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설계 수문량의 산정 : 강우 통계 분석

설계 수문량의 산정 : 강우 통계 분석. 200 5. 9. 27. ▶ 강의 순서. 강우빈도해석의 개요 예비적 해석 확률분포형 매개변수 추정 매개변수 적합성 검토 적합도 검정 경험적 빈도해석 최적확률분포형 선정 확률강우량 산정 적용 : 강우분석 프로그램 FARD. 1. ▶ 강우빈도해석의 개요. 이수 및 치수 목적을 위한 수자원 시스템 예측할 수 없는 크기의 수문사상에 대해 계획되고 설계됨

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설계 수문량의 산정 : 강우 통계 분석

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  1. 설계 수문량의 산정 : 강우 통계 분석 2005. 9. 27

  2. ▶ 강의 순서 • 강우빈도해석의 개요 • 예비적 해석 • 확률분포형 • 매개변수 추정 • 매개변수 적합성 검토 • 적합도 검정 • 경험적 빈도해석 • 최적확률분포형 선정 • 확률강우량 산정 • 적용: 강우분석 프로그램 FARD

  3. 1 ▶ 강우빈도해석의 개요 • 이수 및 치수 목적을 위한 수자원 시스템 • 예측할 수 없는 크기의 수문사상에 대해 계획되고 설계됨 • 수문학적 분석을 통해 수문량이 어떤 특정값을 초과할 확률을 추정할 수 있으면 계획되는 수자원 시스템의 사회·경제적 설계에 기초가 됨 • 이와 같은 수문자료의 해석절차를 확률론적 해석방법이라 통칭하며, 특히 강우나 홍수의 발생빈도를 확률론적으로 예측하는 방법을 빈도해석(frequency analysis)이라고 함

  4. 2 ▶ 강우빈도해석의 일반적인 절차 강우자료구축 Correlogram Test Normal(2) 예비적인 해석 Run Test Lognormal(2/3) Rank Correlation Coeff. Test 변동성 및 경향성 분석 Gamma(2/3) Turning Point Test 확률분포형 적용 Log-Pearson type III(3) 모멘트법(MOM) GEV(3) 매개변수 추정 최우도법(ML) Gumbel(2) 매개변수 적합성 검토 확률가중모멘트법(PWM) Log-Gumbel(2/3) 도시적 해석 Weibull(2/3) Χ2-검정 적합도 검정 Wakeby(4/5) Kolmogorov-Smirnov 검정 Cramer Von Mises 검정 최적분포형 선정 PPCC 검정 확률강우량 산정

  5. 3 ▶ 강우빈도해석시의 자료구축 • 최근까지의 정확한 강우자료를 획득하는 것이 가장 중요 • 자료에 대한 검토 사항 • 관측자료의 일관성 검사 • 강우자료 계열의 추출 및 선정 : 30년 이상의 연최대치, 연초과치

  6. 4 ▶ 예비적 해석(1) • 빈도해석 실시 전 단계 • 대상 자료의 도시 및 경향 파악 • 대상 자료의 무작위성 (randomness) 파악 1. 자료의 도시 경년별 자료 도시 및 형태 파악은 자료의 개략적인 성질을 파악하는데 필수적 (서울, 지속기간 24시간 연최대강우량)

  7. 5 ▶ 예비적 해석(2) 2. 기본통계값 산정

  8. 6 ▶ 예비적 해석(3) 3. 무작위성 검토 (1) Anderson의 Correlogram Test (2) Run Test (3) Spearman의 Rank Correlation Coefficient Test (4) Turing Point Test

  9. 7 ▶ 변동성과 경향성 분석(1) • 자료의 변동성과 경향성 발생 • 자연적 현상과 인간에 의한 변화에 의해 발생 • 절차 • 1. 예비적 자료해석 : 대상자료 도시 혹은 자료의 기본 통계값 계산 분석 • 2. 확정적 자료해석 : 자료의 변동과 경향을 통계적인 방법을 이용하는 방법

  10. 8 ▶ 변동성과 경향성 분석(2) • 변동성 분석방법 • 1. Abbe test of homogeneity • 2. Mann-Whitney test • 3. Sign test • 4. Simple T test • 5. Simple F test • 6. Modified T test • 7. Modified F test

  11. 9 ▶ 변동성과 경향성 분석(3) • 경향성 분석방법 • 1. T test • 2. Hotelling-Pabst test • 3. Mann-Kendall test • 4. Sen test • 5. Seasonal Homogeneity of Trends Test

  12. 10 ▶ 확률분포형(1) • 수문자료의 빈도해석에 많이 사용되는 분포형 • gamma 분포형 (2/3) • GEV(General Extreme Value) 분포형 (3) • Gumbel 분포형 (2) • log-Gumbel 분포형 (2/3) • lognormal 분포형 (2/3) • log-Pearson type III 분포형 (3) • Weibull 분포형 (2/3) • Wakeby 분포형 (4/5)

  13. 11 ▶ 확률분포형(2)

  14. 12 ▶ 확률분포형(3) 1. Gamma 분포형 • 대부분의 수문자료의 확률밀도함수는 왜곡되어 있으므로 수문자료의 해석에 gamma 분포를 자주 사용 • 확률밀도함수 : location parameter : scale parameter : shape parameter

  15. 13 ▶ 확률분포형(4) 2. GEV (General Extreme Value)분포형 • 홍수나 가뭄 같은 사상의 빈도해석에 많이 사용되는 분포함수로써 형상매개변수에 따라 3가지 형태로 구분될 수 있음 • 확률밀도함수 및 누가분포함수 : location parameter : scale parameter : shape parameter : GEV-1 : GEV-2 : GEV-3

  16. 14 ▶ 확률분포형(5) 3. Gumbel 분포형 • GEV-1 분포로도 알려져 있음 • 확률밀도함수 및 누가분포함수 : location parameter : scale parameter

  17. 15 ▶ 확률분포형(6) 4. Log-Gumbel 분포형 • Log-Gumbel 분포는 Frechet 분포로도 알려져 있으며, GEV-2 분포에 해당 • 확률밀도함수 및 누가분포함수 : parameters

  18. 16 ▶ 확률분포형(7) 5. Lognormal 분포형 • 3개의 매개변수를 가지는 lognormal 분포형 아래와 같으며, 으로 놓으면 2변수 lognormal 분포형이 됨 • 확률밀도함수 : location parameter of : location parameter of : scale parameter of

  19. 17 ▶ 확률분포형(8) 6. Log-Pearson type III 분포형 • Log-Pearson type III 분포형은 미국에서 홍수자료해석에 추천되고 있는 분포형 • 확률밀도함수 : location parameter : scale parameter : shape parameter if if

  20. 18 ▶ 확률분포형(9) 7. Weibull 분포형 • Weibull 분포는 처음에 재료의 안전성과 수명시험을 모의하기 위해 제안되었으며, 3변수 Weibull 분포는 GEV-3 분포와 밀접한 관계를 갖는다 • 확률밀도함수 및 누가분포함수 : location parameter : scale parameter : shape parameter

  21. 19 ▶ 확률분포형(10) 8. Wakeby 분포형 • Wakeby 분포는 다음과 같이 역함수 형태로 정의됨 : parameters

  22. 20 ▶ 확률분포형(11) 9. Gumbel-Chow 분포형 • 국내 실무진들에 의해 많이 사용되고 있음 • 특정한 형태의 확률분포형을 가지고 있는 것이 아니라, 앞에서 설명한 극치확률분포중의 하나인 Gumbel 분포에 대하여 Chow(1951)가 빈도계수법(frequency factor analysis)을 적용하였기 때문에 붙여진 이름 • 실질적으로 매개변수 추정방법의 하나인 모멘트법과 동일한 결과를 보임 • 그러므로 Gumbel-Chow 분포는 Gumbel 분포형에 매개변수 추정방법 중의 하나인 모멘트법을 적용하였다고 하는 것이 맞으므로 앞으로는 이 이름으로 사용하지 않는 것이 바람직함

  23. 21 ▶ 확률분포형(12) 10. Iwai (岩井) 분포형 • 일본에서 확률계산법의 표준으로 가장 널리 이용되고 있는 岩井法의 특징은 하한값 –b를 갖는다는 것 • 이 방법은 기존의 대수정규분포를 하한값 –b를 추가하여 변형시킨 것으로 양으로 왜곡된 형태의 확률밀도함수를 가짐 • 岩井은 대수정규분포에 유한한 하한값을 추가하여 양으로 왜곡된 형태의 누가분포함수를 제안하였음

  24. 22 ▶ 매개변수 추정(1) 1. 모멘트법 (Method of Moments) : Karl Pearson (1902) • 모멘트법은 추정방법이 간단하여 가장 널리 사용하는 방법중의 하나 • 모집단의 모멘트(population moments)와 표본자료의 모멘트(sample moments)를 같다고 하여 적용 확률분포형의 매개변수를 추정하는 방법 polulation moments = sample moments • 대칭형 분포형의 경우에는 다른 매개변수 추정방법들이 모멘트법보다 우수한 결과를 얻는 것은 아니나, 대부분의 수문학적 확률변수는 다소 왜곡되어 있으므로 모멘트법에 의한 매개변수의 추정은 다소 효율성이 떨어진다고 할 수 있음

  25. 23 ▶ 매개변수 추정(2) 2. 최우도법 (Method of Maximum Likelihood) : R.A.Fisher (1922) • 최우도법은 추출된 표본자료가 나올 수 있는 확률이 최대가 되도록 매개변수를 추정하는 방법 • 일반적으로 우도함수(likelihood function)보다는 유도상의 편리성 때문에 대수 우도함수(log-likelihood function)를 많이 사용 • 일반적으로 최우도법은 가장 효율적인 추정치를 얻을 수 있으며 표본자료의 크기가 충분히 클 때 다른 매개변수 추정방법에 대하여 추정치의 효율성을 비교하는데 기준으로 사용

  26. 24 ▶ 매개변수 추정(3) 3. 확률가중모멘트법 (Method of Probability Weighted Moments) : Greenwood 등 (1979) • 확률가중모멘트의 일반식은 다음과 같이 나타낼 수 있음 • 모집단의 확률가중모멘트와 각각에 대한 표본자료의 불편 확률가중모멘트 • 불편의확률가중모멘트의 사용은 선정된 분포형 형식에 따라 편리한 것 사용 • 매개변수 추정은 확률가중모멘트법이 보다 안정적

  27. 25 ▶ 매개변수 추정(4) (예제)지수분포함수의 매개변수 추정 ☞ 매개변수 를 갖는 지수분포함수(매개변수 1개) (1)모멘트법 - population mean - sample mean - equating population to sample moment

  28. 26 ▶ 매개변수 추정(5) (2)최우도법 - likelihood function - log-likelihood function - maximum likelihood estimator

  29. 27 ▶ 매개변수 추정(6) (3)확률가중모멘트법 - population PWM - sample PWM - equating population to sample

  30. 28 ▶ 매개변수 적합성 검토(1) • 추정된 매개변수의 적용분포형의 확률변수 및 매개변수 조건 만족 여부 파악 • 적합성 조건을 만족 못하는 경우 그 분포형은 사용 않는 것이 바람직함

  31. 29 ▶ 매개변수 적합성 검토(2)

  32. 30 ▶ 적합도 검정(1) • 모집단의 확률분포형을 알지 못하면 기존의 확률분포형으로 모집단의 성질을 정확히 나타내기 어려우므로 대상 확률분포형 가운데 적정 확률분포형을 선정하는 것은 매우 어려운 과제임 • 따라서 다양한 기법을 통한 많은 정보 이용하여 적정 확률분포형 선정 ☞ 적합도 검정 사용 • 적합도 검정은 해당 확률분포의 상대도수함수와 누가도수함수의 이론값과 표본값을 비교하여 그 정도를 판별 • 적합도 검정의 종류 (1) - 검정 (2) Kolmogorov-Smirnov 검정 (3) Cramer von Mises 검정 (4) PPCC (Probability Plot Correlation Coefficient) 검정

  33. 31 ▶ 적합도 검정(2) 1. - 검정 • - 적합도 검정은 가장 널리 사용하는 적합도 검정방법 중의 하나 • 대상 자료에 대해 적합하다고 가정한 확률밀도함수와 군집화된 자료를 이용한 빈도해석을 통하여 구해지는 경험적 확률밀도함수를 비교하는 검정방법 • 검정의 통계량 • 가설검정통과

  34. 32 ▶ 적합도 검정(3) 2. Kolmogorov-Smirnov검정 • - 검정과는 달리 확률밀도함수 대신 누가분포함수에 대해 검정하는 방법 • Kolmogorov-Smirnov검정은 표본자료의 누가분포함수와 가정된 이론확률분포의 누가분포함수를 비교하여 양자의 최대편차로 정의됨 • Kolmogorov-Smirnov검정의 통계량 • 가설검정통과

  35. 33 ▶ 적합도 검정(4) 3. Cramer von Mises검정 • 누가분포함수에 대하여 검정하는 방법 • 이 방법은 표본자료 가 누가분포함수 로 정의된 확률분포형을 모집단으로 갖는다는 가정을 검정하는데 사용됨 • 검정통계량 • 가설검정통과

  36. 34 ▶ 적합도 검정(5) 4. PPCC (Probability Plot Correlation Coefficient) 검정 • 유의수준 및 자료의 크기에 따른 검정통계량을 유도하여 검정하는 방법 • 확률도시상관계수 검정방법은 자료의 적모멘트 상관계수를 이용하여 적합도 검정을 수행하며 자료의 적모멘트 상관계수는 다음 식과 같음 • 가설검정통과

  37. 35 ▶ 적합도 검정(6) 5. 도시적 해석방법 • 확률지 정규, 대수정규, 극치, 대수극치 등 • 경험적 확률밀도함수 및 누가분포함수 vs. 적합된 확률밀도함수 및 누가분포함수를 도시하여 적합한 분포형 선정 기준으로 사용

  38. 36 ▶ 경험적 빈도해석 • 전 자료를 사용하는 경우 • 전 자료가 존재하는 경우 • 자료 중 0의 값을 갖거나 자료를 기준값으로 구분하는 경우 • 자료기간 중 일부 자료가 없는 경우 • 역사적 정보(historical information)를 이용한 경우

  39. 37 ▶ 최적확률분포형 선정 • 최적확률분포 선정의 명확한 기준은 아직까지 제시되지 못하고 있는 실정 • 최근 적합도 검정결과 이용 대상자료에 대한 최적확률분포형 선정 • 일반적으로 적합도 검정결과는 -검정이나 Kolmogorov-Smirnov 검정이 주류 ☞ 최근에는 PPCC 검정방법 지속적으로 사용되고 있음

  40. 38 ▶ 최적확률분포형 선정기준(1) • 평균절대상대오차 (Mean Absolute Relative Error)

  41. 39 ▶ 최적확률분포형 선정기준(2) • 상대제곱근오차 (Relative Root Mean Square Error)

  42. 40 ▶최적확률분포형 선정 절차(1) • = 0.05 적합도 검정결과를 통과하는 경우 • 하나의 확률분포형만 통과하는 경우 해당 분포형을 최적확률분포형으로 선정 • 2개 이상의 확률분포형이 통과하는 경우 PPCC 검정, -검정, Kolmogorov-Smirnov 검정 Cramer von Mises 검정 순으로 오차가 작은 확률분포형을 최적확률분포형으로 선정

  43. 41 ▶최적확률분포형 선정 절차(2) • = 0.01 로 적합도 검정결과를 통과하는 경우 • 유의수준 = 0.05일 때 모든 지속기간에 대해 통과된 확률분포형이 없는 경우 유의수준 = 0.01로 조정 후 ①의 절차를 적용하여 최적확률분포형을 선정 • = 0.01 로 -검정이나 PPCC검정을 모두 통과 못한 경우 • 검정결과에 의한 오차가 가장 작은 분포형을 최적확률분포형으로 선정 • 특정지속기간에 대하여 유의수준 = 0.01 에서도 - 검정이나 PPCC검정에 의한 오차가 가장 작게 나타나는 확률분포형을 최적확률분포형으로 선정

  44. 42 ▶ 확률강우량 산정(1) • 빈도계수법 여기서, 는 재현기간 T에 대한 확률강우량 와 는 각각 주어진 강우자료로부터 구한 평균과 표준편차 는 빈도계수(frequency factor) = fct(γ,T)

  45. 43 ▶ 확률강우량 산정(2) • 역함수(inverse) 이용방법 • 확률분포형의 누가분포함수는 확률변수와 매개변수로 이루어짐 • 누가분포함수는 0과 1사이의 값을 갖는 비초과확률임 • 누가분포함수를 확률변수의 역함수로 구성 • 비초과확률(q)과 재현기간(T)은 q = 1 – 1 / T 의 관계를 가짐 • 따라서 대상 자료로부터 추정된 매개변수를 대입하여 임의의 재현기간에 대한 확률강우량 산정할 수 있음

  46. 44 ▶ 확률강우량 산정(3) • 확률분포형의 역함수

  47. 45 ▶ 확률강우량 산정(4) • (예제) 2변수 Weibull분포형

  48. 46 ▶ 적용: 강우분석 프로그램 FARD(1) • 강우자료의 빈도해석을 위한 프로그램 • 각종 강우 빈도분석기법들을 체계적으로 정리하고 관련 기법을 컴퓨터 프로그램화하여 실무에 손쉽게 활용할 수 있도록 개발된 프로그램 • FARD98은 자료의 무작위성 검토, 확률분포형별 매개변수추정, 적합도 검정, 확률강우량 산정 기능 등을 제공 • FARD2002는 FARD98에 기능을 추가하여 추천확률분포형 선정의 일관성을 향상시키고 프로그램 운영상 용이성 개선

  49. 47 ▶ 적용: 강우분석 프로그램 FARD(2) • FARD2002에서 추가된 내용 1. 확률분포형 추가 • FARD98에서 사용하는 13개의 확률분포형에 정규분포 추가 2변수 gamma, 3변수 gamma GEV, Gumbel 2변수 log-Gumbel, 3변수 log-Gumbel + 정규분포 2변수 lognormal, 3변수 lognormal log-Pearson type Ⅲ 2변수 Weibull,3변수 Weibull 4변수 Wakeby,5변수 Wakeby

  50. 48 ▶ 적용: 강우분석 프로그램 FARD(3) 2. 적합도 검정의 개선 • FARD98에서 실시되던 PPCC검정의 개선 검정통계량이 유도된 gamma, GEV, Gumbel, lognormal, Weibull 분포형에 대해서만 PPCC 검정 수행 분포형, 표본크기, 형상매개변수, 유의수준에 따라 변화하는 PPCC 검정통계량을 회귀식으로 유도(허준행 등,2001)한 방법을 이용

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