE non lineari che descrivono fenomeni fisici molto importanti è stata espressa in termini di integrali definiti

6. Nozioni fondamentali Parte I

7. Ordine di infinito e di infinitesimo (1) Si può ottenere un’approssimazione di I(e) integrando per parti ripetutamente:

8. - e è di ordine di grandezza (o di ordine) e, mentre 2!e2è di ordinee2: 2!e2è di ordine più piccolo die, cioè è un’approssimazione corretta all’ ordinee2 Ordine di infinito e di infinitesimo (2) Nell’ipotesi di e sufficientemente piccolo si introduce la seguente terminologia:

9. La notazione indica che esiste una costante finita M e un intorno di k0 tale che |f |  M |g| La notazione indica che Ordine di infinito e di infinitesimo (3)

10. Si dice che f(k)è un’approssimazione di I(k) valida all’ordine d(k), per kk0, se è un’approssimazione di I(e)valida all’ordinee2 Approssimazione asintotica Esempio:

11. definisce il (j+1)-esimo termine è molto più piccolo del j -esimo Definizione: Una successione ordinata di funzioni {dj(k)},j = 1,2,… si chiama successione asintotica per k k0 se per ogni j Successione asintotica

12. Definizione: Sia I(k) una funzione continua sia {dj(k)} una successione asintotica per k k0. Allora la serie formale è chiamataespansione asintotica(o serie asintotica)di I(k) per k k0, valida all’ordine dN(k) se e si scrive Espansioni asintotiche (1)

13. La notazione significa che Osservazione: Spesso si indica anche nonostante tali serie asintotiche siano spesso non convergenti Espansioni asintotiche (2)

14. Espansioni asintotiche (3) è un’espansione asintotica? Tuttavia l’espansione non è convergente!

15. Proprietà: Data una successione asintotica {dj(k)}, allora è unica l’espansione asintotica di una funzione f(k), cioè se Espansioni asintotiche (4) Pertanto non si possono prendere troppi termini nella serie, poiché il resto alla fine cresce indefinitamente In linea di principio, comunque, fissato un valore per il parametro asintotico k, è possibile trovare un valore di Nottimo, cioè tale da minimizzare il resto

16. parametro asintotico z complesso Se f (z) è una funzione analitica all’esterno di un cerchio di raggio R, sappiamo che f(z) ha una serie di Taylor convergente all’infinito del tipo la serie di Taylor è equivalente a una serie asintotica convergente con successione asintotica {1/zj} In generale, le espansioni asintotiche saranno valide solo all’interno di un certo settore del piano complesso z ; la validità dell’espansione asintotica sarà cioè limitata da certi valori per Arg(z) Espansioni asintotiche (5) parametro asintotico k reale Se f (z) non è analitica all’infinito allora non può avere un’espansione asintotica per z valida per ogni Arg(z)

17. Proprietà Date due funzioni f (z) e g(z) che ammettono ciascuna una serie di potenze asintotica in uno stesso settore del piano complesso, allora f +g e fg ammettono come espansioni asintotiche le serie di potenze ottenute rispettivamente sommando e moltiplicando le loro serie termine a termine. Se f (z) ammette una serie di potenze asintotica, allora anche le operazioni di derivazione(*) e di integrazione termine a termine forniscono delle espansioni asintotiche valide nello stesso settore del piano complesso Serie di potenze asintotiche (1) Definizione: Si dice che una funzione f (z) ha una serie di potenze asintotica per z in un settore del piano complesso z se Ovviamente, in generale, la serie non è convergente

18. Supponiamo ad esempio che per z e -p/2<Arg(z)<p/2, f (z) ammetta la serie di potenze asintotica La stessa espansione rappresenta anche la funzione f (z)+e-z nello stesso settore. Infatti Il termine e-z è trascendentalmente piccolo o “oltre tutti gli ordini” rispetto alla serie di potenze asintotica che rappresenta f (z) Una serie asintotica di potenze non contiene informazioni sui termini oltre tutti gli ordini Serie di potenze asintotiche (2) Una stessa espansione asintotica può rappresentare due diverse funzioni

19. Esempi elementari Parte II

20. Consideriamo ad esempio la valutazione di integrali del tipo dove uniformemente per t in [a,b] e è finito e non nullo il limite per k  k0e l’integrale possono essere scambiati (e questo è una conseguenza del fatto che una successione asintotica può essere integrata termine a termine) Introduzione Talvolta è possibile determinare il comportamento di un integrale senza l’uso di metodi asintotici sofisticati.

21. Valutare Possiamo pensare di espandere , che ammette un’espansione purché t sia finito. Perciò riscriviamo serie di Taylor Esempio 1

22. Valutare Come prima: ma ora l’integrando èsingolare in t = 0. Potremmo pensare di estrarre tale singolarità sottraendo e aggiungendo agli integrandi un fattore 1/t, ma rimarremmo con un integrale che non converge! Il problema si risolve sottraendo (e aggiungendo) negli integrandi il termine Esempio 2 (1)

23. Esempio 2 (2)

24. Integrali di Laplace Parte III

25. dove e sono funzioni reali e differenziabili trasformata di Laplace Analisi: • livello intuitivo: identificare la regione del dominio t che dà il contributo più importante all’integrale quando k   • livello euristico: derivare formule appropriate che esprimano il comportamento dell’integrale per grandi valori di k • livello rigoroso: stabilire la validità dei passi precedenti dimostrando che le formule ricavate costituiscono un’espansione asintotica Introduzione

26. Lemma: Dato l’integrale con [a,b] intervallo finito dell’asse reale, se la funzione f(t)CN+2[(a,b)] purché Se f(t) è monotona in [a,b] il lemma vale anche per Integrazione per parti (1) Generalizzazioni:

27. L’espansione asintotica dipende dal comportamento della funzione f(t) vicino all’estremo t = a Integrazione per parti (2) Esempio:

28. Esempio: singolare in t = 0! Intuitivamente ci aspettiamo che il contributo principale all’integrale per grandi valori di k venga da un intorno di t = 0. Sarebbe allora utile poter espandere la funzione f(t) nell’intorno dell’origine. Ciò sembra proibitivo nell’intervallo , ma… Integrazione per parti: il fallimento Se la funzione f(t) non è sufficientemente regolare vicino all’estremo t = a, allora il metodo di integrazione per parti non funziona

29. … per la presenza nell’integrando del fattore , I(k) dovrebbe essere asintoticamente equivalente a Un passo verso il Lemma di Watson Possiamo ora sostituire R = , aspettandoci che ciò introduca solo un errore esponenzialmente piccolo (cioè termini oltre tutti gli ordini) per k  

30. Lemma di Watson: Dato l’integrale se f(t)è integrabile in(0,b) e ammette l’espansione asintotica Lemma di Watson Ricapitolando, abbiamo: • sostituito 5 con R (R < 2) • sviluppato f(t) in serie • scambiato integrazione e somma infinita • sostituito R con 

31. Un passo indietro Trovare l’espansione asintotica completa per k   di

32. E’ possibile ricavare un’espansione asintotica infinita analizzando il comportamento dell’integrando nell’intorno di un punto solo! Lemma di Watson (di nuovo) Lemma di Watson: Dato l’integrale se f(t)è integrabile in(0,b) e ammette l’espansione asintotica Il comportamento asintotico di I(k)a tutti gli ordini viene da un intorno dit = 0

33. Espandendof(t) ef(t) in un intorno dit = c, ci aspettiamo che per grandi k Metodo di Laplace (1) Sia ora f(t) una funzionenon monotona con un minimo locale in t = c(a,b) Per semplicità sia f'(t)  0in [a,b] eccetto che int = c e siano f(t) ef(t) sufficientemente regolari.

34. cosicchéper k   formula di Laplace Si noti che l’utilizzo del simbolo è prematuro poiché non è stata ottenuta alcuna stima dell’errore Per ora ci sembra solo plausibile che possa essere il termine dominante di uno sviluppo asintotico Metodo di Laplace (2) Ponendo

35. Lemma: Dato l’integrale supponiamo che e per un certo punto c [a,b]. Supponiamo inoltre che sia f'(t)  0in [a,b] eccetto che int = c,f C4[(a,b)] e f C2[(a,b)]. Allora, se c è un punto interno di [a,b] mentre, se coincide con un estremo Metodo di Laplace (3)

36. Se invece c è un punto di massimo locale per f(t), cioè La giustificazione rigorosa del metodo di Laplace è basata sul Lemma di Watson che, in linea di principio, fornisce un’espansione asintotica infinita. Metodo di Laplace: generalizzazioni Il metodo di Laplace fornisce, in linea di principio, l’espansione asintotica di un integrale a tutti gli ordini

37. Metodo di Laplace: formula di Stirling Espansione asintotica della funzione G:

38. Integrali di Fourier Parte IV

39. dove e sono funzioni reali e continue Lemma di Riemann-Lebesgue: Se esiste, f C1[(a,b)] e non è costante su alcun sottointervallo di [a,b] Introduzione trasformata di Fourier Nel caso degli integrali di Laplace era chiaro che, a causa del decadimento esponenziale dell’integrando, tendevano a zero per k  . Ciò è vero anche per gli integrali di Fourier, ma è conseguenza del fatto che, per k  , il fattore esponenziale oscilla rapidamente e tali oscillazioni tendono ad autocancellarsi

40. Lemma: Dato l’integrale con [a,b] intervallo finito dell’asse reale, se la funzione f(t)CN+2[(a,b)] Generalizzazioni: Se f(t) è monotona in [a,b] il lemma vale anche per Integrazione per parti

41. Lemma: Dato l’integrale supponiamo che per un certo punto c [a,b]. Supponiamo inoltre che f(t) si annulli in modo regolare agli endpoint t = ae t = be che entrambe f(t) e f(t) siano infinitamente differenziabili negli aperti [a,c) e(c,b]. Si assuma infine che Allora Metodo della fase stazionaria (1)

42. Nel caso particolare in cui e allora Ottenibile con un ragionamento formale analogo a quello condotto con il metodo di Laplace Metodo della fase stazionaria (2)

43. Il metodo dello steepest-descent Parte V

44. dove e sono funzioni analitiche di zeCè un cammino del piano complessoz L’idea alla base del metodo è di sfruttare l’analiticità dell’integrando per deformare il cammino originario C in un nuovo cammino C’ lungo il quale la funzione f(z) = u(z)+jv(z) ha una parte immaginaria costante Si noti che sebbene z sia complessa,u(z) è una funzione reale e si possono utilizzare le idee già illustrate per la valutazione degli integrali di Laplace In questo senso il metodo dello steepest descent è un’estensione del metodo di Laplace a integrali nel piano complesso Se e hanno singolarità (poli, branch point) bisognerà tener conto dei loro contributi nel processo di deformazione del cammino Introduzione (1)

45. steepest ascent steepest descent solitamente passano per un punto z0 in cui f'(z0) = 0 (punto di sella) Si noti che, alternativamente, si potevano considerare cammini lungo cui fosse costanteu(z) e poi applicare un’estensione del metodo della fase stazionaria. Ma, già intuitivamente, ci si può aspettare che l’autocancellazione delle oscillazioni è un meccanismo di decadimento più debole rispetto al decadimento esponenziale di un fattore nell’integrando Infatti l’espansione asintotica completa di un integrale di Laplace generalizzato può essere trovata localmente, cioè dipende solo da un piccolo intorno di certi punti critici (punti stazionari, punti singolari, endpoint) Introduzione (2) Si può mostrare facilmente che i cammini lungo cui v(z) è costante sono anche i cammini lungo cui è massimo la crescita o la decrescita di u(z) è massima Per contro, solo il termine dominante dell’espansione asintotica di un integrale di Fourier generalizzato può essere trovato da considerazioni locali

46. Lemma: Dato l’integrale supponiamo che il cammino C possa essere deformato in un cammino Cs lungo un punto di sella z0 di ordine n-1. Supponiamo inoltre che f(z) sia di ordine vicino z0, cioè per Allora direzioni di steepest descent Metodo dello steepest descent

47. La natura asintotica della formula illustrata si dimostra rigorosamente utilizzando il Lemma di Watson. Inoltre è così possibile ottenere l’espansione asintotica a tutti gli ordini. Infatti è importante che il cammino di integrazione sia di steepest descent solo nell’intorno dei punti critici. Lontano da questi può essere un cammino di discesa qualunque. cammini asintoticamente equivalenti Le corrispondenti espansioni asintotiche differiscono per una quantità esponenzialmente piccola Commenti Una difficoltà pratica potrebbe essere l’individuazione del cammino di steepest descent. Tuttavia, la natura locale del metodo risolve anche questo problema.

48. Identificare i punti critici dell’integrando (punti di sella, endpoint e singolarità) Determinare il cammino di steepest descent (o uno asintoticamente equivalente) Deformare tramite il Teorema di Cauchy il cammino originario in uno o più cammini di steepest descent (o cammini asintoticamente equivalenti) Determinare l’espansione asintotica con uno dei diversi metodi (formula precedente, Lemma di Watson, integrazione per parti) Riassunto

49. Im(z) C -p p Re(z) punto di sella semplice direzioni di steepest descent Espansione asintotica della funzione di Hankel Valutare Punti critici:

50. Im(z) C1 p -p Re(z) C2 Espansione asintotica della funzione di Hankel Cammino asintotico equivalente al cammino steepest descent: