Ⅰ. 집합과 명제

수학10-가 Ⅰ. 집합과 명제 백암고등학교 양상옥 / 김주택 / 김재정

학습목표 중학교에서 배운 집합을 바탕으로, 명제의 성질과 연산에 대한 법칙을 알도록 하자. 문제를 논리적으로 생각하고 능률적으로 해결할 수 있도록 하 자.

1. 집 합

- a가 집합 A의 원소일 때, 즉 a가 A에 속할 때 : a ∈ A - a가 집합 A의 원소가 아닐 때 : a ∈ A 1. 집합 집합 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 어떤 조건에 의해 그 대상을 분명히 알 수 있는 것들의 모임 ▶ 집합과 원소 원소 집합의 표시법 공집합 집합을 이루고 있는 대상 하나하나 벤다이어그램 2. 집합의 포함관계 [ 표기법 ] 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙

원소나열법 1. 집합 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 원소를 { } 안에 하나 하나 나열하는 방법 [예] {2, 3, 5, 7, 9} 집합과 원소 ▶ 집합의 표시법 공집합 벤다이어그램 2. 집합의 포함관계 (2) 조건제시법 원소의 조건을 제시하여 { 원소 ㅣ 원소의 조건 }과 같은 모양으로 나타내는 방법 { xㅣ x의 조건 ( x의 공통된 성질 )} 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙 [예] A = { x ㅣx 는 10 이하인 소수 }

원소가 하나도 없는 집합 1. 집합 공집합 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 집합과 원소 집합의 표시법 [ 표기법 ] ▶ 공집합 벤다이어그램  또는 { } 2. 집합의 포함관계 [ 주의사항 ] 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 • 공집합은 모든 집합의 부분집합 이다. • {0}은 공집합이 아니라 원소가 ‘0’인 집합이다. • {}은 ‘’를 원소로 갖는 집합이다. 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙

A B U A A B 1. 집합 벤다이어그램 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 집합 사이의 관계를 편리하게 그림으로 나타낸 것 집합과 원소 집합의 표시법 공집합 [예] ▶ 벤 다이어그램 2. 집합의 포함관계 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙

1. 집합 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, A를 B의 부분집합 이라고 한다. 2. 집합의 포함관계 ▶ 부분집합 서로 같은 두 집합 집합의 포함관계 진부분집합 B 집합의 연산법칙 A 1. 합집합과 교집합 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙 부분집합 [예] → 집합 A가 집합 B의 부분집합 이므로 A ⊂ B또는 B ⊃ A 로 표기한다.

1. 집합 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 2. 집합의 포함관계 ▶ 부분집합 서로 같은 두 집합 집합의 포함관계 진부분집합 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙 A = {1, 2} 일 때, 집합 A의 부분집합을 모두 구하여라. 예제1 원소가 없는 것 :  풀이 원소가 1개인 것 : {1}, {2} 원소가 2개인 것 : {1, 2} 따라서 구하는 부분집합은 , {1}, {2}, {1, 2} 정답

A=B 1. 집합 서로 같은 두 집합 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 두 집합 A, B에 대하여 A⊂B 이고 B⊃A 일 때, ‘집합 A와 B는 서로 같다’고 한다. 2. 집합의 포함관계 부분집합 ▶ 서로 같은 두 집합 집합의 포함관계 A = B 진부분집합 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙

1. 집합 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 임의의 세 집합 A, B, C 에 대하여 2. 집합의 포함관계 부분집합 서로 같은 두 집합 ▶ 집합의 포함관계 진부분집합 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙 집합의 포함관계 [1] A  A [2]   A [3] A  B, B  A 이면 A = B [4] A  B, B  C 이면 A  C

1. 집합 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 2. 집합의 포함관계 부분집합 서로 같은 두 집합 집합의 포함관계 ▶ 진부분집합 집합의 연산법칙 B 1. 합집합과 교집합 5 2. 집합의 연산법칙 A 7 3. 드 모르간의 법칙 1 3 9 진 부분집합 두 집합 A, B 에 대하여 일 때, A  B 이고 A  B 집합 A 를 집합 B 의 진부분집합 이라고 한다.

1. 집합 집합의 포함관계 예제2 다음에서 집합 A가 집합 B의 진부분집합인 것을 찾아라. 1. 집합과 원소 2. 집합의 포함관계 • A = , B = {2, 4} • A = {3, 6, 9}, B = {xㅣx 는 1 이상 10 이하인 3의 배수} • A = { xㅣx 는 자연수}, B = { xㅣx 는 유리수} 부분집합 서로 같은 두 집합 집합의 포함관계 ▶ 진부분집합 • A는 B의 진부분집합이다. • B = {3, 6, 9} 이므로 A는 B의 진부분집합이 아니다. • A ⊂ B이고 A ≠ B이므로 A는 B의 진부분집합이다. 풀이 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙

AB = { x | xA 또는 xB } A B 1. 집합 합집합 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 집합 A 또는 B에 속하는 원소 전체로 이루어진 집합 2. 집합의 포함관계 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 ▶ 합집합 교집합 서로소 2. 집합의 연산법칙 AB 3. 드 모르간의 법칙

교집합 2 AB = { x | xA 그리고 xB } A B 1. 집합 교집합 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 집합 A에도 속하고 B에도 속하는 원소 전체로 이루어진 집합 2. 집합의 포함관계 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 합집합 ▶ 교집합 서로소 2. 집합의 연산법칙 A  B 3. 드 모르간의 법칙 2.집합의 연산법칙

서로소 A B 1. 집합 서로소 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 두 집합 A, B 에 공통인 원소가 하나도 없을 때, 2. 집합의 포함관계 A  B =  집합의 연산법칙 A와 B는 서로소 라고 한다. 1. 합집합과 교집합 합집합 교집합 ▶ 서로소 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙

1. 집합 집합의 포함관계 예제3 다음에서 두 집합 A와 B는 서로소인가? 1. 집합과 원소 • A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6} 2. 집합의 포함관계 (2) A = { xㅣx 는 홀수}, B = { xㅣx 는 자연수} 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 합집합 • A ∩ B =  이므로 A와 B는 서로소이다. 풀이 교집합 ▶ 서로소 (2) A ∩ B = A 이므로 A와 B는 서로소가 아니다. 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙 서로소

1. 집합 집합의 포함관계 집합의 연산법칙 1. 집합과 원소 2. 집합의 포함관계 AB = BA AB = BA 교환법칙 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 (AB)  C = A  (BC) 결합법칙 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙 (AB)  C = A  (B C) A  (BC) = (AB)  (AC) 분배법칙 A (BC) = (AB)  (AC)

1. 집합 집합의 포함관계 집합 A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}일 때, 다음 등식이 성립함을 확인하여라. 예제4 1. 집합과 원소 2. 집합의 포함관계 • A ∪ B = B ∪ A 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 (2) A ∩ B = B ∩ A 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙 • A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, B ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5} • ∴ A ∪ B = B ∪ A 풀이 • A ∩ B = {3, 4}, B ∩ A = {3, 4} • ∴ A ∩ B = B ∩ A

1-2-3드모르간의 법칙 여집합 c A c A 1. 집합 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 어떤 집합 A가 전체집합 U의 부분집합일 때, U의 원소 중에서 A에 속하지 않는 원소 전체로 이루어진 집합을 U에 대한 A의 여집합 이라고 한다. 2. 집합의 포함관계 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 U 2. 집합의 연산법칙 A 3. 드 모르간의 법칙 ▶ 여집합 차집합 드 모르간의 법칙

1. 집합 집합의 포함관계 여집합의 성질 1. 집합과 원소 [1] A ∩ AC = 2. 집합의 포함관계  집합의 연산법칙 A ∪ AC= 1. 합집합과 교집합 U 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙 ▶ 여집합 차집합 C = [2] UC =  U 드 모르간의 법칙 (AC) C = A

여집합 B A 1. 집합 집합의 포함관계 1. 집합과 원소 전체집합 U의 부분집합 A, B 에 대하여, A의 원소로서 B의 원소가 아닌 모든 원소의 집합을 A에 대한 B의 차집합이라고 한다. 2. 집합의 포함관계 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙 여집합 ▶ 차집합 드 모르간의 법칙 A-B

1. 집합 집합의 포함관계 드 모르간의 법칙 1. 집합과 원소 2. 집합의 포함관계 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙 여집합 차집합 드 모르간의 법칙 ▶

1. 집합 집합의 포함관계 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 의 두 부분집합 A={1, 3, 5, 7}, B={2, 3, 5, 7} 에 대하여 다음을 구하여라. 예제5 1. 집합과 원소 2. 집합의 포함관계 (1) A ∩ B (2) A ∪ B 집합의 연산법칙 1. 합집합과 교집합 (3) A – B (4) Bc 2. 집합의 연산법칙 3. 드 모르간의 법칙 풀이 • A ∩ B = {1, 3, 5, 7} ∩ {2, 3, 5, 7} = {3, 5, 7} 여집합 차집합 (2) A ∪ B = {1, 3, 5, 7} ∪ {2, 3, 5, 7} = {1, 2, 3, 5, 7} 드 모르간의 법칙 ▶ (3) Bc = U – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – {2, 3, 5, 7} = {1, 4, 6} (4) A – B = {1, 3, 5, 7} - {2, 3, 5, 7} = {1}

형성평가 두 집합 A = {1, 2, a2– 1}, B ={-2, a+5, a2-7} 일 때, A ∩ B = {2, 8}이 되도록 a의 값을 정하여라. 문제1 8 ∈ A 이면, a2– 1 = 8, a2 = 9 ∴ a = ± 3 풀이 ⅰ) a = -3 일 때, A = {1, 2, 8}, B = {-2, 2} 이 때, A ∩ B = {2} 이므로 조건을 만족하지 않는다. ⅱ) a = 3 일 때, A = {1, 2, 8}, B = {-2, 2, 8} 이 때, A ∩ B = {2, 8} 이므로 조건을 만족한다. 정답 3

형성평가 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은? 문제2 ③ A ∩ Ac =  ② (Ac)c = A ① c = U ⑤ (A∪B)c = Ac∪Bc ④ A – Bc = A ∩ B ④ A – Bc = A ∩ (Bc) c = A ∩ B 풀이 ⑤ (A∪B)c = Ac ∩Bc ⑤ 정답

2. 명 제

그 내용의 참, 거짓을 판별할 수 있는 문장이나 식 x 의 값에 따라 참 또는 거짓을 판별할 수 있는 문장이나 식 2. 명제 명제 명제와 진리집합 1. 명제의 뜻 2. 진리집합의 뜻 3. 부정과 진리집합 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 1 조건 (명제함수) 명제 사이의 관계 1. 명제의 역, 이, 대우 2. 필요조건과 충분조건 3. 필요충분조건 2 P(x)

참인 명제 2. 명제 명제와 진리집합 • 다음 식 또는 문장에서 명제를 가려내고 , 참, 거짓을 • 판별하여라. 예제1 1. 명제의 뜻 2. 진리집합의 뜻 3. 부정과 진리집합 (1) 5는 소수이다. (2) 8의 약수는 3개이다. 4. 명제 p→q와 진리집합 (3) 3 +x = 7 (4) 2 + 3 > 8 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 1 명제 사이의 관계 풀이 1. 명제의 역, 이, 대우 (2) 거짓인 명제 2. 필요조건과 충분조건 3. 필요충분조건 2 (3) x의 값에 따라 참 거짓이 달라지므로 명제가 아니다. (4) 거짓인 명제

전체집합 U 의 원소 중 조건 p(x) 가 참이 되는 x값의 집합 U P 2. 명제 진리집합 명제와 진리집합 1. 명제의 뜻 2. 진리집합의 뜻 3. 부정과 진리집합 조건 p(x) 의 진리집합을 P 라고 하면 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 P = { x | x  U , p(x) } 명제 사이의 관계 1. 명제의 역, 이, 대우 2. 필요조건과 충분조건 3. 필요충분조건 p(x) 는 거짓 p(x) 는 참

어떤 명제 p에 대하여 ‘p가 아니다’를 명제 p의 부정이라 한다. p ~ p 2. 명제 부정 명제와 진리집합 1. 명제의 뜻 2. 진리집합의 뜻 3. 부정과 진리집합 ▶ 부정 ~p(x) 진리집합 부정 조건의 부정 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 명제 사이의 관계 p ~p ~(~p) ~( ~ p) = p 1. 명제의 역, 이, 대우 참 거짓 참 거짓 참 거짓 2. 필요조건과 충분조건 3. 필요충분조건

~p(x) 진리집합 U P C P 2. 명제 명제와 진리집합 1. 명제의 뜻 2. 진리집합의 뜻 조건 p(x) 의 진리집합을 P 라고 하면 3. 부정과 진리집합 조건 ~p(x) 의 진리집합은 P 의 여집합이다. 부정 ▶ {x | x  U, ~p(x)} ~p(x) 진리집합 조건의 부정 = { x | x U, xP} = Pc 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 명제 사이의 관계 1. 명제의 역, 이, 대우 p(x) 2. 필요조건과 충분조건 c ~p(x) 3. 필요충분조건

2. 명제 명제와 진리집합 조건의 부정 1. 명제의 뜻 2. 진리집합의 뜻 p(x), q(x) 의 진리집합을 각각 P, Q 3. 부정과 진리집합 p(x) 이고 q(x) 의 진리집합  P  Q 부정 ~p(x) 진리집합 p(x) 또는 q(x) 의 진리집합  P  Q ▶ 조건의 부정 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 ~(p(x) 이고 q(x) ) ~ p(x) 또는 ~q(x) 명제 사이의 관계 ~(p(x) 또는 q(x) ) ~ p(x) 이고 ~q(x) 1. 명제의 역, 이, 대우 2. 필요조건과 충분조건 3. 필요충분조건

명제 p→q와 진리집합 [1] P  Q 이면 명제 pq는 참이다. 2. 명제 명제와 진리집합 1. 명제의 뜻 명제 p  q 의 가정 p 와 결론 q 의 진리집합을 각각 P, Q라고 할 때 2. 진리집합의 뜻 3. 부정과 진리집합 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 [2] P  Q 이면 명제 pq는 거짓이다. 명제 사이의 관계 1. 명제의 역, 이, 대우 명제가 참이 아님을 보이기 위하여 가정은 만족하지만 결론을 만족하지 않는 원소 2. 필요조건과 충분조건 3. 필요충분조건

‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 2. 명제 명제와 진리집합 1. 명제의 뜻 조건 p(x) 의 진리집합을 P 라고 하면 2. 진리집합의 뜻 3. 부정과 진리집합 4. 명제 p→q와 진리집합 1) P = U  모든 x에 대하여 p는 참 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 2) P    어떤 x에 대하여 p는 참 3) P  U  모든 x 에 대하여 p는 거짓 명제 사이의 관계 1. 명제의 역, 이, 대우 4) P =   어떤 x에 대하여 p는 거짓 2. 필요조건과 충분조건 3. 필요충분조건

‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 어떤x에 대하여 p 모든x에 대하여 p 부정 부정 어떤x에 대하여 ~ p 모든x에 대하여 ~ p 2. 명제 명제와 진리집합 1. 명제의 뜻 2. 진리집합의 뜻 3. 부정과 진리집합 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 명제 사이의 관계 1. 명제의 역, 이, 대우 2. 필요조건과 충분조건 3. 필요충분조건

2. 명제 명제의 역, 이, 대우 명제와 진리집합 1. 명제의 뜻 2. 진리집합의 뜻  명제 p  q (가정)  (결론) 3. 부정과 진리집합 p  q : p이면 q이다. 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제  역 q  p : q이면 p이다. 명제 사이의 관계  이 1. 명제의 역, 이, 대우 2. 필요조건과 충분조건 ~p  ~q : ~ p이면 ~q이다. 3. 필요충분조건  대우 ~q  ~p : ~q이면 ~p이다.

[ 명제와 대우 ] 2. 명제 명제의 역, 이, 대우 명제와 진리집합 1. 명제의 뜻 p  q q  p 2. 진리집합의 뜻 역 3. 부정과 진리집합 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 이 대우 이 명제 사이의 관계 1. 명제의 역, 이, 대우 2. 필요조건과 충분조건 ~p  ~q ~q  ~p 3. 필요충분조건 역 어떤 명제가 참이면 그 대우도 참이며, 대우가 참이면 원래의 명제도 참이다.

2. 명제 명제와 진리집합 명제 p → q 의 역이 참이면 명제p → q 의 이도 참임을 설명하여라. 예제2 1. 명제의 뜻 2. 진리집합의 뜻 3. 부정과 진리집합 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 조건 p, q 를 만족하는 집합을 각각 P, Q 라고 하면 명제 q → p 가 참이므로 Q ⊂ P이다. 풀이 이 때,Pc⊂Qc이므로 조건~p, ~q 에 대하여 ~p → ~q 는 참이다. 명제 사이의 관계 1. 명제의 역, 이, 대우 따라서 명제p → q 의 역이 참이면 명제p → q 의 이도 참이다. 2. 필요조건과 충분조건 3. 필요충분조건

필요조건과 충분조건 2. 명제 명제와 진리집합 1. 명제의 뜻 p q 2. 진리집합의 뜻 명제p  q 가 참인 것 3. 부정과 진리집합 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 P의 필요조건 p q 명제 사이의 관계 1. 명제의 역, 이, 대우 2. 필요조건과 충분조건 3. 필요충분조건 q의 충분조건

필요충분조건 2. 명제 명제와 진리집합 1. 명제의 뜻 p  q 2. 진리집합의 뜻 p q 이고q  p 3. 부정과 진리집합 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제  필요충분조건, 동치와 진리집합 명제 사이의 관계 [1] p는 q이기 위한 필요충분조건 이다. [2] pq [3] P = Q [4] p와 q는 동치이다. 1. 명제의 역, 이, 대우 2. 필요조건과 충분조건 3. 필요충분조건

2. 명제 삼단논법 명제와 진리집합 1. 명제의 뜻 2. 진리집합의 뜻 p q 가 참이고q  r 가 참이다. 3. 부정과 진리집합 4. 명제 p→q와 진리집합 5. ‘모든’과 ‘어떤’이 들어있는 명제 명제 사이의 관계 p  r 도 참이다. 1. 명제의 역, 이, 대우 2. 필요조건과 충분조건 3. 필요충분조건

형성평가 명제「a = -b이면 a 2 = b 2 이다.」의 역, 이, 대우를 말하고, 그 참, 거짓을 조사하여라. 문제1 역 : a 2 = b 2 이면 a = -b이다. (거짓) 풀이 → [반례] a = b 이 : a ≠ -b이면 a 2 ≠ b 2 이다. (거짓) → [반례] a = b 대우 : a 2 ≠ b 2 이면 a ≠ -b이다. (참)

p  q: 참 • q p : 거짓[반례] x = 2, y = - 2, • 따라서 p는q이기 위한 충분조건 이다. √ √ 형성평가 다음에서 조건 p 는 조건 q이기 위한 어떤 조건인가? 문제2 (1) p : x , y는 모두 유리수이다. q : x + y는 유리수이다. (2) p : a = b, q : ac = bc 풀이 (2) p  q: 참 q p : 거짓[반례] a = 2, b = 3, c = 0 따라서 p는q이기 위한 충분조건 이다.

Ⅰ. 집합과 명제

Ⅰ. 집합과 명제

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