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定积分在几何中的应用

定积分在几何中的应用. 复习引入. 1 、 如果函数 f （ x ）在 [a ， b] 上连续且 f （ x ）≥ 0 时，那么：定积分 就表示以 y=f （ x ）为曲边的曲边梯形面积 。. b. ò. =. A. f. (. x. ). dx. a. A. 曲边梯形的面积. 曲边梯形的面积的负值. 一 . 定积分的几何意义是什么？. A. 2 、 定积分 的数值在 几何上都可以用曲边梯形面积的 代数和来表示。. 2. 微积分基本定理是什么？.

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定积分在几何中的应用

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Presentation Transcript

  1. 定积分在几何中的应用

  2. 复习引入 1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：定积分 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。 b ò = A f ( x ) dx a A 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 一.定积分的几何意义是什么？

  3. A 2、定积分 的数值在 几何上都可以用曲边梯形面积的 代数和来表示。

  4. 2.微积分基本定理是什么？ 如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 ，则 用定积分可以表示曲边梯形的面积，微积分基本定理为定积分的计算提供了一种有效的方法，二者强强联合，可以解决平面几何中曲边图形的面积问题.

  5. 探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图 形的面积 y y＝x2 y2＝x 1 O 1 x 思考：曲线y2＝x与y＝x2所围成的图形是什么？ 1、其交点坐标是什么？ B (1,1) C 2、如何将该图形的面积转化为 曲边梯形的面积？ D A (0,0) S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OADC. 3、该图形的面积用定积分怎样表示？

  6. 探究（二）：直线y＝x－4与曲线 及x轴所围成图形的面积 思考：直线y＝x－4与曲线 及 x轴所围成的图形是什么？ y y＝x－4 4 O 8 x B (8,4) 1、各顶点的坐标是什么？ C 2、如何将该图形的面积转化为曲边梯形的面积？ (0,0) D 4 (4,0) A S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD. 3、该图形的面积用定积分怎样表示？

  7. (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) (3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解. 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: P58练习

  8. 求两曲线的交点: 解: 2 8

  9. 4 求两曲线的交点: 解: -2 法二 8

  10. 思考题：在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线, 使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12. 求过点A的切线方程. y y=x2 A o x

  11. 练习、过原点的直线l与抛物线y=x2-4x所围成图形的面积为36，求l的方程.练习、过原点的直线l与抛物线y=x2-4x所围成图形的面积为36，求l的方程. 解：由题意可知直线的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx，则由 (1)当k+4>0，即k>-4时， ∴k=2，故直线l的方程为y=2x； ∴k=2，故直线l的方程为y=2x；

  12. 练习、过原点的直线l与抛物线y=x2-4x所围成图形的面积为36，求l的方程.练习、过原点的直线l与抛物线y=x2-4x所围成图形的面积为36，求l的方程. 解：由题意可知直线的斜率存在，故设直线l的方程为y=kx，则由 (2)当k+4<0，即k<-4时 ∴k=-10，故直线l的方程为y=-10x. 综上，直线l的方程为y=2x或y=-10x.

  13. 小结作业 P60习题1.7B组：1，2，3. 3.位于x轴下方的曲边梯形的面积，等于相应定积分的相反数.一般地，设由直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则. 1.定积分在几何中的应用，主要用于求平面曲边图形的面积.解题时，一般先要画出草图，再根据图形确定被积函数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解.

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